高中數(shù)列之目~裂項(xiàng)求和：2017年理數(shù)全國卷B題15

2017年理科數(shù)學(xué)全國卷二題15

等差數(shù)列 \{a_n\} 的前 n 項(xiàng)和為 S_n,a_3=3,S_4=10，則 \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{S_k}=\underline{\mspace{100mu}} .

【解】

由已知條件可得：

a_1+2d=3

4a_1+6d=10

解得：a_1=1,\; d=1

所以，S_n=\dfrac{1}{2}n(n+1)

\dfrac{1}{1 \times 2}+ \dfrac{1}{2 \times 3}+ \dfrac{1}{3 \times 4}+\dots+ \dfrac{1}{n(n+1)}

=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dots +\dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+1}

=1-\dfrac{1}{n+1}

結(jié)論： \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{S_k}=2 -\dfrac{2}{n+1}.

【提煉與提高】

裂項(xiàng)求和 是高中數(shù)列中一項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)的方法。細(xì)心一些，避免計(jì)算出錯即可。具體說來有幾點(diǎn)：

1）首項(xiàng)和尾項(xiàng)的值不要搞錯。

2）以本題為例， S_n 中有個 \dfrac{1}{2}，這個是在分母上，不要忘記，不要放錯位置。

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