高中數(shù)列之綱~常用方法：裂項(xiàng)求和

裂項(xiàng)求和

我們從頭說(shuō)起。

在小學(xué)時(shí)代，已經(jīng)學(xué)過(guò)下面的運(yùn)算技巧：

因?yàn)?\dfrac {1} {2} - \dfrac {1} {3} = \dfrac {3-2} {6} = \dfrac {1} {6}

所以 \dfrac{1}{1 \times 2}+\dfrac{1}{2 \times 3}+\dfrac{1}{3 \times 4}
= 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}
=1-\dfrac{1}{4}

在初中學(xué)習(xí)代數(shù)后，可以將以上經(jīng)驗(yàn)推廣為一般形式：

\dfrac{1}{1 \times 2}+\dfrac{1}{2 \times 3} + \dots +\dfrac{1}{n(n+1)}
=1-\dfrac{1}{n+1}

在高中學(xué)習(xí)等差數(shù)列后，可作進(jìn)一步推廣：

\dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_2} + \dfrac{1}{a_2} - \dfrac{1}{a_3} + \dfrac{1}{a_3} + \dots + \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}
=\dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_{n+1}}

\because \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfracu0z1t8os{a_n a_{n+1}}

\therefore \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{a_i a_{i+1}}
= \dfrac{1}{a_1a_2} + \dfrac{1}{a_1a_2} + \dots + \dfrac{1}{a_na_{n+1}}

= \dfrac{1}u0z1t8os \cdot (\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_{n+1}})

【提煉與提高】

我們從小學(xué)的經(jīng)驗(yàn)開(kāi)始講起，目的是要強(qiáng)調(diào)這一主張：

『要學(xué)會(huì)推導(dǎo)公式；不要盲目背公式。』

【真題實(shí)例】

裂項(xiàng)求和，是高中數(shù)列中的重要方法，也是高考熱點(diǎn)。最近十年的真題中出現(xiàn)了多次。例如：

2011年理科數(shù)學(xué)大綱卷題20

2014年理科數(shù)學(xué)大綱卷題18

2015年理數(shù)全國(guó)卷A題17

2017年理數(shù)全國(guó)卷B題15

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