5.4外掠平板層流換熱邊界無量綱微分方程式分析解簡述

標(biāo)簽（空格分隔）：傳熱學(xué)

(1)把偏微分方程組變常微分方程組

(2)解速度場，再解溫度場，再得到局部換熱系數(shù)hx

引入三個無量綱變量 $(\mu,f(\mu),\theta)$

①無量綱的位置 $\mu(x,y)=y\cdot\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu x}}$
②無量綱流函數(shù) $f(\mu)=\frac{\Psi}{\sqrt{\nu\cdot xu_\infty}}$
③無量綱溫度 $\theta=\frac{t(\mu)-t_w}{t_\infty-t_w}$
$這里的\nu 為運動粘度$

流函數(shù)—— $\Psi$

$u=\frac{\partial \Psi}{\partial y}, v=-\frac{\partial \Psi}{\partial x}$

現(xiàn)在u與流函數(shù)以及位置聯(lián)系起來，具體流函數(shù)的表達式需要求得

$\Psi=f(\mu)\cdot \sqrt{\nu xu_\infty}$

$u=\frac{\partial \Psi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}[f(\mu)\cdot \sqrt{\nu xu_\infty}]=\frac{\partial f(\mu)}{\partial \mu}\cdot\frac{\partial\mu}{\partial y}\sqrt{\nu xu_\infty}\\ \because \mu=y\cdot\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu x}},\frac{\partial \mu}{\partial y}=\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu x}}\\ \therefore u=\frac{\partial f(\mu)}{\partial \mu}\cdot\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu x}}\cdot\sqrt{\nu xu_\infty}=u_\infty f'(\mu)\\$

同樣的道理

$v=-\frac{\partial \Psi}{\partial x}=-\frac{\partial}{\partial x}[f(\mu)\cdot \sqrt{\nu xu_\infty}]=-\frac{\partial f(\mu)}{\partial \mu}\frac{\partial \mu}{\partial x}\cdot \sqrt{\nu xu_\infty}-f(\mu)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(\sqrt{\nu xu_\infty})\\ \mu=y\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu x}},\frac{\partial \mu}{\partial x}=y\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu}}\cdot(-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}})\\ v=-\frac{\partial f(\mu)}{\partial \mu}\cdot y\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu}}\cdot(-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}})\cdot \sqrt{\nu xu_\infty}-f(\mu)\sqrt{\nu u_\infty}\cdot(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}})\\ v=\frac{1}{2}\frac{\partial f(\mu)}{\partial \mu}\cdot y\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu\cdot x}}\cdot x^{-1}\cdot\sqrt{\nu xu_\infty}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\nu u_\infty}{x}}\cdot f(\mu)=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\nu u_\infty}{x}}[f(\mu)-\mu f'(\mu)]\\$

最終 $u=u_\infty f'(\mu);v=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\nu u_\infty}{x}}[f(\mu)-\mu f'(\mu)]$

經(jīng)過邊界層理論省略一項x處二階偏導(dǎo)的動量偏微分方程常微分化

$u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=\nu\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}$

帶入u，v的無量綱表達式，推導(dǎo)過程非常繁瑣,比如 $f'''(\mu)=\frac{\partial(f''(\mu))}{\partial \mu}\cdot \frac{\partial \mu}{\partial x}$

$f'''(\mu)+\frac{1}{2}f(\mu)f''(\mu)=0\tag{1}$

同樣的，能量方程也可以轉(zhuǎn)換為

$\theta''({\mu})+\frac{1}{2}Prf(\mu)\theta'(\mu)=0\tag{2}$

推導(dǎo)過程省略，討論結(jié)果，前面無量綱化得到一個推論 $\frac{u}{u_\infty}=f'(\mu)$

1.流場分布

三階非線性微分方程，只能數(shù)值計算，參考布拉休斯數(shù)值解 - 簡書 (jianshu.com)

001.png

速度場分布圖的結(jié)果如上,觀察上圖，橫坐標(biāo)為速度與主流速度之比,當(dāng)達到主流速度的時候，y定義為邊界層厚度
$u/u_\infty=0.99,y=\delta$

此時縱坐標(biāo)為 $\mu,其數(shù)值為5.0,帶入y=\delta$

$5.0=\delta\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu x}}\\ \therefore \delta=5.0\cdot\sqrt{\frac{\nu x}{u_\infty}}\\$

邊界層厚度的公式式根據(jù)此圖得到，為書上未給出的既定知識,上式等號左右兩邊除以x

$Re_x=\frac{u_\infty x}{\nu}\\ \frac{\delta}{x}=5.0\cdot \sqrt{\frac{\nu}{u_\infty x}}=5.0Re^{-1/2}_x\tag{4}$

在上圖中發(fā)現(xiàn)，邊界層內(nèi)速度在y上的分量盡管很小，但是不為靜止 $\frac{v}{u_\infty}\cdot\sqrt{Re_c}=0.86$ ,假設(shè)層流下 $Re=10^4,\frac{v}{u_\infty}=0.86\%$

大約的，邊界層上y方向的速度為主流速度的0.86%

流體力學(xué)中學(xué)到的范寧摩擦系數(shù)，等于摩擦力除以流體的密度動能

$\tau_{w,x}=\rho \nu\frac{\partial u}{\partial y}=C_{f,x}\frac{\rho u^2_\infty}{2}\tag{5}\\ \frac{C_{f,x}}{2}=0.332\cdot\sqrt{Re_x}^{-1/2}$

同樣，對于溫度場的三階微分方程(2) 依然需要用數(shù)值計算

002.png

該圖因為Pr數(shù)不同比只有兩條線的速度場分布復(fù)雜一些

①Pr數(shù)越大，在非常小的空間內(nèi)溫度變化更大，因此溫度分布更陡峭

②在橫坐標(biāo)無量綱溫度 $\Theta=0.99$ 的地方，Pr越大，縱坐標(biāo) $\theta函數(shù)值$ 越小

③縱坐標(biāo)在x=0.99的地方，如果Pr=1， $\delta_t=\delta$ ，所以隨著Pr增大熱邊界層厚度小于速度邊界層厚度（ $Pr=\nu/a$ ）

波爾豪森在1921年對這個溫度分布做了數(shù)值求解,壁面處溫度分布的導(dǎo)數(shù)： $\frac{\partial \theta}{\partial \mu}|_{\mu =0}=0.332Pr^{1/3}(0.6<Pr<10)$

3.帶入對流換熱偏微分方程公式 $h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_\infty}(\frac{\partial t}{\partial y})_{w,x}$

hx與壁面處（ $y=0,\mu=0$ ）處的溫度梯度有關(guān)，而上式中無量綱的溫度梯度經(jīng)過轉(zhuǎn)換容易得到

$\because \theta=\frac{t-t_w}{t_\infty-t_w}\\ h_x=\frac{\lambda}{t_\infty-t_w}(\frac{\partial (t-t_w)}{\partial y})|_{y=0}=\lambda\cdot (\frac{\partial \theta}{\partial \mu})|_{\mu=0}\cdot\frac{\partial \mu}{\partial y}$

上式中， $(\frac{\partial \theta}{\partial \mu})|_{\mu=0}=0.332Pr^{1/3}$ ，由波爾豪森求得

定義的無量綱位置 $\mu(x,y)=y\cdot\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu x}}$ ,因此 $\frac{\partial \mu}{\partial y}=\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu x}}$

$h_x=\lambda\cdot 0.332Pr^{1/3}\cdot \sqrt{\frac{u_\infty}{\nu x}}\cdot \frac{x}{x}$

轉(zhuǎn)換為雷諾數(shù)相關(guān)的形式 $h_x=0.332\frac{\lambda}{x}Re^{1/2}_xPr^{1/3}$

增加一個定義簡化上式 $Nu_x=\frac{h_x x}{\lambda}=0.332Re^{1/2}_xPr^{1/3}$

對比畢沃?jǐn)?shù) $Bi=\frac{h\delta}{\lambda}$ ,形式很相近，但是Bi中 $\delta$ 為半個特征長度，導(dǎo)熱為壁面，Nux數(shù)為流體的導(dǎo)熱

對于長度為l的常壁溫平板，取積分平均值

$h=\frac{1}{l}\cdot \int_0^l h_xdx=0.664\frac{\lambda}{l}Re^{1/2}_lPr^{1/3}\\ Nu=\frac{hl}{\lambda}=0.664Re^{1/2}_lPr^{1/3}\tag{6}$

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5.4外掠平板層流換熱邊界無量綱微分方程式分析解簡述