1.加法原理

完成一件事，有k類方法，各類分別有n1、n2……nk種方法

一共有n1+n2+……+nk種方法

2.乘法原理

完成一件事，要k步，各步驟分別有m1、m2……mk種方法

一共有m1?m2?……?mk種方法

3.排列

從m個不同對象中依次選取n個，排成一列，一共有A（n，m）種

A（n，m）=m（m-1）……（m-n+1）=m！/（m-n）！

4.組合

從m個不同對象中選取n個（無序），組成一個集合，一共有C（n，m）種

C（n，m）=m（m-1）…（m-n+1）/n！=m！/（m-n）！n！

例題1

用0、1、2、3、4能組成多少個不同的五位偶數(shù)？

A（4，4）+3?A（3，3）+3?A（3，3）=60

答案：60種

例題2

用2個1、3個2、1個3組成多少個6位數(shù)？

C（2，6）?C（3，4）?C（1，1）=60

答案：60種

常用方法

（1）枚舉法

（2）利用排列數(shù)與組合數(shù)計算，包括分情況討論、運用容斥原理，考慮重復情況等

（3）將問題轉(zhuǎn)化為一般性情況，再利用遞推的思路解決

（4）構(gòu)造另一個組合模型，再利用對應的思路解決

5.遞推法

例題3

10條直線能把平面分成多少各區(qū)域？（思路：將問題一般化處理）

n= 1? ? 2? ? 3? ? 4

m=2? ? 4? ? 7? ? 11

a（n）=a（n-1）+n

a（5）=16? ? a（6）=22

a（7）=29? ? a（8）=37

a（9）=46? ? a（10）=56

答案：56個

6.對應法（構(gòu)造幾何模型）

例如：插板法、標注法（最短路線）

例題4

不定方程x1+x2+x3+x4+x5+x6=10有幾組正整數(shù)解？（運用插板法）

取10個球，分成6組

OO | OO | O | OOO | O | O

x1? ? x2? x3? ? x4? ? x5 x6

??即問題轉(zhuǎn)化為在9個空中插入5個隔板

C（5，9）=126

結(jié)論1

x1+x2+……+xn=m的正整數(shù)解有C（n-1，m-1）組

結(jié)論2

x1+x2+……+xn=m的非負整數(shù)解有多少組？

→（x1+1）+（x2+1）+……+（xn+1）=m+n

即問題轉(zhuǎn)化為y1+y2+……+yn=m+n的正整數(shù)解

即C（n-1，m+n-1）

整理不易，謝謝點贊