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2019年6月專題

這是一個關(guān)于極限問題的悖論。

芝諾

Zeno of Elea，芝諾，古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家，大約生于公元前490年，卒于公元前425年。
芝諾提出了很多知名的邏輯悖論，這些悖論由于被亞里士多德記錄在《物理學(xué)》一書中而廣為流傳。

芝諾

最知名的四個芝諾悖論是：

1. 二分法悖論。

要走完一段路程，就要先走完它的一半，而要走完這一半路程，就要先走完一半的一半（即四分之一），要走完這一半的一半，就要走完一半的一半的一半...對于如此無窮多的路，人是永遠也走不完的。

2. 阿基里斯追不上烏龜賽悖論。

阿基里斯（阿喀琉斯）是海洋女神忒提斯（Thetis）和英雄珀琉斯（Peleus）之子，具有超人的體力。但是如果烏龜先跑了一段路程，那么阿基里斯要追上烏龜就必須把這段路程跑完，而阿基里斯跑完這段路程之后，烏龜又爬出了新的路程，仍然領(lǐng)先。盡管每次烏龜領(lǐng)先的路程越來越短，阿基里斯追完上一段路程用的時間越來越少，但即使是無限小，那么烏龜也永遠領(lǐng)先于阿基里斯。

3. 飛矢不動悖論。

一只飛在空中的箭，在時間最小單位（一瞬間）中看，由于時間無窮小，所以在這個時間的開始和結(jié)束點，箭的位置是相同的。既然在極小的時間中箭是不動的，所以2個極小時間內(nèi)箭也是不動的，3個極小時間內(nèi)也是....無窮多個極小時間組成了一分鐘一小時，所以箭總是不動的。

4. 游行隊伍悖論。

假設(shè)三個人ABC站一起，A不動，在極小時間內(nèi)B向左走一步，C向右走一步。那么這時候，C距離A是一步遠，C距離B是兩步遠，那么悖論就在于C怎么能在同樣的一個極小時間內(nèi)既走出一步，又走出兩步？

第四個游行隊伍悖論最扯，運動的參照物不同導(dǎo)致相對速度的不同，問題很明顯。接下來我們著重討論另外三個悖論。

阿基里斯和烏龜

二分法悖論和阿基里斯追烏龜悖論本質(zhì)是一樣的，我們把它們放在一起解釋。

如下圖，初始時候烏龜位于領(lǐng)先位置P1，人位于落后位置P0。人跑到P1的時候，烏龜又跑到了P2；人跑到P2，烏龜跑到P3，以此類推，烏龜總是領(lǐng)先的。

我們假設(shè)阿基里斯的速度是烏龜?shù)?倍，那么依照悖論，烏龜總是領(lǐng)先阿基里斯上一段路程的二分之一。那么就有：

$P_1-P_0=1$
$P_2-P_1=\frac{1}{2}$
$P_3-P_2=\frac{1}{4}$
$P_4-P_3=\frac{1}{8}$
$...$

如果我們把這些距離相加，就得到總路程S：

$S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...$

那么問題來了，路程S是否是無限長？
當(dāng)然不是，我們從圖上都能看得出來 $P_n$ 是個固定位置。

我們來用替換法表示一下這個式子：
$\begin{align} S&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...\\ &=1+(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{8})...\\ &=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}...\\ &=1+1-無窮小\\ &=2 \end{align}$

也就是在兩倍初始差距的位置，阿基里斯就會追上烏龜?！鋵嵾@個道理很明顯，阿基里斯速度是烏龜?shù)?倍，烏龜爬1個路程，阿基里斯跑完2個路程，恰好追上。這完全符合常識，沒有悖論。

還是剛才那張圖

那么芝諾如何得到阿基里斯永遠追不上烏龜?shù)钠孑饨Y(jié)論的呢？

我們假設(shè)，阿基里斯用1分鐘從 $P_0$ 跑到 $P_1$ ，用 $\frac{1}{2}$ 分鐘從 $P_1$ 跑到 $P_2$ ，用 $\frac{1}{4}$ 分鐘從 $P_2$ 跑到 $P_3$ ...以此類推，芝諾認(rèn)為 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...$ 這么多時間是無窮大的，永遠跑不完的。