在無約束最優(yōu)化問題中，有些重要的特殊情形，比如目標函數(shù)由若干個函數(shù)的平方和構(gòu)成。這類函數(shù)一般可以寫成：
其中，一般假設
。我們把極小化這類函數(shù)的問題：
稱為最小二乘優(yōu)化問題。
最小二乘優(yōu)化是一類比較特殊的優(yōu)化問題，在處理這類問題時，Matlab也提供了一些強大的函數(shù)。在 Matlab 優(yōu)化工具箱中，用于求解最小二乘優(yōu)化問題的函數(shù)有：lsqlin、lsqcurvefit、lsqnonlin、lsqnonneg，用法介紹如下。
1.lsqlin函數(shù)
求解
s.t.
其中為矩陣，
為向量。
Matlab函數(shù)為：
x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
例1 用Isqlin函數(shù)求一個形如
的經(jīng)驗公式，使它與下表所示的數(shù)據(jù)擬合。
| 19 | 25 | 31 | 38 | 44 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 19.0 | 32.3 | 49.0 | 73.3 | 97.8 |
解：程序如下：
x=[19 25 31 38 44]';
y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]';
r=[ones(5,1),x.^2];
ab=lsqlin(r,y)
x0=19:0.1:44;
y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2;
plot(x,y,'o',x0,y0,'r')
2.lsqcurvefit函數(shù)
給定輸入輸出數(shù)列，求參量
使得
Matlab中的函數(shù)為：
X=lsqcurvefit(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB,OPTIONS)
其中FUN是定義函數(shù)的N文件。
例2 用下面表中的數(shù)據(jù)擬合函數(shù)
中的參數(shù)
。
| 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4.54 | 4.99 | 5.35 | 5.65 | 5.90 | 6.10 | 6.26 | 6.39 | 6.50 | 6.59 |
解：這個問題即解最優(yōu)化問題：
解這個問題要分兩步：
首先編寫待求函數(shù)：
function f=fun1(x,tdata);
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata); %其中 x(1)=a，x(2)=b，x(3)=k
其中參數(shù)x是原函數(shù)的待求參數(shù)列表，xdata是函數(shù)自變量。
之后在主函數(shù)中調(diào)用lsqcurvefit，編寫程序：
td=100:100:1000;
cd=[4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59];
x0=[0.2 0.05 0.05];
x=lsqcurvefit(@fun1,x0,td,cd)
3.lsqnonlin函數(shù)
已知函數(shù)向量，求
使得：
Matlab中的函數(shù)為：
X=lsqnonlin(FUN,X0,LB,UB,OPTIONS)
用該函數(shù)求解例2：
首先編寫含有待求參數(shù)的函數(shù)：
function f=fun2(x);
td=100:100:1000;
cd=[4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59];
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*td)-cd;
之后調(diào)用函數(shù)lsqnonlin，編寫如下程序：
x0=[0.2 0.05 0.05]; %初始值是任意取的
x=lsqnonlin(@fun2,x0)
4.lsqnonneg函數(shù)
求解非負的，使得滿足
Matlab中的函數(shù)為：
X =lsqnonneg(C,d,X0,OPTIONS)
例3 已知
，
，求
滿足
最小。
編寫程序如下：
c=[0.0372 0.2869;0.6861 0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170];
d=[0.8587;0.1781;0.0747;0.8405];
x=lsqnonneg(c,d)
