????????本篇文章重在闡述如何對(duì)單變量進(jìn)行波動(dòng)率進(jìn)行建模，并使用python進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。后續(xù)文章將會(huì)繼續(xù)探討如何對(duì)多維資產(chǎn)組合的波動(dòng)率進(jìn)行建模。
一、 Garch模型的背景——波動(dòng)率特征
1. 使用波動(dòng)率的場(chǎng)景
1） 期權(quán)定價(jià)BS公式
2） 計(jì)算頭寸的風(fēng)險(xiǎn)值
3） 均值-方差框架下的資產(chǎn)配置
4） 提升參數(shù)估計(jì)和區(qū)間預(yù)測(cè)的精確度
使用期權(quán)的價(jià)格得到隱含波動(dòng)率：即由BS公式反推出條件標(biāo)準(zhǔn)差，（假設(shè)：標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)）
一般而言，金融市場(chǎng)的波動(dòng)率具有如下特征：
1） 條件異方差和波動(dòng)率聚集：即波動(dòng)率在一些時(shí)間段上高，在另外一些時(shí)間段上低
2） 波動(dòng)率以連續(xù)方式隨時(shí)間變化，鮮有跳躍的場(chǎng)景。
3） 波動(dòng)率不發(fā)散到無(wú)窮，一般在固定的范圍內(nèi)變化，從而從統(tǒng)計(jì)角度來(lái)說(shuō)是平穩(wěn)的
4） 波動(dòng)率對(duì)價(jià)格大幅上升和價(jià)格大幅下降的反應(yīng)是不同的——杠桿效應(yīng)
因此，資產(chǎn)收益率往往會(huì)呈現(xiàn)條件異方差性的效果，使用Garch模型可以提高波動(dòng)率估計(jì)的準(zhǔn)確性。
二、收益率的序列相關(guān)性
下圖繪制了滬深300指數(shù)的收益率圖像，可以看出指數(shù)收益率存在較為明顯的波動(dòng)率聚集情況。即，大的波動(dòng)率后面一般會(huì)有著波動(dòng)延續(xù)。這一現(xiàn)象也可以直接從金融邏輯來(lái)理解。當(dāng)市場(chǎng)出現(xiàn)較大波動(dòng)時(shí)，這種波動(dòng)可能會(huì)持續(xù)下去。因此，簡(jiǎn)單的使用過(guò)去方差對(duì)未來(lái)方差進(jìn)行預(yù)測(cè)就出出現(xiàn)較大偏誤
三、 對(duì)資產(chǎn)收益率序列建立一個(gè)波動(dòng)率模型的步驟
一般而言，標(biāo)準(zhǔn)的波動(dòng)率建模服從以下步驟
（1） 通過(guò)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的序列相關(guān)性建立一個(gè)均值方程，并消除可能存在的線(xiàn)性依賴(lài)，如使用ARMA模型
（2） 對(duì)均值方程的殘差進(jìn)行ARCH檢驗(yàn)，即進(jìn)行條件異方差性檢驗(yàn)
（3） 如果ARCH效應(yīng)在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，則指定一個(gè)波動(dòng)率模型，并對(duì)均值方程和波動(dòng)率方程進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)
（4） 檢驗(yàn)所擬合的模型，并進(jìn)行改進(jìn)。
四、 ARCH 模型
上述步驟中，我們提到了ARCH（Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity,自回歸條件異方差,by Engle,1992）模型
ARCH模型的基本思想是：
（1） 資產(chǎn)收益率的擾動(dòng)a_t是序列不相關(guān)的，但不是獨(dú)立的
（2） a_t的不獨(dú)立性可以用其延遲值的簡(jiǎn)單二次函數(shù)來(lái)表述
ARCH(m)模型可以設(shè)為：
從模型結(jié)構(gòu)來(lái)看，大的過(guò)去的擾動(dòng)會(huì)導(dǎo)致信息的條件異方差。從而
有取絕對(duì)值較大的值的傾向。即，在A(yíng)RCH的框架下，大的擾動(dòng)會(huì)傾向于緊接著出現(xiàn)另一個(gè)大的擾動(dòng)。即，類(lèi)似于波動(dòng)率聚集的現(xiàn)象。
五、 GARCH模型
ARCH模型存在的一個(gè)較大問(wèn)題在于，在估計(jì)方差回歸方程的時(shí)候，需要估計(jì)p個(gè)參數(shù)，并且，滯后多少階也并不好確定。因此，Bollerslev(1986)提出了廣義ARCH模型（GARCH），GARCH模型可以由下面的方程表示：
其中為資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。并且，模型設(shè)定一般只選取Garch(1,1)即可。
六、使用Python對(duì)滬深300指數(shù)進(jìn)行波動(dòng)率建模，并比較樣本外預(yù)測(cè)效果
#------1.使用train的model來(lái)對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行GARCH建模----------------------
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import os as os
from arch import arch_model
data0 = pd.read_csv('300data.csv')
data = np.array(data0['pct_chg'])
train = data[:-10]
test = data[-10:]
am = arch_model(train,vol='Garch')
res = am.fit()
res.summary()
#可以看出，此時(shí)garch的兩個(gè)參數(shù)都十分顯著
#繪制標(biāo)準(zhǔn)化殘差，發(fā)現(xiàn)殘差基本上為平穩(wěn)的，說(shuō)明擬合效果較好#繪制條件方差，并在上面繪制原始收益率曲線(xiàn)，發(fā)現(xiàn)擬合的效果較好
res.plot()
plt.plot(data,'y-')
# 對(duì)樣本內(nèi)的方差進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)擬合效果較好
res.hedgehog_plot()
#-----------------------------2.使用GARCH模型預(yù)測(cè)------------------------------------------
# 波動(dòng)率模型為：sigmat2 = omega + alpha*at_tminus2 + beta*sigma_tminus2
# 收益率預(yù)測(cè)為常系數(shù)模型：at = rt - mu
# 首先計(jì)算at
at_pre = test - res.params[0]
at_pre2 = at_pre * 2
# 接著計(jì)算波動(dòng)率
# 拿出最后兩個(gè)條件方差
ini = res.conditional_volatility[-2:]
for i in range(10):
? ? new = res.params[1] + res.params[2]*at_pre2[i] + res.params[3]*ini[-1]
? ? ini = np.append(ini,new)
vol_pre = ini[-10:]
vol_pre
# 繪圖比較原始數(shù)據(jù)，條件方差，及10步預(yù)測(cè)方差，發(fā)現(xiàn)預(yù)測(cè)效果較好
plt.figure(figsize=(15,5))
plt.plot(data,'y-',label='origin_data')
plt.plot(res.conditional_volatility,label='conditional_volatility')
x=range(3611,3621)
plt.plot(x,vol_pre,'.r',label='predict_volatility')
plt.legend(loc=0)
上圖中，數(shù)據(jù)總長(zhǎng)度為3622日，我們使用3612日作為train集，10日作為test集。對(duì)3612日進(jìn)行波動(dòng)率建模，并對(duì)剩余10日進(jìn)行波動(dòng)率預(yù)測(cè)。將條件方差和原始收益率曲線(xiàn)繪制在一起，可以發(fā)現(xiàn)，garch(1,1)模型對(duì)波動(dòng)率取得了較好的估計(jì)效果。
參考文獻(xiàn)：
1. Financial Econometrics Notes, Kevin Sheppard, Oxford University
2. Analysis of Financial Time Series 3rd Edition, Ruey S. Tsay
