第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

（一）概念和性質(zhì)

1、級(jí)數(shù)的概念

$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}=u_1+u_2+u_3+\cdots +u_n+\cdots$
令 $S_n=\sum_{n=1}^n{u_i}$ 稱(chēng)為部分和數(shù)列

若級(jí)數(shù)，即 $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 的部分和數(shù)列 $\left\{ s_n \right\}$ 有極限 $s$ ，即
$\lim_{n\rightarrow \infty}s_n=s$
則稱(chēng)級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 收斂，否則級(jí)數(shù)發(fā)散

2、級(jí)數(shù)的性質(zhì)

若 $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 收斂于 $s$ ，則 $\sum_{n=1}^{\infty}{ku_n}$ 也收斂，且其和為ks
若 $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}$ 分別收斂于 $s,\sigma$ ，則 $\sum_{n=1}^{\infty}{\left( u_n\pm v_n \right)}\text{也收斂，其和為}s\pm \sigma$

收斂+收斂=收斂收斂+發(fā)散=發(fā)散發(fā)散+發(fā)散=不確定

在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性
收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)仍收斂且和不變

一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)收斂，原級(jí)數(shù)不一定收斂
一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后發(fā)散，則原級(jí)數(shù)一定發(fā)散

(級(jí)數(shù)收斂的必要條件) $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 收斂的必要條件是 $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}u_n=0$

（二）級(jí)數(shù)的審斂準(zhǔn)則

1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)

$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 收斂 $\Leftrightarrow S_n上有界$

比較判別法

若 $u_n\le v_n$ ，則 $\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{收斂} \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{收斂}$ ， $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{發(fā)散} \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{發(fā)散}$

比較法極限形式

設(shè) $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{u_n}{v_n}=l$

①若0<l<+∞，則 $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}$ 同斂散
②若l=0，則 $\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{收斂} \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{收斂}$ ， $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{發(fā)散} \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{發(fā)散}$
③若l=∞，則 $\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{發(fā)散} \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{發(fā)散}$ ， $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{收斂} \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{收斂}$

兩個(gè)常用級(jí)數(shù)：
① $\sum_{n=1}^{\infty}{aq^n}\left( a,q>0 \right) ,q<1\text{時(shí)收斂,當(dāng)}q\ge 1\text{時(shí)發(fā)散}$
② $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^p}},p>1\text{時(shí)收斂,當(dāng)}p\le 1\text{時(shí)發(fā)散}$

比值判別法
設(shè) $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$ ，則

$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\left\{ \begin{array}{l} \text{發(fā)散，}\rho >1\\ \text{收斂, }\rho <1\\ \text{不確定，}\rho =0\\ \end{array} \right.$

根值法
設(shè) $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt[n]{n}=\rho$ ，則
$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\left\{ \begin{array}{l} \text{發(fā)散，}\rho >1\\ \text{收斂, }\rho <1\\ \text{不確定，}\rho =0\\ \end{array} \right.$

一般通項(xiàng)中出現(xiàn)a^n ,n^n ,n!往往用比值法和根值法，其余一般用比較判別

2、交錯(cuò)級(jí)數(shù)

萊布尼茨準(zhǔn)則：若
① $u_n\ge u_{n+1}$
② $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}u_n=0$
則級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^{\infty}{\left( -1 \right) ^{n-1}u_n}$ 收斂

3、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)

絕對(duì)收斂和條件收斂的概念

若 $\sum_{n=1}^{\infty}{\left| u_n \right|}$ 收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 絕對(duì)收斂
若 $\sum_{n=1}^{\infty}{\left| u_n \right|}$ 發(fā)散， $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù) $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 條件收斂

絕對(duì)收斂和條件收斂的基本結(jié)論

絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂
條件收斂的級(jí)數(shù)的所有正項(xiàng)(或負(fù)項(xiàng))構(gòu)成的級(jí)數(shù)一定發(fā)散

第二節(jié) 冪級(jí)數(shù)

（一）冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域

定義1 冪級(jí)數(shù)的定義：形如

$\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n+\cdots$

定理1 阿貝爾定理

若 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}$ 當(dāng)x=x₀時(shí)收斂，則當(dāng)|x|<|x₀|時(shí)， $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}$ 絕對(duì)收斂
若 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}$ 當(dāng)x=x₀時(shí)發(fā)散，則當(dāng)|x|>|x₀|時(shí)， $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}$ 發(fā)散

定理2 冪級(jí)數(shù) $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}$ 的收斂性有且僅有以下三種可能

對(duì)任何x∈(-∞，+∞)都收斂
僅在x=0處收斂
存在一個(gè)正數(shù)R，當(dāng)|x|<R時(shí)絕對(duì)收斂，|x|>R時(shí)發(fā)散

若冪級(jí)數(shù) $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}$ 在x=x₀處條件收斂，則點(diǎn)x₀必為冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間(-R,R)的一個(gè)端點(diǎn)

定理3 如果 $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|=\rho$ ，則 $R=\frac{1}{\rho}$

定理4 如果 $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt[n]{\left| a_n \right|}=\rho$ ，則 $R=\frac{1}{\rho}$

如果是 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^{2n}}$ 則 $R=\sqrt{\frac{1}{\rho}}$

（二）冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)

1、有理運(yùn)算性質(zhì)

設(shè) $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}$ 的收斂半徑為R₁， $\sum_{n=0}^{\infty}{b_nx^n}$ 的收斂半徑為R₂，令R=min{R₁,R₂}，則當(dāng)x∈(-R,R)時(shí)

$\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}+\sum_{n=0}^{\infty}{b_nx^n}=\sum_{n=0}^{\infty}{(a_n+b_n)x^n}$
$(\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n})(\sum_{n=0}^{\infty}{b_nx^n})=\sum_{n=0}^{\infty}{c_nx^n}$

2、分析性質(zhì)

設(shè)冪級(jí)數(shù) $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}$ 的收斂半徑為R，和函數(shù)為S(x)，則

連續(xù)性：和函數(shù)S(x)在(-R,R)上連續(xù)
可導(dǎo)性：和函數(shù)S(x)在(-R,R)上可導(dǎo)，且可逐項(xiàng)求導(dǎo)，半徑不變
可積性：和函數(shù)S(x)在(-R,R)上可積，且可逐項(xiàng)積分，半徑不變

（三）函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

定理1 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(x₀-R,x₀+R)上能展開(kāi)為x-x₀的冪級(jí)數(shù) $f\left( x \right) =\sum_{n=0}^{\infty}{a_n\left( x-x_0 \right) ^n}$ ，則其展開(kāi)式是唯一的
$f\left( x \right) =\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}f^{\left( n \right)}\left( x_0 \right) \left( x-x_0 \right) ^n},\,\,x\in U\left( x_0 \right)$
稱(chēng)為f(x)在x=x₀處的泰勒級(jí)數(shù)

定理2 設(shè)f(x)在x=x₀處任意階可導(dǎo)，則 $f\left( x \right) =\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}f^{\left( n \right)}\left( x_0 \right) \left( x-x_0 \right) ^n}$ 在(x₀-R,x₀+R)上收斂于 $f\left( x \right) \leftrightarrow$ $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}R_n\left( x \right) =0$ ，其中
$R_n\left( x \right) =\frac{f^{\left( n \right)}\left( x_0 \right)}{n!}\left( x-x_0 \right) ^n$
為f(x)在x=x₀處泰勒公式中的余項(xiàng)

下方列舉出幾個(gè)常用的展開(kāi)式
$\underline{\begin{matrix} \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{x^n}& \left( -1<x<1 \right)\\ e^x&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}x^n}& \left( -\infty <x<\infty \right)\\ \sin x&=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{\left( -1 \right) ^k}{\left( 2k+1 \right) !}x^{2k+1}}& \left( -\infty <x<\infty \right)\\ \cos x&=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{\left( -1 \right) ^k}{\left( 2k \right) !}x^{2k}}& \left( -\infty <x<\infty \right) \,\,\\ \frac{1}{1+x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\left( -1 \right) ^nx^n}& \left( -1<x<1 \right)\\ \,\,\ln \left( 1+x \right) &=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\left( -1 \right) ^n}{n+1}x^{n+1}}& \left( -1<x\le 1 \right)\\ a^x&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\left( \ln a \right) ^n}{n!}x^n}& \left( -\infty <x<\infty \right)\\ \frac{1}{1+x^2}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\left( -1 \right) ^nx^{2n}}& \left( -1<x<1 \right)\\ \end{matrix}}$

（四）函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的兩種方法

1、直接展開(kāi)法

$f\left( x \right) =\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}f^{\left( n \right)}\left( x_0 \right) \left( x-x_0 \right) ^n}$
考查 $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}R_n\left( x \right) =\frac{f^{\left( n \right)}\left( x_0 \right)}{n!}\left( x-x_0 \right) ^n=0$

2、間接展開(kāi)法

根據(jù)函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的唯一性，從某些已知函數(shù)的展開(kāi)式出發(fā)，利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及變量代換等方法，求得所給函數(shù)的展開(kāi)式

第三節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù)

（一）傅里葉系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)

$f\left( x \right) =\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}{\left( a_k\cos kx+b_k\sin kx \right)}$

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \cos nx\textu0z1t8osx}\quad \left( n=0,1,2,3,\cdots \right)$

$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \sin nx\textu0z1t8osx}\quad \left( n=1,2,3,\cdots \right)$

（二）收斂定理（狄里克雷）

設(shè)f(x)在 $[-\pi,\pi]$ 上連續(xù)或有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)，且只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在 $[-\pi,\pi]$ 上處處收斂，且收斂于

S(x)=f(x)，當(dāng)x為f(x)的連續(xù)點(diǎn)
S(x)=[f(x^-)+f(x⁺)]/2，當(dāng)x為f(x)的間斷點(diǎn)
S(x)=[f( $\pi$ ^-)+f( $\pi$ ⁺)]/2，當(dāng) $x=\pm \pi$

（三）周期為2Π的函數(shù)的展開(kāi)

1、 $[-\pi,\pi]$ 上展開(kāi)

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \cos nx\textu0z1t8osx}\quad \left( n=0,1,2,3,\cdots \right)$

$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \sin nx\textu0z1t8osx}\quad \left( n=0,1,2,3,\cdots \right)$

2、 $[-\pi,\pi]$ 上奇偶函數(shù)的展開(kāi)

(1)f(x)為奇函數(shù)

$a_n=0 ( n=0,1,2,3,\cdots)$

$b_n=\frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \sin nx\textu0z1t8osx}\quad \left( n=1,2,3,\cdots \right)$

(2)f(x)為偶函數(shù)

$a_n=\frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \cos nx\textu0z1t8osx}\quad \left( n=0,1,2,3,\cdots \right)$

$b_n=0( 1,2,3,\cdots)$

如果是在 $[0,\pi]$ 上展為正弦或展開(kāi)為余弦，正弦形式如奇函數(shù)，余弦性質(zhì)如偶函數(shù)

（四）周期為2l的函數(shù)展開(kāi)

與3類(lèi)似，將Π換成l，nx換成nΠx/l即可

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高等數(shù)學(xué)(十)無(wú)窮級(jí)數(shù)

高等數(shù)學(xué)(十)無(wú)窮級(jí)數(shù)

第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

（一）概念和性質(zhì)

1、級(jí)數(shù)的概念

2、級(jí)數(shù)的性質(zhì)

（二）級(jí)數(shù)的審斂準(zhǔn)則

1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)

2、交錯(cuò)級(jí)數(shù)

3、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)

第二節(jié) 冪級(jí)數(shù)

（一）冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域

（二）冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)

1、有理運(yùn)算性質(zhì)

2、分析性質(zhì)

（三）函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

（四）函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的兩種方法

1、直接展開(kāi)法

2、間接展開(kāi)法

第三節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù)

（一）傅里葉系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)

（二）收斂定理（狄里克雷）

（三）周期為2Π的函數(shù)的展開(kāi)

1、 $[-\pi,\pi]$ 上展開(kāi)

2、 $[-\pi,\pi]$ 上奇偶函數(shù)的展開(kāi)

(1)f(x)為奇函數(shù)

(2)f(x)為偶函數(shù)

（四）周期為2l的函數(shù)展開(kāi)

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高等數(shù)學(xué)(十)無(wú)窮級(jí)數(shù)

第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

（一）概念和性質(zhì)

1、級(jí)數(shù)的概念

2、級(jí)數(shù)的性質(zhì)

（二）級(jí)數(shù)的審斂準(zhǔn)則

1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)

2、交錯(cuò)級(jí)數(shù)

3、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)

第二節(jié) 冪級(jí)數(shù)

（一）冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域

（二）冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)

1、有理運(yùn)算性質(zhì)

2、分析性質(zhì)

（三）函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

（四）函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的兩種方法

1、直接展開(kāi)法

2、間接展開(kāi)法

第三節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù)

（一）傅里葉系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)

（二）收斂定理（狄里克雷）

（三）周期為2Π的函數(shù)的展開(kāi)

1、上展開(kāi)

2、上奇偶函數(shù)的展開(kāi)

(1)f(x)為奇函數(shù)

(2)f(x)為偶函數(shù)

（四）周期為2l的函數(shù)展開(kāi)

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1、級(jí)數(shù)的概念

2、級(jí)數(shù)的性質(zhì)

1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)

2、交錯(cuò)級(jí)數(shù)

2、分析性質(zhì)

2、間接展開(kāi)法

1、 $[-\pi,\pi]$ 上展開(kāi)

2、 $[-\pi,\pi]$ 上奇偶函數(shù)的展開(kāi)