在FRM考試中，將VaR定義為VaR is the maximum loss over a target horizon and for a given confidence level，即在特定時(shí)間，給定的置信水平下的最大損失，用其來衡量風(fēng)險(xiǎn)，類似的衡量的風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)很多，F(xiàn)RM中主要包括：ES, D, β，σ等等。
既然指標(biāo)怎么多，那又是根據(jù)哪些原則來挑選風(fēng)險(xiǎn)衡量指標(biāo)的呢？
FRM中給出了四條原則：
(1)Monotonicity 單調(diào)性
R1>=R2, then ρ(R1) <= ρ(R2)
收益越高，風(fēng)險(xiǎn)越低。單調(diào)性和之前所知的常理不符，其實(shí)也好理解，換個角度，即收益越高，資本越充足，越能抵抗風(fēng)險(xiǎn)。
(2)Subadditivity 次可加性
ρ(R1 + R2)<= ρ(R1) + ρ(R2)
同時(shí)投資兩種資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)要小于等于單獨(dú)投資兩種資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)之和。
(3)PositiveHomogeneity 正齊性
ρ(βR) = βρ(R)
投資一支股票的風(fēng)險(xiǎn)為ρ(R)，那么投資β支風(fēng)險(xiǎn)相同的股票的風(fēng)險(xiǎn)為βρ(R)。
(4)TranslationInvariance 平移不變性
ρ(R + c) = ρ(R) - c
c是常數(shù)，相當(dāng)于在投資組合中加入現(xiàn)金，現(xiàn)金是具有風(fēng)險(xiǎn)緩釋作用的，那么計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)時(shí)就可以減掉這個c。
我們通常認(rèn)為，符合上述四條原則的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)即為一個好的風(fēng)險(xiǎn)衡量指標(biāo)。
VaR的優(yōu)缺點(diǎn)：
VaR自被發(fā)明以來一直飽受爭議，但時(shí)至今日仍被投資界所使用，必有其自身的優(yōu)越性。
優(yōu)點(diǎn)：
(1)Used for risk control and performance assessment.
(2)Easy to understand.
(3)Advanced method.
(4)Single instrument or portfolio
缺點(diǎn)：
(1)Did not contain worst conditions,did not describe tail loss.
根據(jù)VaR的定義，其只能告訴我們在特定時(shí)間，給定置信水平下的最大損失，即其在設(shè)計(jì)之初，就忽略了極端情況的存在，一天內(nèi)，在95%的置信區(qū)間下，最大損失為100萬美金，其意義為在一天時(shí)間內(nèi)，最大損失有95%的可能性不超過100萬美金。VaR能描述95%，99%的情況下的最大損失，但忽略了5%，1%的情況，即忽略掉了尾部風(fēng)險(xiǎn)（tail loss），忽略了肥尾的情形，如果發(fā)生黑天鵝，VaR豈不是害人不淺！尾部風(fēng)險(xiǎn)是指在巨災(zāi)事件發(fā)生后，直到合約到期日或損失發(fā)展期的期末，巨災(zāi)損失金額或證券化產(chǎn)品的結(jié)算價(jià)格還沒有被精確確定的風(fēng)險(xiǎn)。
假設(shè)100days的時(shí)間里，收益分別為-200,-50,-10,-6.5,-5,-1,-0.5,0,1,2,5,...在95%的置信區(qū)間下，運(yùn)用非參數(shù)法，VaR為5萬，但其尾部的損失卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于5萬。100天里91天盈利，但還比不上一天的虧損。
『尾部風(fēng)險(xiǎn)』就是所謂的黑天鵝事件的風(fēng)險(xiǎn)，資產(chǎn)a和b在500天里收益最大的495天損失最大的是10萬元，那它們的VaR99%都是10萬元，但有可能在剩下5天里資產(chǎn)a平均損失20萬，資產(chǎn)b平均損失50萬?？瓷先ワL(fēng)險(xiǎn)一樣的資產(chǎn)，尾部風(fēng)險(xiǎn)完全不一樣?，F(xiàn)實(shí)生活里的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)很多是像資產(chǎn)b這樣的不符合正態(tài)分布的，用基于正態(tài)分布假設(shè)的VaR來估算很容易低估風(fēng)險(xiǎn)。（此段文字摘自知乎，作者：chifung cheung）
(2)Not sub-additive.
不滿足次可加性（一般非常離散的模型不滿足次可加性）同時(shí)投資兩種資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)要小于等于單獨(dú)投資兩種資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)之和，比如說資產(chǎn)a風(fēng)險(xiǎn)是10萬，資產(chǎn)b風(fēng)險(xiǎn)是20萬，那資產(chǎn)a與b的投資組合的風(fēng)險(xiǎn)必須小于等于30萬。但VaR不具備這個性質(zhì)，不但不好評價(jià)資產(chǎn)組合，還很難進(jìn)行投資組合最優(yōu)化。
在置信水平為99%的情況下，投資于單個資產(chǎn)，其var值為0萬（從左向右數(shù)，概率累計(jì)大于1%時(shí)為止）；投資于A,B,C三個資產(chǎn)時(shí)，其var值卻為10萬(從左向右數(shù)，概率累計(jì)大于1%時(shí)為止)，不滿足次可加性的原則。
(3)illiquid Assets
流動性較差的資產(chǎn)不能用VaR來衡量，VaR極度依賴交易數(shù)據(jù)，如果某種資產(chǎn)10,20天才產(chǎn)生一次交易，我們是沒法用它的VaR來衡量風(fēng)險(xiǎn)的，即使計(jì)算出來也是不準(zhǔn)確。
VaR的計(jì)算：
計(jì)算VaR的方法有很多，F(xiàn)RM中將按照full valuation和local valuation進(jìn)行了劃分。
local valuation主要指Delta-Normal Approximation，Delta-Gamma Approximation。
為了方便給理解，下面主要介紹非參數(shù)法和參數(shù)法。
(1) 非參數(shù)法
略。。。
(2)參數(shù)法
①相對VaR(relative VaR)
相對于均值，比如95%的置信水平，那么VaR = 1.65σ
②絕對VaR(absolute VaR)
相對于0，VaR = |1.65σ - E(R)|
這里求出的為百分比（即percent var），如果是求數(shù)值（dollar var），再乘以整個投資組合的價(jià)值即可。
舉個例子：
給定一個價(jià)值$100,000,000 portfolio，一周的期望投資回報(bào)率為0.00188，標(biāo)準(zhǔn)差為0.0125，給定95%的置信水平，求VaR？
ρ為天與天之間的關(guān)系。
① With trends→positive correlation→VaR increase
市場的變化是有趨勢的，此時(shí)ρ>0, VaR會變大。
②With mean reversion→negative correlation→VaR decrease
均值回歸，此時(shí)ρ<0,VaR會變小。
（總是圍繞-0.5這個軸波動，均值是回歸的）
VaR的應(yīng)用：
(1)Delta-Normal Approach：
僅考慮線性關(guān)系
①債券的VaR
②期權(quán)的VaR
(2)VaR of Nonlinear Derivatives–Delta-Gamma Approximation
///推導(dǎo)為兩邊同時(shí)取VaR///
①債券的VaR
②期權(quán)的VaR
VaR模型的補(bǔ)充
對于VaR模型，由于其未考慮尾部風(fēng)險(xiǎn)，所以金融學(xué)界又發(fā)明了許多方法，對VaR模型進(jìn)行補(bǔ)充，比方說conditional VaR（ES），worst case scenario(WCS，最差情景分析)，StressTesting（壓力測試）等。這些方法主要考慮極端情況的發(fā)生，在一定程度上彌補(bǔ)了VaR未考慮尾部風(fēng)險(xiǎn)的弊端。
最后附上一篇實(shí)戰(zhàn)文章，加深對VaR的認(rèn)識。
在險(xiǎn)價(jià)值(Value at Risk)風(fēng)險(xiǎn)度量下的資產(chǎn)組合前沿 https://uqer.io/community/share/57aa83f8228e5b9b95a88894
