多體系統描述：齊次變換矩陣法

對于第一次聽說齊次變換的同學來說，的確不容易理解其中的來龍去脈。本文以機械臂為載體詳細敘述其來源。

1. 姿態(tài)變換矩陣

姿態(tài)變換矩陣是描述坐標系旋轉變換的矩陣。若考慮平移，僅僅在加一個向量即可。

固定坐標系與手爪坐標系

定義兩個坐標系：

$O_BX_BY_BZ_B$ ：固定坐標系，基準坐標系，固定在基座上。
$O_EX_EY_EZ_E$ ：手爪坐標系，固定在手爪上。

手爪的位置和姿態(tài)可以通過以下的物理量表示：

$^{B}\vec{p}_E \in \mathbb{R}^{3 \times 1}$ ：從 $O_B$ 指向 $O_E$ 的位置向量。約定：右下角標表示所要表示的對象的名稱。
$^{B}R_E \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ ： $B$ 到 $E$ 的變換矩陣。約定：左上角表示所用的基底所在坐標系。

依據線性變換的幾何意義，姿態(tài)變換矩陣各列向量即為變換后的空間的基底在原空間的坐標。即： $^{B}R_E = \begin{bmatrix} ^{B}\vec{e}_x & ^{B}\vec{e}_y & ^{B}\vec{e}_z \\ \end{bmatrix}$
這是姿態(tài)變換矩陣的最終形式，該矩陣是正交陣。但該變換矩陣具體如何體現機械臂的位置參量，還須進一步討論。

2. 齊次變換矩陣

二維問題的坐標系

$^{B}\vec{p}_E$ 與 $^{B}\vec{p}_p$ 之間的變換關系可由下向量式表示：
$^{B}\vec{p}_p = \, ^{B}R_E \, ^{E}\vec{p}_p + ^{B}\vec{p}_E$
可以看出，該變換由旋轉和平移組成。即定軸轉動和平動組合成平面運動。然而我們更喜歡直接用矩陣乘法來對某個對象進行變換操作，這是符合計算機程序設計要求的。因此，數學家想到了矩陣的分塊：
$\begin{bmatrix} ^{B}\vec{p}_p\\ 1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ^{B}R_E & ^{B}\vec{p}_E \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ^{E}\vec{p}_p\\ 1\\ \end{bmatrix} = ^{B}T_E \begin{bmatrix} ^{E}\vec{p}_p\\ 1\\ \end{bmatrix}$
該式即為齊次變換式，矩陣 $^{B}T_E$ 稱為齊次變換矩陣。對于2維空間的齊次變換，變換矩陣為 $3 \times 3$ ；對于3維空間，齊次變換矩陣為 $4 \times 4$ 。