RS碼原理

RS 碼的一個特點是其符號和值都取自有限域GF(2m)，GF(2m)的元素αi取值范圍為[0,2m-1]，有限域通過迭代生成，與m和本原多項式有關(guān)。

GF(2^8)表示域中有256個元素，除0，1之外的254個元素由本原多項式P(x)生成。

初始化前兩項：第一項：0，第二項： α0 = 1；

迭代求????：temp = ?????1左移一位，如果αi-1第m-1位為 1（即移位后產(chǎn)生進位）

則αi等于移位結(jié)果 temp 除本原多項式取模，否則αi等于移位結(jié)果 temp。其中i∈ [1, 2m-2]，迭代2m-2次。

RS（n,k)碼可以由m,k,n三個參數(shù)表示，其中m表示碼元符號取自GF（),n為碼字長度，k為信息段長度。對于一個可以糾正t個符號錯誤的RS碼 ，有如下參數(shù)：

碼字長度：個符號或者mn個比特

信息段:? k個符號或者km個比特

監(jiān)督位： 2t=n-k個符號或者2mt個比特

最小碼距： 2t+1個符號或者（2t+1)*m個比特

RS碼的基本思想就是選擇一個合適的生成多項式g(x)，使得碼字多項式c(x）除以生成多項式所得到的余式為0。RS碼的生成多項式一般按如下公式選擇：

其中αi是GF()中的一個元素。如果用d(x)表示信息段多項式，則可以按照如下方式構(gòu)造c(x)：首先計算商式h(x)和余式r(x)

取余式r(x)作為校驗式，然后令

即將信息位放置于碼字的前半部分，監(jiān)督為放在碼字的后半部分，這樣有：

因此碼字多項式c(x)必可被生成多項式g(x)整除，如果在接收方檢測到余式不為0，則可以判斷接收到的碼字有錯。