極限作為考研數(shù)學(xué)的開篇，試圖讓我們接受"你可以無窮趨近，但你永遠也不能達到"的狀態(tài)，這種有悖常理的狀態(tài)充滿吊詭，加之一堆古希臘符號，讓我們對"無窮"之下的不確定性感到畏懼。

不止是我們，久遠以前的智者，也對極限的悖論有過思考，《莊子》中惠施所言：“一尺之棰 日取其半 萬世不竭”芝諾也提出：“一段路，先走1/2，再走剩下的1/2……如此循環(huán)，永遠不能到達終點”。

類似的，舉個我和Kaysen（另一位學(xué)長）回家的例子，來說明極限趨近的本質(zhì)，例如我和kaysen每天分別走剩下路程的1/2和2/3。如下圖所示：

煜神、Kaysen在回家(永遠在路上)

對于Kayen：第一天，還有1/2的路；第二天還有1/4的路，第n天，還有 ?，斗轉(zhuǎn)星移， ?Kaysen離家的路程還有 ?。

對于我而言：第一天還有1/3；第二天，還有1/9，第n天，還有 ?，日積月累， 我離家的路程還有 ?。

要想知道Kaysen和我胡子白了之后誰距離家更近，作商， ?。意味著Kaysen比我回家的路更艱難，我比Kaysen回家速度更“快”！，而這就是無窮小比階的知識點：

無窮小比階(比速度)

此時會產(chǎn)生一個悖論，Kaysen和我胡子白了，離家都無窮近（一腳就能踏進家門），我比Kaysen回家的速度又“無窮快”，那為什么我還是在“有生之年”到不了家？（真讓人頭疼?。。?/p>

來一起解釋下，無窮小比階的高階無窮小概念，Kaysen和我離家的距離都是“無窮小”，但是我離家的距離又是Kaysen離家距離的高階無窮??！也就是無窮小之下的無窮?。∥腋鶮aysen回家速度的相對快慢并不改變我們無窮趨近家又都到不了家的事實！

上面所說的極限回家模型，雖然說的是回家，但是隱含有前置條件：那就是永遠都回不了家！類似于我們想要成為一個完美的人，但是我們不管怎么成長，只能趨近于完美，但永遠也無法達到絕對的完美，因為這一設(shè)想內(nèi)在地隱含了“人不可能達到絕對的完美”這樣一個客觀的結(jié)果。

之所以我們會產(chǎn)生上述悖論的困惑，是由于我們會本能地將無窮小和作商的無窮大天然對立，無窮小超出了我們的經(jīng)驗，所以它是想象力和天賦理性的范疇，而不是常識的范疇。用常識去做思考，就會陷入到惠施所說的：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的“常識悖論”之中。

“無窮快”與“無窮天”不沖突

接下來，一起看一元函數(shù)的極限趨近，同樣是回家，我們可以從相反的兩個方向回家，左邊方向回家可以看成左極限，右邊方向回家可以看成右極限。

如果兩個方向都能無限趨近家門，那么在家的附近（去心鄰域），道路就是通暢的（連續(xù)的），此時左極限等于右極限，也就是極限存在，如下表達式：

左右都能通暢的回家

所以在一元函數(shù)中，若某點處連續(xù)，則有該點處的左極限等于右極限(也就是極限存在)的結(jié)論。反之不一定對，如下圖：

走了太長時間，房子倒塌了

此時依然有左極限等于右極限等于A(都能流暢的回家)，但是由于極限是不斷趨近于某個值(離家越來越近)，但是不等于這個值(到不了家)，所以家的情況是不清楚的，所以此時如果家沒有了，那么在家這一點處是沒有值的，即不連續(xù)，如下表達式：

?即可去間斷點

某些壞人為了阻止我回家，立了堵墻

但如果另一條方向上，在家附近有一道圍墻擋住了去路，那么沿這條路就不能無窮趨近于家門，此時就存在間斷，同時可以得到左極限不等于右極限，也就是極限不存在了，如下表達式：

根據(jù)間斷點知識，這個間斷點為跳躍間斷點。

這樣拓展類比到二元函數(shù)中，回家的路徑有無窮多個方向，任意方向都能回家，才說回家的路徑是通暢的（連續(xù)）。

所有路徑都是通暢的

按照表達式即為：?

如有路徑被圍墻、河山阻斷，此路不通，那么就說回家的路徑是不通暢的（間斷），如下圖。

部分路徑不通暢

總的來說：二元函數(shù)與一元函數(shù)，某點連續(xù)的定義本質(zhì)上都是相同的，即要求所有方向都能夠趨近該點(且等于該點)，無非是一元函數(shù)只有兩個方向的趨近，而二元函數(shù)有無窮個方向可以趨近，當(dāng)無窮個方向中哪怕有一條無法趨近，就認(rèn)為存在間斷。一元只用判斷兩條路徑；二元需要判斷無窮條路徑，也使得二元函數(shù)的連續(xù)條件看上去似乎更為苛刻。

本文通俗地闡述了極限的趨近與一元、二元函數(shù)的連續(xù)與間斷，希望能幫助大家加深對極限思想的認(rèn)識，同時，如果大家還有不明白的或者有更好的理解，歡迎在評論區(qū)留言。下一篇將對漸近線進行通俗化的解讀，下期見。