條件概率

條件概率

例1： 一個家庭中有兩個小孩，已知至少一個是女孩，問兩個都是女孩的概率是多少？（假定生男生女是等可能的）

解： 由題意可知，樣本空間為

S = {(兄，弟),(兄，妹),(姐，弟),(姐，妹)}

A = {(兄，妹),(姐，弟)，(姐，妹)}

B = {(姐，妹)}

由于事件 A 已經(jīng)發(fā)生，所以這時實驗的所有可能結(jié)果只有三種，而事件 B 包含的基本事件只占其中的一種，所以有

P(B|A) = \frac{1}{3}

P(B|A) 表示 A 發(fā)生的條件下，B 發(fā)生的條件概率。

在這個例子當中，若不知道事件 A 發(fā)生，

則事件 B 發(fā)生的概率為 P(B)=\frac{1}{4}。

這里 P(B)\neq P(B|A)。

其原因在于事件 A 的發(fā)生改變了樣本空間。

使得它由原來的 S 縮減為新的樣本空間 S_A=A。

條件概率的圖示分析：

image

P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}

理解為 B 在 A 中所占的比例。

條件概率的定義

P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}, P(A)\neq 0

性質(zhì)：P(·|A) 是概率

（1）非負性：P(B|A)\geq 0；
（2）規(guī)范性：P(S|A) = 1；
（3）可列可加性：B_1,B_2,...,B_iB_j \neq \emptyset, i\neq j, 則：

P(\bigcup_{i=1}^{\infty}B_i|A) = \sum_{i=1}^{\infty}P(B_i|A).

P(·|A) 具有概率的所有性質(zhì)。

例如:

P(B|A) = 1 - P(\overline{B}|A)

P(B\bigcup C|A) = P(B|A) + P(C|A) - P(BC|A)

B\supset C\implies P(B|A) \geq P(C|A)

例2：對某地區(qū)調(diào)查了1439人,研究吸煙與患呼吸道疾病之間的關(guān)系.數(shù)據(jù)如下：

image

解： 在這 1439 人種，隨機選一人，設(shè) A 表示吸煙，B 表示患病。則：

P(A) = \frac{725}{1439} = 0.504，

P(B) = \frac{394}{1439} = 0.274，

P(AB) = \frac{320}{1439} = 0.222，

P(B|A) = \frac{320}{725} = 0.441，

P(B|\overline{A}) = \frac{74}{714} = 0.104

乘法公式

當下面的條件概率都有意義的時候：

P(AB) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B)

P(ABC) = P(A)·P(B|A)·P(C|AB)

P(A_1A_2...A_n) = P(A_1)·P(A_2|A_1)·P(A_3|A_1A_2)...P(A_n|A_1...A_{n-1})

例 3: P(A) = \frac{1}{4},P(B|A) = \frac{1}{3},P(A|B) = \frac{1}{2}, 求P(A\bigcup B),P(\overline{A}|A\bigcup B)。

解：

P(AB) = P(A)·P(B|A) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}

P(AB) = P(A|B)·P(B) \implies P(B) = \frac{P(AB)}{P(A|B)} = \frac{1}{6}

P(A\bigcup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{3}

P(\overline{A}|A\bigcup B) = 1 - P(A|A\bigcup B) = 1 - \frac{P(A)}{P(A\bigcup B)} = 1 - \frac{1/4}{1/3} = \frac{1}{4}

例4： 一盒中有5個紅球，4個白球，采用不放回抽樣，每次取一個，取3次.
（1）求前兩次中至少有一次取到紅球的概率；

（2）已知前兩次中至少有一次取到紅球，求前兩次中恰有一次取到紅球的概率；

（3）求第1，2次取到紅球第3次取到白球的概率.

解：

令 A_i = \{第 i 次取到紅球\}，i = 1,2,3
.
B = ｛前兩次至少又一次取到紅球｝，

C = ｛前兩次恰有一次取到紅球｝。

（1） P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - P(\overline{A_1})·P(\overline{A_2}|\overline{A_1}) = 1 - \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{5}{6}.

（2） P(C|B) = 1 - P(\overline{C}|B) = 1 - \frac{P(B\overline{C})}{P(B)} = 1 - \frac{P(A_1A_2)}{P(B)} = \frac{2}{3}.

（3） P(A_1A_2\overline{A_3}) = P(A_1)·P(A_2|A_1)·P(\overline{A_3}|A_1A_2) = \frac{5}{9}\times\frac{4}{8}\times\frac{4}{7} = \frac{10}{63}.

例5： 某人參加某種技能考核，已知第 1 次參加能通過的概率為 60%；若第 1 次未通過，經(jīng)過努力，第 2 次能通過的概率為 70%；若前二次未通過，則第 3 次能通過的概率為 80%。求此人最多 3 次能通過考核的概率。

解：

令 A_i = \{第 i 次通過考核\}, i=1,2,3

A = {最多三次通過考核}

則 \overline{A} = \overline{A_1}~\overline{A_2}~\overline{A_3}

\begin{aligned} P(A) =& 1 - P(\overline{A}) = 1 - P(\overline{A_1}~\overline{A_2}~\overline{A_3}) \\ =& 1 - P(\overline{A_1})·P(\overline{A_2}|\overline{A_1})·P(\overline{A_3}|\overline{A_1}~\overline{A_2}) \\ =& 1 - 0.4\times 0.3\times 0.2 = 0.976 \end{aligned}

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