拋硬幣問題一

題目描述：連續(xù)拋擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)兩次正面朝上（兩次可以不連續(xù)，但最后一次一定要是正面），則停止，求拋擲次數(shù)的期望。

正確答案是4。
但是，這里的4不是簡單的從 2/0.5=4得來的。
假設(shè)投擲n次硬幣后，剛好兩次正面朝上。那么可以知道，前n-1次拋硬幣有一次是正面,概率為（n-1)(0.5)^{n-1}，第n次是正面，概率為0.5。
因此，拋n次硬幣出現(xiàn)題干中描述情形的概率為（n-1)(0.5)^{n-1}(0.5)=（n-1)(0.5)^{n}，可得n的數(shù)學(xué)期望為
\begin{equation} E=\sum_{n=2}^{\infty}(n)(n-1)(0.5)^n \end{equation}
為了計算E，需要借助一個常用的泰勒展開式，按照如下的方式進(jìn)行變換：
\begin{equation} \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots ， \end{equation}
接下來求兩次導(dǎo)數(shù)，兩端求導(dǎo)，得
\begin{equation} \frac{1}{{1-x}^2}=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+\cdots ， \end{equation}
再求導(dǎo)，得
\begin{equation} \frac{2}{{1-x}^3}=2+(3)(2)x+(4)(3)x^2+(5)(4)x^3+\cdots ， \end{equation}
當(dāng)x=0.5時，
\begin{equation} 16=2+(3)(2)(0.5)+(4)(3)(0.5)^2+(5)(4)(0.5)^3+{\cdots} ， \end{equation}
但是注意這時候右邊其實是n(n-1)(x)^{n-2}，所以等式兩端要同時乘以x^2，得到我們一開始的通項公式。
最后結(jié)果為16*(0.5)^2=4。
最后，假設(shè)題目要求不是2次，而是3次，5次，n次，那么增加級數(shù)的求導(dǎo)次數(shù)就可以了。

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