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為了深入理解fMRI分析的原理，還是要學(xué)習(xí)一些微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)的東東，這是我的學(xué)習(xí)筆記，內(nèi)容還沒有很好的整理。

視頻在這里1-Differential Equations and Dynamical Systems Overview_嗶哩嗶哩_bilibili

課程的原始地址在這里：ME 564 - Mechanical Engineering Analysis (washington.edu)

17. 2x2 階ODEs源與匯

17-2x2 Systems of ODEs Sources and Sinks_嗶哩嗶哩_bilibili

此處的源（source）我理解是系統(tǒng)的固定點(diǎn)（fixed point）當(dāng)系統(tǒng)處于其他狀態(tài)時(shí)，由于系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，因此會(huì)向其他方向(可以理解為向相平面上的其他狀態(tài)進(jìn)行轉(zhuǎn)移)發(fā)散。
如下圖所示，圓球是可以立于另一個(gè)球的頂端的，但是當(dāng)球處于其他位置時(shí)，會(huì)迅速滾走。最頂點(diǎn)的平衡狀態(tài)，即可認(rèn)為是系統(tǒng)的source。

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此處的匯（sink）我理解是系統(tǒng)的穩(wěn)定點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)處于其他狀態(tài)時(shí)，會(huì)迅速的向穩(wěn)定點(diǎn)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)。

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$\underline{\dot x} = A \underline{x}$

若
$A= \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}$
則
$T = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{bmatrix}$
$D = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4\\ \end{bmatrix}$
$T^{-1} = \begin{bmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & -0.5\\ \end{bmatrix}$

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如圖所示，圖中的黑色坐標(biāo)為 $\underline{x}$ 的坐標(biāo)，藍(lán)色的表示兩個(gè)特征向量的方向，在這兩個(gè)方向上，得到的 $\underline{z}$ 是彼此解耦的，在 $(1,1)$ 方向上的運(yùn)動(dòng)速度是在 $(1,-1)$ 方向上速度的 $\frac{1}{2}$ （特征值是2倍的關(guān)系）

18. 2x2系統(tǒng)的ode鞍點(diǎn)及其不穩(wěn)定性

18-2x2 Systems of ODEs Saddle Points and Instability_嗶哩嗶哩_bilibili

此處建議看視頻，了解一下鞍點(diǎn)的含義

19. 2x2 ode的虛特征值和中心不動(dòng)點(diǎn)

19-2x2 Systems of ODEs Imaginary Eigenvalues and Center Fixed Points_嗶哩嗶哩_bilibili

特征值的實(shí)數(shù)部分給出了增加或減少的趨勢(shì)，特征值的虛部則代表了周期震蕩

20. 特征值與穩(wěn)定性

20-Stability and Eigenvalues What does it mean to be a stable eigenvalue_嗶哩嗶哩_bilibili

任意特征值的實(shí)數(shù)部分 $Re(\lambda)>0$ 則，系統(tǒng)不穩(wěn)定；若所有 $Re(\lambda)<0$ ，則系統(tǒng)穩(wěn)定。

21. 線性微分方程

21-What is a Linear Differential Equation_嗶哩嗶哩_bilibili

線性的定義為：
$f(\alpha x+ \beta y)=\alpha f(x)+ \beta f(y)$

22. 非線性微分方程在固定點(diǎn)附近的線性化

22-Linearizing Nonlinear Differential Equations Near a Fixed Point_嗶哩嗶哩_bilibili

非線性系統(tǒng)是一個(gè)比較復(fù)雜的問題，我們一般采用首先找到其固定點(diǎn)，之后在固定點(diǎn)附近進(jìn)行線性化處理。

對(duì)于微分方程：
$\dot x = f(x)$
對(duì)于任意點(diǎn) $\overline x$ 而言，若 $f(\overline x) = 0$ ，則 $\overline{x}$ 是一個(gè)固定點(diǎn)。

對(duì)于 $\overline x$ 附近的點(diǎn) $x=\overline x + \Delta x$ ，則利用泰勒公式展開可得：

$\begin{align} \dot x = f(x) =&f(\overline x+\Delta x) \\ =&f(\overline x) + \frac{Df}{Dx}( \overline x )\Delta x + \frac{D^2f}{Dx^2}( \overline x)\Delta x^2 + \cdots \end{align}$

與此同時(shí)，考慮到：
$\begin{align} \because& f(\overline{x}) = 0 \\ \therefore& \dot x \approx \frac{Df}{Dx}( \overline x )\Delta x \\ \therefore& \dot x = \fracu0z1t8os{dt}( \overline x+\Delta x) = \fracu0z1t8os{dt}\Delta x=\frac{Df}{Dt}(\Delta x) \end{align}$

此處得到了一個(gè)關(guān)于 $\Delta x$ 的線性常微分方程，已知：

$\frac{Df}{Dx}= \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{x_1} & \frac{\partial f_1}{x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{x_n}\\ \frac{\partial f_2}{x_1} & \frac{\partial f_2}{x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{x_n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{x_1} & \frac{\partial f_n}{x_2} & \cdots & \frac{\partial f_n}{x_n}\\ \end{bmatrix}$

一個(gè)例子，已知：
$\underline {f}(\underline x)= \begin{bmatrix} f_1(x_1, x_2) \\ f_2(x_1, x_2) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1-x_1^2 \\ x_1+x_2 \\ \end{bmatrix}$
所以固定點(diǎn)為
$\overline x = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}， \overline x = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}$