向量

在高中時(shí)期，其實(shí)大家就已經(jīng)學(xué)過向量的相關(guān)知識(shí)了，這兒我們?cè)購(gòu)?fù)習(xí)一遍。

什么是向量？

在數(shù)學(xué)中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量），指具有大?。╩agnitude）和方向的量。

在 3D 笛卡爾坐標(biāo)系, 基本上一個(gè)頂點(diǎn)就是XYZ坐標(biāo)空間上的?一個(gè)位置. ?而在空間中給定的一個(gè)位置恰恰是由?個(gè)單獨(dú)的XYZ定義的而這這樣的XYZ就是向量。

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向量長(zhǎng)度計(jì)算

向量長(zhǎng)度通過下列公式計(jì)算：

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單位向量

單位向量是長(zhǎng)度為1的向量。

如果一個(gè)向量不是單位向量，可以通過單位化將其轉(zhuǎn)化為單位向量，即非零向量除以向量的模。

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向量點(diǎn)乘

• 向量點(diǎn)乘只能發(fā)生在兩個(gè)向量之間，且點(diǎn)乘時(shí)，兩向量必須是單位向量，如果不是，需要將向量進(jìn)行單位化后，再點(diǎn)乘

• 點(diǎn)乘得到的是兩個(gè)向量之間的夾角的余弦值 即 cosα，范圍在[-1, 1]之間，是一個(gè)標(biāo)量

  
  
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• OpenGL中提供了關(guān)于向量點(diǎn)乘的API:

// m3dDotProduct3 函數(shù)獲得2個(gè)向量量之間的點(diǎn)乘結(jié)果;
float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);

// m3dGetAngleBetweenVector3 即可獲取2個(gè)向量之間夾?角的弧度值; 
float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);

向量叉乘

• 兩個(gè)向量之間叉乘得到結(jié)果同樣是一個(gè)向量，且該向量垂直于兩個(gè)向量所構(gòu)成的平面

• 由于結(jié)果與兩向量構(gòu)成平面垂直，也可以理解為得到的結(jié)果是該平面的法線

  
  
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• OpenGL中提供了關(guān)于向量叉乘的API:

// m3dCrossProduct3 函數(shù)獲得2個(gè)向量量之間的叉乘結(jié)果得到一個(gè)新的向量量
void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f  u ,const M3DVector3f v);

矩陣

假設(shè)，在空間有?個(gè)點(diǎn)，使?xyz描述它的位置。此時(shí)讓其圍繞任意位置旋轉(zhuǎn)?定?度后，我們需要知道這個(gè)點(diǎn)的新的位置，此時(shí)需要通過矩陣進(jìn)?計(jì)算。因?yàn)樾碌奈恢玫牟粏螁闻c原來的位置有關(guān)，還和旋轉(zhuǎn)的參數(shù)有關(guān)。

矩陣分類

• 行矩陣：一行一行讀取
• 列矩陣：一列一列讀取

單元矩陣

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• 主對(duì)角線上數(shù)據(jù)都是1，其余元素都是0，即為單元矩陣
• 向量 X 單元矩陣 = 向量 X 1，不會(huì)發(fā)生任何變化
• 向量與單元矩陣相乘的前提是：向量的列數(shù) == 單元矩陣的行數(shù)

矩陣點(diǎn)乘

• 矩陣可以進(jìn)行點(diǎn)乘的前提：兩個(gè)矩陣的行列數(shù)相等
• 矩陣A · 矩陣B = 矩陣C

• 規(guī)則： 矩陣A的第一個(gè)元素與矩陣B的第一個(gè)元素的乘積 = 矩陣C的第一個(gè)元素

  
  
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矩陣叉乘

• 矩陣可以進(jìn)行叉乘的前提：第一個(gè)矩陣的列數(shù) = 第二個(gè)矩陣的行數(shù)
• 矩陣A X 矩陣B = 矩陣C
• 規(guī)則：矩陣A第一行與矩陣B第一列對(duì)應(yīng)元素乘積的綜合 = 矩陣C的第一個(gè)元素

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OpenGL中的矩陣

• 通過GLFloat定義一個(gè)一維數(shù)組
  
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  通過M3DMatrix44f創(chuàng)建一個(gè)單元矩陣
  
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• 通過方法m3dLoadIdentity44f創(chuàng)建單元矩陣

void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);

矩陣圖解

• OpenGL中，使用較多的矩陣都是一維數(shù)組創(chuàng)建的，且規(guī)定使用以列為主的矩陣排序

• OpenGL中的矩陣都是4x4的，每一列都是由4個(gè)元素組成的向量
  1、第一列表示x軸方向
  2、第二列表示y軸方向
  3、第三列表示z軸方向
  4、第四列表示交換位置
  5、列向量進(jìn)行了特殊的標(biāo)注，表示這是以列為主的矩陣，主要體現(xiàn)為矩陣的最后一行都是0，只有最后一個(gè)元素為1

  
  
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矩陣相乘

數(shù)學(xué)角度中的矩陣相乘

數(shù)學(xué)中為了方便計(jì)算，都是以行矩陣為標(biāo)準(zhǔn)，從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算，所以在數(shù)學(xué)中，頂點(diǎn)將以行向量的方式表示

從數(shù)學(xué)角度理解mvp矩陣的計(jì)算，由于頂點(diǎn)是行向量，要滿足矩陣相乘的規(guī)定條件（即 叉乘的前提），必須將mvp矩陣放在右邊

• 變換后頂點(diǎn)向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro

• 變換后頂點(diǎn)向量 = 頂點(diǎn) * 模型矩陣 * 觀察矩陣 * 投影矩陣

  
  
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OpenGL角度中的矩陣相乘

OpenGL中的矩陣規(guī)定是以列為主，所以頂點(diǎn)以列向量的方式表示

從OpenGL角度理解mvp矩陣的計(jì)算，由于頂點(diǎn)是列向量，如果項(xiàng)進(jìn)行矩陣規(guī)則，就需要滿足矩陣相乘的條件，需要將mvp矩陣的順序顛倒為pvm

• 變換頂點(diǎn)向量量 = M_pro * M_view * M_model * V_local

• 變換頂點(diǎn)向量量 = 投影矩陣 * 視圖變換矩陣 * 模型矩陣 * 頂點(diǎn)

  
  
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OpenGL矩陣堆棧中矩陣相乘源碼分析

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• 從棧頂獲取棧頂矩陣 復(fù)制到 mTemp
• 將棧頂矩陣 mTemp 左乘 mMatrix
• 將結(jié)果放回棧頂空間?里里

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2.

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