公理V，它斷定了如下兩個(gè)命題之間的等價(jià)：
（Va）對(duì)于每一個(gè)主目，函數(shù)F與函數(shù)G有同樣的值。
（Vb）函數(shù)F的值域（value-range）等于函數(shù)G的值域。

如我們已經(jīng)看到的，弗雷格關(guān)于函數(shù)值域的觀念是他關(guān)于概念外延的觀念的推廣。

（Va）和（Vb）于是生成如下一個(gè)特例：
（Ca）概念F像概念G一樣，適用于同樣的對(duì)象（也就是說(shuō)，無(wú)論什么東西，只要處于概念F之下，就處于概念G之下，反之亦然）。
（Cb）概念F的外延等于概念G的外延。

羅素悖論現(xiàn)在可陳述如下。
如果每一個(gè)概念都相對(duì)于所有對(duì)象來(lái)定義（如我們已經(jīng)看到的，這就是弗雷格的主張），那么，每一個(gè)概念都可以看作是把所有對(duì)象劃分成兩類：那些處于它之下的對(duì)象，和那些不處于它之下的對(duì)象。

如果概念的外延是對(duì)象（弗雷格假定它們是如此，就像數(shù)一樣），那么，外延本身也可以劃分成兩類：那些處于該概念之下并且它們是其外延的外延（例如概念是一個(gè)外延的外延），和那些不處于該概念之下并且它們本身不是其外延的外延（例如，概念是一匹馬的外延）。
但是，現(xiàn)在考慮概念是一個(gè)并不處于它自身之下的概念的外延。這個(gè)概念的外延是否處于該概念之下？如果它處于該概念之下，則它不處于該概念之下；如果它不處于該概念之下，則它處于該概念之下。我們已經(jīng)得出了一個(gè)矛盾：這就是羅素悖論。

算術(shù)基礎(chǔ)：
“與 F 這個(gè) 概念 等 數(shù) 的” 這個(gè) 概念 的 外延 與“ 與 G 這個(gè) 概念 等 數(shù) 的” 這個(gè) 概念 的 外延 相等
這個(gè) 句子 是真 的， 當(dāng) 且 僅 當(dāng)：
“同一個(gè) 數(shù) 既 屬于 F 這個(gè) 概念， 又 屬于 G 這個(gè) 概念” 這個(gè) 句子 也是 真的。 因而 這里 是 完全 一致 的。

徐：
弗雷格的公理5主要是說(shuō)函數(shù)值域相等的條件，也可以理解為概念外延相等的條件。其產(chǎn)生的困難主要是和他的邏輯普遍主義聯(lián)系在一起的，即認(rèn)為概念對(duì)于所有落在其下對(duì)象的普遍性。但是他對(duì)對(duì)象的理解也包括概念的外延，他將概念的外延或函數(shù)的值域都理解為一種抽象的對(duì)象。而這就會(huì)產(chǎn)生困難。因?yàn)楦拍睿ê瘮?shù)）相等的條件在于其外延相等或值域相等，而概念外延或值域本身又被理解為抽象的邏輯對(duì)象，對(duì)象又與概念截然不同，那么，這樣就會(huì)產(chǎn)生悖論：概念就會(huì)分為兩大類：所有屬于這個(gè)概念的對(duì)象和不屬于這個(gè)概念的對(duì)象，那么，考慮哪些由不屬于自身的概念的類所組成的類，那么它們屬于還是不屬于這個(gè)概念類呢？這就是兩難。

公理5是對(duì)于概念/函數(shù)的談?wù)摗?br> 什么是一個(gè)概念相等，或者說(shuō)我們基于什么條件可以說(shuō)兩個(gè)概念之間是相等的。
公理5指出了兩種標(biāo)準(zhǔn)，并且把它們看作是對(duì)于同一個(gè)事情的談?wù)摗P(guān)于概念相等的談?wù)?，兩者之間意謂相等。

弗雷格為什么要討論概念的相等？
按照弗雷格在算術(shù)基礎(chǔ)中的工作，把數(shù)看作概念的外延，并且，是一個(gè)諸如“和概念F的外延等數(shù)的”這樣的概念的外延。
就是說(shuō)，數(shù)基于等數(shù)的概念。等數(shù)基于處于概念F和G之下的對(duì)象的一一相應(yīng)。而概念F和G可以為對(duì)象所謂述，根本上它是對(duì)象。從意義相應(yīng)到數(shù)的談?wù)?，就是“和概念F的外延等數(shù)的”這樣的概念。
概念F的外延，又是什么？
概念F的外延：‘與自身不相等’這個(gè)概念的外延，還不能說(shuō)出是什么。但是可以說(shuō)出的是，屬于它的一個(gè)數(shù)，“與它等數(shù)的”這個(gè)概念的外延是同一個(gè)數(shù)。
而“與自身相等的”這個(gè)概念的外延是什么？所有對(duì)象都處于它之下。如果要指出屬于它的一個(gè)數(shù)的話，這個(gè)數(shù)是并沒有給出來(lái)的。其外延可以看作總是真的。
可見，概念的外延在給出一個(gè)概念的同時(shí)，直接地得到的東西是一個(gè)真值函項(xiàng)。如果進(jìn)一步關(guān)注這個(gè)外延的性質(zhì)，譬如屬于‘與自身不相等’這個(gè)概念的外延的一個(gè)數(shù)，也可以表示為：“和概念F的外延等數(shù)的”這概念的外延，F(xiàn)就是‘與自身不相等’這概念。
“和‘與自身不相等’這概念的外延等數(shù)的”這概念的外延，它意謂一個(gè)數(shù)。

就概念F的外延來(lái)看。沒有東西處于其下。屬于它的一個(gè)數(shù)是0。
對(duì)象處于F之下，產(chǎn)生相應(yīng)的真值函項(xiàng)。外延就是函數(shù)的值域。外延是一個(gè)對(duì)子，還是一個(gè)一元的值？
“和概念F的外延等數(shù)的”這概念的外延，它是一個(gè)數(shù)。
但是，“一匹馬” 這概念，其外延就是一個(gè)真值。它取真或假取決于補(bǔ)充它的一個(gè)對(duì)象是不是一匹馬。
但是“和概念F的外延等數(shù)的”這概念的外延，并不由補(bǔ)充它的對(duì)象所決定。因?yàn)檫@外延是一個(gè)對(duì)象，這點(diǎn)是由這個(gè)概念本身的內(nèi)容所決定的?！昂透拍頕的外延等數(shù)的”具有概念的形式，因此它需要談?wù)撈渫庋雍吞幱谄湎碌臇|西。但是根本上它是一個(gè)對(duì)象，因此其外延和處于其下的對(duì)象都已經(jīng)在自身之內(nèi)給出來(lái)了。

公理5，在算術(shù)基礎(chǔ)中已經(jīng)有所指出。

a 這條 線 的 這個(gè) 方向 是“ 與 a 這條 線 平行” 這個(gè) 概念 的 外延；
d 這個(gè) 三角 形的 這種 形狀 是“ 與 d 這個(gè) 三角形 相似” 這個(gè) 概念 的 外延！

適合 F 這個(gè) 概念 的 數(shù) 是“ 與 F 這個(gè) 概念 等 數(shù) 的” 這個(gè) 概念 的 外延。
注：
我 相信， 可以 簡(jiǎn)單 地 用“ 概念” 來(lái) 表示“ 概念 的 外延”。
但是 人們 會(huì) 提出 兩點(diǎn) 反對(duì) 意見：
1． 這與 我 前面 的 斷定—— 個(gè) 別的 數(shù) 是 對(duì)象—— 相 矛盾， 因?yàn)?像“ 二 這 個(gè)數(shù)” 這樣 的 表達(dá)式 中有 定 冠詞； 不可 能以 復(fù)數(shù) 的 形式 談?wù)?一、 二 等等， 還 有數(shù) 只 構(gòu)成 給出 數(shù) 時(shí) 謂詞 的 一部分。
2． 概念 可以 有 相同 的 外延， 而 不 重合。 盡管 我 現(xiàn)在 認(rèn)為， 可以 提出 這 兩種 反對(duì) 意見， 但是 這可 能 引導(dǎo) 我們 遠(yuǎn)離 主題， 我 假定， 人們 知道 一個(gè) 概念 的 外延 是什么。

現(xiàn)在，
“與 F 這個(gè) 概念 等 數(shù) 的” 這個(gè) 概念 的 外延 與“ 與 G 這個(gè) 概念 等 數(shù) 的” 這個(gè) 概念 的 外延 相等
這個(gè) 句子 是真 的， 當(dāng) 且 僅 當(dāng)：
“同一個(gè) 數(shù) 既 屬于 F 這個(gè) 概念， 又 屬于 G 這個(gè) 概念” 這個(gè) 句子 也是 真的。 因而 這里 是 完全 一致 的。

公理5就是它的普遍形式。

1
主體總是存在于行動(dòng)中。我們可以考慮我們的思和行，但是不可以考慮主體本身。它不可以作為命題的對(duì)象?？档轮赋鼋?jīng)驗(yàn)中的主體性成分，但是知性并非思維所遵從的規(guī)則。知性作為普遍邏輯，思維對(duì)于它的服從是自然對(duì)象服從自然規(guī)律那樣的情況：我們無(wú)需認(rèn)知到知性就能總是服從思維規(guī)律或知性地思考。就像風(fēng)中滾石，它并不需要先計(jì)算種種力在它身上的作用，然后按其結(jié)果運(yùn)動(dòng)。不是，它的存在本身就是現(xiàn)象，就是種種力的作用的結(jié)果或表達(dá)。它僅僅作為單純的客體，在風(fēng)中滾動(dòng)。可以設(shè)想它的運(yùn)動(dòng)不符合作用在它身上的力的綜合的情況么？不需要作此設(shè)想。它不想，恰恰是它總是符合客觀世界在它身上的作用的原因——自然而然。
但這是人對(duì)于自身的存在的訴求的理想么——單純地作為客體？

但是人作為主體，并不能作為直接的語(yǔ)境。它不是語(yǔ)境，只能體現(xiàn)于一些感覺，體驗(yàn)：比如莫名其妙的沖動(dòng)。沖動(dòng)總是關(guān)乎對(duì)象的。意識(shí)總是關(guān)于對(duì)象的意識(shí)。這是直接給出來(lái)的，被帶入我們的意識(shí)中來(lái)的東西?？陀^對(duì)象有種種，但是這一種這一個(gè)被帶入我們的意識(shí)中來(lái)，就不是基于客觀性自身。我們當(dāng)然可以談?wù)撘环N背景上的客觀性，譬如生活形式。但是我們?cè)谧駨囊?guī)則的時(shí)候，難道不走神么？
遵從規(guī)則并不能滿足我們。我們遵從規(guī)則，但是我們也時(shí)時(shí)走神。如同行在公路上，除了眼觀前路，路邊的種種還是供我們的思緒縱馬奔馳。散步則是大體上可以看作取消掉規(guī)則的遵從，而僅僅留下這種思緒散漫游移的情況。可以看作一種白日夢(mèng)。

康德的理性的幻繆，在于主觀方面基于理性膨脹越界到客觀經(jīng)驗(yàn)里作出先驗(yàn)的斷言。w的哲學(xué)病，則是把語(yǔ)言形式上的東西直接帶入到思考的東西里面來(lái)，混淆了被使用的東西，需要被規(guī)范的東西，和用法規(guī)范之間的區(qū)分。

人作為主體表現(xiàn)在其思維，行動(dòng)之中了。人使用自己的思維，就如同使用自己的身體一樣。如樂手和樂器之間的關(guān)系。但是，在這里，被使用的東西，更準(zhǔn)確說(shuō)它的用法是有待人在認(rèn)識(shí)中給出來(lái)的。生活形式如果不領(lǐng)會(huì)，那么就難以參與相應(yīng)的語(yǔ)言游戲，不會(huì)如此這般地遵從規(guī)則以及使用語(yǔ)言。
反思得到的邏輯命題的意義在于，人認(rèn)識(shí)到如此這般想和做。就像語(yǔ)言和語(yǔ)言的使用之間的關(guān)系，一種語(yǔ)言由于杰出的使用者的出現(xiàn)而得到提升。英語(yǔ)在莎士比亞寫作之后，就有所不同了。德語(yǔ)在近代一系列哲學(xué)家的寫作之后，其邏輯方面的表達(dá)能力也得到提升。使用者在使用中造就了一種語(yǔ)言的新的用法。而語(yǔ)言并非脫離用法存在，它們總是在用法為我們所使用，參與我們的經(jīng)驗(yàn)。
邏輯在于向我們揭示生命的用法中的法則，而非行動(dòng)中遵從的規(guī)則。前者指出不可不如此的，否則就是非法的，使人的思維和行動(dòng)不符合理性。邏輯，理性，是一些消極的東西，分析命題。違背它們帶來(lái)的是對(duì)于人作為主體自身的取消，但是服從它們僅僅是最基本的東西，還需要遵從普遍邏輯之外經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容的規(guī)則才帶來(lái)我們的經(jīng)驗(yàn)日常。
但是，邏輯命題雖然是分析的，也只是對(duì)于相應(yīng)現(xiàn)象的分析，對(duì)于某些人如此這般地思想和行動(dòng)的分析。它們還并非就是我的日常經(jīng)驗(yàn)。但是如果被指出，我就可以設(shè)想如此這般地思考和行動(dòng)。因此，給出一種邏輯命題，就如同為人可以如此這般的思考和行為揭示一種新的可能性。在沒有認(rèn)知到它之先，我就難以如此這般地想和做。語(yǔ)言分析中的邏輯命題是對(duì)于語(yǔ)言的用法的揭示。認(rèn)識(shí)論是對(duì)于經(jīng)驗(yàn)的普遍形式上的可能性的揭示，但不是對(duì)于經(jīng)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)性的揭示。本體論則是在意識(shí)的內(nèi)容方面普遍形式而非經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容的揭示。
邏輯命題的給出，如果把人的思維比作樂器，就是對(duì)于想和做的開音，去蔽。

我們可以自然而然地，風(fēng)吹草長(zhǎng)，假裝能夠象風(fēng)中滾石那樣純粹，但不是對(duì)于客觀自然的純粹，而是做應(yīng)當(dāng)做的事情。但是什么是應(yīng)當(dāng)?shù)?？從?lái)沒有現(xiàn)成的這樣的東西。人作為主體，就已經(jīng)不可避免地要使用自身地理性。理性是行動(dòng)中不可或缺的成分。正是由于理性的不可或缺，康德指出理性的謬誤才具有價(jià)值。w的哲學(xué)病的針對(duì)，才有價(jià)值。人作為主體，不能割舍理性。理性就是人作為主體本身的構(gòu)成。

2
對(duì)于徐的原文：
概念（函數(shù)）相等的條件在于其外延相等或值域相等，而概念外延或值域本身又被理解為抽象的邏輯對(duì)象，對(duì)象又與概念截然不同，那么，這樣就會(huì)產(chǎn)生悖論：概念就會(huì)分為兩大類：所有屬于這個(gè)概念的對(duì)象和不屬于這個(gè)概念的對(duì)象，那么，考慮哪些由不屬于自身的概念的類所組成的類，那么它們屬于還是不屬于這個(gè)概念類呢？這就是兩難。

第一句 概念（函數(shù)）相等的條件在于其外延相等或值域相等
概念為其外延所定義
這句的疑點(diǎn) 概念的外延和概念的值域看做同一個(gè)東西
：在可以為對(duì)象所謂述的概念的情況里，可以這么說(shuō)。
但是，不可以為對(duì)象所謂述的概念的情況里，譬如 是紅的 這個(gè)概念，不可以這么說(shuō)。
我們談到這樣一個(gè)概念的東西，其外延是一個(gè)真值函數(shù)。
這里區(qū)分詞項(xiàng)邏輯下面的概念分析，那里把概念的外延看作對(duì)象的集合或一個(gè)類。
但是，回到可以為對(duì)象所謂述的概念的情況來(lái)，概念的外延又是詞項(xiàng)邏輯中的情況了：它不是一個(gè)真值函項(xiàng)，而是對(duì)象的東西?！@就是二階概念的情況。一個(gè)可以為對(duì)象所謂述的概念，其外延就是這個(gè)對(duì)象。
這個(gè)對(duì)象是一個(gè)邏輯對(duì)象時(shí)，它作為二階概念可以基于邏輯先天的指出。
二階概念是對(duì)于作為其成分的一階概念的某種性質(zhì)的指出。對(duì)于一個(gè)紅蘋果，這蘋果的顏色，它意謂紅。紅是這蘋果的顏色這個(gè)概念的外延。
這蘋果的顏色，它意謂紅?？梢钥闯鰜?lái)，前面概念的外延談?wù)摰木褪沁@個(gè)概念的意謂。一個(gè)概念可以為一個(gè)對(duì)象對(duì)謂述，這個(gè)概念根本上就是一個(gè)類似摹狀詞的專名。只是羅素的摹狀詞談?wù)摰慕?jīng)驗(yàn)對(duì)象，而這里談?wù)摰氖沁壿媽?duì)象。
對(duì)象和概念的區(qū)分是根本的，在弗雷格。對(duì)象是不能用來(lái)謂述別的東西的。如果說(shuō)對(duì)象可以謂述一個(gè)概念，這里只能基于一種情況：這個(gè)概念和這個(gè)對(duì)象之間處于一種相互蘊(yùn)含的情況，或者說(shuō)這個(gè)概念詞和這個(gè)專名之間意謂相等，或者說(shuō)，這個(gè)概念意謂這個(gè)對(duì)象。這里，對(duì)象處于概念之下的情況，對(duì)象和概念之間一個(gè)處于另一個(gè)之下的情況，出現(xiàn)了一種特殊的情況：它們之間的位置可以倒換。這種情況恰恰就是“意謂”這個(gè)概念的語(yǔ)法?；蛘哒f(shuō)，概念和對(duì)象之間，這時(shí)處于前者意謂后者的情況里。但是意謂指出的是符號(hào)和所指的東西之間的關(guān)系。是一種符號(hào)和事物之間的根本不同的跨越或聯(lián)系。而這里的概念和對(duì)象之間，則是一種相互蘊(yùn)含?；蛘哒f(shuō)等價(jià)。這里可以看作表示這個(gè)概念的概念詞和表示這個(gè)對(duì)象的專名之間意謂相等的情況。

這句隱含著 這里談?wù)摰闹皇悄钤~那樣情況的概念:可以為對(duì)象所謂述，它根本上是對(duì)象，而非概念。因而，這里不討論 紅的 這樣的概念。

摹狀詞不是二階概念。它總是含有一個(gè)對(duì)象。羅素的父親，羅素是專名，意謂一個(gè)對(duì)象。
但是這里的概念，自身并不含有專名為其表達(dá)式的構(gòu)成成分。但是這個(gè)表達(dá)式意謂一個(gè)對(duì)象。這里，這個(gè)表達(dá)式要表明自身在討論談?wù)撘粋€(gè)二階概念，并且這個(gè)二階概念是一個(gè)對(duì)象，或者說(shuō)它是一個(gè)邏輯對(duì)象。
任何不可以為一個(gè)邏輯對(duì)象所謂述的二階概念，它都不能為一個(gè)不含有專名的成分的表達(dá)式所表達(dá)。
比如太陽(yáng)的顏色——紅。這個(gè)蘋果的顏色——紅，紅總是基于經(jīng)驗(yàn)而指出。蘋果可以是別的顏色，正午太陽(yáng)也可以不紅，我們只能基于經(jīng)驗(yàn)情況，基于這個(gè)紅蘋果說(shuō)它的顏色是紅，基于清晨日出時(shí)的太陽(yáng)，說(shuō)它是紅的。

第二句 概念外延或值域本身又被理解為抽象的邏輯對(duì)象
在這里，概念的外延看作抽象的邏輯對(duì)象。但是，它又可以看作一個(gè)概念，基于其作為一個(gè)類。

由此：概念就會(huì)分為兩大類：所有屬于這個(gè)概念的對(duì)象和不屬于這個(gè)概念的對(duì)象。
屬于，在此就是一個(gè)對(duì)象處于這個(gè)概念之下?？梢钥醋鳌ぁぁぬ幱凇ぁぁぶ?。

參考：
3 邁克?比尼原文
就其出現(xiàn)在弗雷格系統(tǒng)的情形而言，羅素悖論現(xiàn)在可陳述如下。
如果每一個(gè)概念都相對(duì)于所有對(duì)象來(lái)定義（如我們已經(jīng)看到的，這就是弗雷格的主張），那么，每一個(gè)概念都可以看作是把所有對(duì)象劃分成兩類：那些處于它之下的對(duì)象，和那些不處于它之下的對(duì)象。如果概念的外延是對(duì)象（弗雷格假定它們是如此，就像數(shù)一樣），那么，外延本身也可以劃分成兩類：那些處于該概念之下并且它們是其外延的外延（例如概念是一個(gè)外延的外延），和那些不處于該概念之下并且它們本身不是其外延的外延（例如，概念是一匹馬的外延）。
但是，現(xiàn)在考慮概念是一個(gè)并不處于它自身之下的概念的外延。這個(gè)概念的外延是否處于該概念之下？如果它處于該概念之下，則它不處于該概念之下；如果它不處于該概念之下，則它處于該概念之下。我們已經(jīng)得出了一個(gè)矛盾：這就是羅素悖論。

就是在2下面，我的理解。
2和3放到一起來(lái)讀。

看這句話
概念的外延本身也可以劃分成兩類：那些處于該概念之下并且它們是其外延的外延（例如概念是一個(gè)外延的外延），
和那些不處于該概念之下并且它們本身不是其外延的外延（例如，概念是一匹馬的外延）。

（概念是一個(gè)外延的外延：
一個(gè)外延作為概念，概念是其性質(zhì)，由此，概念是一個(gè)外延的外延。一個(gè)外延作為一階概念，其性質(zhì)是二階概念。概念就是對(duì)于一個(gè)外延這個(gè)概念而言的性質(zhì)。后一個(gè)外延在指出前一個(gè)概念的性質(zhì)而言的東西，總體上構(gòu)成一個(gè)二階概念。

概念是一匹馬的外延：概念不處于一匹馬之下，處于其下的是某匹馬。
？）

如果概念的外延是對(duì)象。
這引起了所有的問題?；蛘哒f(shuō)，是所有問題的根源。

弗雷格把每一個(gè)概念都相對(duì)于所有對(duì)象來(lái)定義（如我們已經(jīng)看到的，這就是弗雷格的主張），那么，每一個(gè)概念都可以看作是把所有對(duì)象劃分成兩類：那些處于它之下的對(duì)象，和那些不處于它之下的對(duì)象。
這里可以看出，對(duì)象和概念的關(guān)系在一種前者處于后者之下這種關(guān)系里。
而前面概念的外延是對(duì)象的情況，指出的，是一種同一的關(guān)系。用語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，就是表示一個(gè)概念的概念詞和表示一個(gè)對(duì)象的專名之間意謂的相等。這就是算術(shù)式中相等的關(guān)系。
而一個(gè)處于另一個(gè)之下的關(guān)系和相等的關(guān)系有區(qū)別。前者表示一種從屬關(guān)系，后者表示一種同一性。

概念的外延的理解，還有待指出。
弗雷格舉例數(shù)的情況時(shí)，是在二階概念的情況中把一個(gè)性質(zhì)的東西對(duì)象化。

而在對(duì)于句子作出對(duì)象和概念的劃分的情況中，概念的外延，指示的是一個(gè)真值。真作為邏輯。
可是，弗雷格又說(shuō)真不能看作句子的性質(zhì)。這怎么理解？
性質(zhì)的東西看作概念，是不滿足的。
但是真是滿足的?？醋鞒橄髮?duì)象或邏輯對(duì)象。

考慮這個(gè)蘋果的顏色，和這個(gè)蘋果的蒂。摹狀詞是后者的情況。

1
原文這句：
如果概念的外延是對(duì)象（弗雷格假定它們是如此，就像數(shù)一樣），那么，外延本身也可以劃分成兩類：那些處于該概念之下并且它們是其外延的外延（例如概念是一個(gè)外延的外延），和那些不處于該概念之下并且它們本身不是其外延的外延（例如，概念是一匹馬的外延）。

對(duì)于外延的劃分：一個(gè)外延，它處于該概念之下，并且是這個(gè)概念的外延；它不處于該概念之下，并且不是這個(gè)概念的外延。
在這里，外延看作實(shí)體x這樣的對(duì)象。這里是對(duì)于對(duì)象域作出劃分。
把分號(hào)前的這個(gè)句子合起來(lái)看，就是指出：概念的外延處于概念之下。
后面指出的是：不是概念的外延的東西，不處于概念之下。
這個(gè)句子合起來(lái)，就在說(shuō)這么一件事情：把概念的外延和處于概念之下的對(duì)象看作同一個(gè)東西。它們總是同時(shí)為真，或同時(shí)為假。

考慮概念——“與 ‘與自身不等’這個(gè)概念的外延 等數(shù)的”，這個(gè)概念的外延指出的是一個(gè)二階概念：一個(gè)數(shù)——0。
那么處于這個(gè)概念之下的對(duì)象是些什么？集合/類x，其下沒有項(xiàng)?；蛘哒f(shuō)，任何空項(xiàng)類。譬如：弗雷格的女兒。弗雷格沒有女兒?！芭c‘弗雷格的女兒’這個(gè)概念等數(shù)的”這個(gè)概念的外延，指出的是屬于“弗雷格的女兒”這個(gè)概念的一個(gè)數(shù)，它是0。

我們說(shuō) 弗雷格的養(yǎng)子 指謂 任意x，他是男子，弗雷格領(lǐng)養(yǎng)了他。有且僅有一個(gè)人處于這個(gè)類之下。因此，我們說(shuō) “與“弗雷格的養(yǎng)子”這個(gè)概念等數(shù)的”這個(gè)概念的外延，指謂的就是屬于“弗雷格的養(yǎng)子”這個(gè)概念的一個(gè)數(shù)，它是1。

考慮概念的外延和處于概念之下的對(duì)象。
算術(shù)基礎(chǔ)中指出的，就其外延談?wù)摰母拍?，和就?duì)象處于其下談?wù)摰母拍睿皇峭粋€(gè)概念。
在弗雷格的養(yǎng)子的例子里，我們?cè)陉P(guān)于一個(gè)數(shù)的談?wù)摾?，我們基?“與“弗雷格的養(yǎng)子”這個(gè)概念等數(shù)的”這個(gè)概念，就其外延而言指出一個(gè)數(shù)。同時(shí)，我們基于屬于“弗雷格的養(yǎng)子”這個(gè)概念，談?wù)撏粋€(gè)數(shù)。但是，這里是兩個(gè)不同的概念。前者是一個(gè)二階概念，后者是一個(gè)一階概念，一個(gè)摹狀詞。
0階概念怎么理解：養(yǎng)子 或紅的 這樣的概念？

“與“弗雷格的養(yǎng)子”這個(gè)概念等數(shù)的”這個(gè)概念，還是 “與“弗雷格的養(yǎng)子”這個(gè)概念等數(shù)的”這個(gè)概念的外延 作為概念，是二階概念？
是前者。
弗雷格：屬于F這個(gè)概念的數(shù)，是“與F這個(gè)概念等數(shù)的”這個(gè)概念的外延。

——弗雷格在此用概念表示概念的外延。他把它們看作同一個(gè)東西。弗雷格要指出的，應(yīng)該是“與F這個(gè)概念等數(shù)的”，和“與F這個(gè)概念的外延等數(shù)的”，談?wù)撏粋€(gè)東西。

這里存疑？？：
這就是一個(gè)概念在根本上是對(duì)象的情況，它可以為其外延所謂述。所以，這里的概念是類似摹狀詞的情況，概念在此在形式上是概念的，但是它意謂對(duì)象。
由此，“與F這個(gè)概念等數(shù)的”這個(gè)概念的外延，也可以和這個(gè)概念相混用。弗雷格在此談?wù)撘粋€(gè)概念時(shí)，談?wù)摰木褪瞧渫庋拥臇|西。

屬于F這個(gè)概念的數(shù)。還是屬于F這個(gè)概念的外延的數(shù)？
數(shù)是屬于一個(gè)概念，還是屬于一個(gè)概念的外延？
這些蘋果的數(shù)是5。這些蘋果在此就是摹狀詞，一個(gè)指稱詞組。它指謂對(duì)象。在此，看到這個(gè)概念看作指稱詞組的情況。談?wù)撨@個(gè)概念時(shí)，我們談?wù)摰氖撬钢^或意謂的對(duì)象。那么，這個(gè)概念和對(duì)象之間是一種指謂關(guān)系，或意謂關(guān)系，而非通常一階概念的對(duì)象處于其下的關(guān)系。它根本上是對(duì)象。一個(gè)數(shù)是屬于作為對(duì)象的這些蘋果。在此，概念和對(duì)象同一了，不作區(qū)別。
或者說(shuō)，這個(gè)概念的意謂是否可以看作這個(gè)概念的外延？

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從一點(diǎn)來(lái)看：
一個(gè)概念F，有一個(gè)數(shù)屬于它，這個(gè)概念根本上就是對(duì)象的情況，它可以為對(duì)象所謂述。
因?yàn)镕根本上是對(duì)象，所以其外延，或函數(shù)值，并非一個(gè)真值。對(duì)象沒有外延。概念的外延是對(duì)象。這里，談?wù)撨@個(gè)概念的外延時(shí)，是否就是在其作為指稱詞組的意謂而言談?wù)搶?duì)象。在此，外延和意謂語(yǔ)法相等。
“與F這個(gè)概念等數(shù)的”這個(gè)概念的外延。與（）等數(shù)的，與（）在數(shù)上相等的，怎么考慮其外延的東西？外延即函數(shù)值。與F這個(gè)概念在數(shù)上相等，可以有兩種補(bǔ)充：
一種，（）與F這個(gè)概念在數(shù)上相等，用一個(gè)G補(bǔ)充空位（），給出的是一個(gè)真值函項(xiàng)。
另一種，任意x，x與F這個(gè)概念在數(shù)上相等，屬于x的一個(gè)數(shù)（）。這個(gè)數(shù)就是”與F這個(gè)概念在數(shù)上相等“這個(gè)概念或函數(shù)所指出的值——一個(gè)對(duì)象。
因?yàn)檫@里談?wù)摰?，不是補(bǔ)充“（）與F這個(gè)概念在數(shù)上相等”的是一個(gè)G，它產(chǎn)生一個(gè)真值函項(xiàng)的情況。而是任意一個(gè)x補(bǔ)充這個(gè)概念之后句子為真的情況的進(jìn)一步考慮。這時(shí)，就是一種語(yǔ)詞表達(dá)式的句子基于真的指出而反過(guò)來(lái)指稱詞組化的情況。這時(shí)，它談?wù)摰氖且粋€(gè)并非作為真值的對(duì)象。
這就是“與F這個(gè)概念等數(shù)的”這個(gè)概念的外延的考慮。

這里，我們總是基于語(yǔ)境給出的東西來(lái)考慮有待進(jìn)一步考慮的東西。
在“（）與F這個(gè)概念在數(shù)上相等”的情況中，這是一個(gè)真值函項(xiàng)。真還是有待空位上對(duì)象的東西的給出來(lái)而被確定的東西。
在”與F這個(gè)概念在數(shù)上相等“這個(gè)概念的外延中，是任意x，它補(bǔ)充“（）與F這個(gè)概念在數(shù)上相等”的空位后，句子意謂真的情況下，這個(gè)句子可以進(jìn)一步談?wù)摰幕蛑钢^的東西，一個(gè)對(duì)象，一個(gè)數(shù)的對(duì)象。
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所以回到1，
基于公理V，談?wù)摰氖前迅拍畹耐庋雍吞幱诟拍钪碌膶?duì)象看作同一個(gè)東西。
這個(gè)公理所談?wù)摰臇|西，和弗雷格在引出數(shù)的定義時(shí)所基于的：屬于F這個(gè)概念的數(shù)，是“與F這個(gè)概念等數(shù)的”這個(gè)概念的外延。
它們不是同一個(gè)命題。或者說(shuō)，它們不是關(guān)于同一個(gè)東西的談?wù)摗１舜酥g沒有蘊(yùn)含關(guān)系。

也就是說(shuō)，公理5并不能作為基于邏輯給出數(shù)的情況的根據(jù)。
弗雷格關(guān)于一個(gè)數(shù)的定義，如果要基于一個(gè)公理的話，公理V目前的寫法就是不滿足需要的，不能作為給出數(shù)的定義的邏輯前提。
滿足需要的改寫是，就是考慮弗雷格關(guān)于數(shù)的定義句子本身：
屬于F這個(gè)概念的數(shù)，是“與F這個(gè)概念等數(shù)的”這個(gè)概念的外延。

但是由于這個(gè)句子中，F(xiàn)這個(gè)概念和"與F這個(gè)概念等數(shù)的“這個(gè)概念是兩個(gè)概念，它們之間不能混淆，不能看作一個(gè)概念。一個(gè)一階概念和關(guān)于這個(gè)概念的二階概念是兩碼事。
考慮摹狀詞中羅素和羅素的父親這兩個(gè)表達(dá)式之間的不能混淆。
這個(gè)蘋果和這個(gè)蘋果的顏色之間的區(qū)別。
這些蘋果和這些蘋果的數(shù)之間的區(qū)別。
由此，它就不符合一種弗雷格的對(duì)象和概念的劃分的普遍邏輯的考慮。因此，這里具有一種基底的東西的非邏輯性。

或者說(shuō)，公理V本身就是成問題的。
羅素指出其問題也是合理的。
公理V和它要支持的弗雷格關(guān)于數(shù)的定義，邏輯規(guī)則和其要論證的目的的句子之間本身就已經(jīng)是相互錯(cuò)失的了。

算術(shù)基礎(chǔ)，要另外尋找邏輯基礎(chǔ)。
但是如果公理V可以支持?jǐn)?shù)的給出，那么，公理5為數(shù)給出的是怎樣一個(gè)邏輯基礎(chǔ)？在這里可以反思數(shù)對(duì)于邏輯基礎(chǔ)的需要的某種情況。

沒有論證的命題，其真成問題。有一種啟示的意義。
不可論證的命題呢？不能驗(yàn)證的，就是證偽的么？