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前言

這章主要介紹解決常微分方程，微分方程組合和邊值問題的方法。

學習過程

<1>初值問題 initial value problem $I.V.P.$

常微分方程的一般形式： $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$
方程會因為初值不同有變化。

<2>Lipschitz條件

給出矩形區(qū)域 $R=\{(t,y):a \leq t \leq b,c \leq y \leq \}$ ，假設(shè) $f(t,y)$ 在 $R$ 上連續(xù)，且存在一個常量 $L>0$ 滿足性質(zhì) $|f(t,y_1)-f(t,y_2)| \leq L|y_1-y_2|$ ，其中任意 $(t,y_1),(t,y_2)∈R$ ，那么 $f$ 可以說是在 $R$ 上滿足 $Lipschitz$ 條件。而 $L$ 也可以叫作 $Lipschitz$ 常量。

為了更好的判斷，我們一般使用下面的方法。

$f$ 在 $R$ 上定義，如果這里存在常量 $L>0$ 使得所有 $(t,y)∈R,|f_y(t,y)| \leq L$ ，則 $f$ 在 $R$ 上滿足 $Lipschitz$ 條件。

如果 $f$ 滿足 $Lipschitz$ 條件且有初值，那么 $y'=f(t,y)$ 在子區(qū)間 $t_0 \leq t \leq t_0+\delta$ 上有唯一解 $y=y(t)$ 。

<3>Euler法

微分方程不總是那么容易求解的，為此，我們會在接下來提出很多方法來求解，其中之一就是Euler法。但是Euler法實際上使用是有限的因為它有很大誤差，但它具有教育意義。
我們提出一個函數(shù)滿足初值問題 $I.V.P.$ ，即在區(qū)間 $[a,b]$ 下， $y'=f(t,y),y(a)=y_0$ 。在我們無法找出函數(shù) $y=y(t)$ 的情況下，我們可以找出一系列點來逼近函數(shù)。
設(shè) $h=\frac{b-a}{M}$ ，我們將區(qū)間分為 $M$ 個子區(qū)間，并假設(shè) $y(t)$ ， $y'(t)$ ， $y''(t)$ 在區(qū)域連續(xù)，然后使用泰勒定理，我們可以得到以下公式：
$y(t)=y(t_0)+y'(t_0)(t-t_0)+\frac{y''(c_1)(t-t_0)^2}{2}.$
把 $t_1$ 代入，且 $h$ 十分小時，二次項可以忽略不計，公式就會變?yōu)椋?br> $y_1=y_0+hf(t_0,y_0).$
遞推下去就是：
$y_{k+1}=y_k+hf(t_k,y_k),k=0,1,...,M-1.$
這就是Euler法。

我們把微分方程求解的方法叫做微分方法或者是離散變量方法。這些方法都是找出一系列逼近函數(shù)的離散點集。其中一步法有這種形式 $y_{k+1}=y_k+h\Phi (t_k,y_k)$ ， $\Phi$ 叫做增量函數(shù)。
當使用這種離散變量方法來求解初值問題時，誤差會有兩種來源：離散化，四舍五入。

假設(shè)點集 $\{(t_k,y_k)\}_{k=0}^M$ ，初值問題有唯一解 $y=y(t)$ 。
全局離散誤差： $e_k=y(t_k)-y_k,k=0,1,...,M.$
局部離散誤差： $\epsilon_{k+1}=y(t_{k+1})-y_k-h\Phi(t_k,y_k),k=0,1,...,M-1.$

Euler法中，在滿足以上初值問題條件，且 $y(t)∈C^2[t_0,b]$ 時，有：
$|e_k|=|y(t_k)-y_k|=O(h),$

$|\epsilon_{k+1}|=|y(t_{k+1})-y_k-hf(t_k,y_k)|=O(h^2).$

最終全局誤差 $F.G.E. =E(y(b),h)=|y(b)-y_M|=O(h).$

<4>Heun法

我們使用積分的方法來解決初值問題。一開始有 $\int_{t_0}^{t_1}f(t,y(t))dt=y(t_1)-y(t_0)$ 。于是我們利用梯形規(guī)則假設(shè) $y(t_1)\approx y(t_0)+\frac{h}{2}(f(t_0,y(t_0))+f(t_1,y(t_1)))$ 。再結(jié)合Euler法。
即Heun法為：
$p_{k+1}=y_k+hf(t_k,y_k),t_{k+1}=t_k+h,$

$y_{k+1}=y_k+\frac{h}{2}(f(t_k,y_k)+f(t_{k+1},p_{k+1})).$

Heun法中，在滿足以上初值問題條件，且 $y(t)∈C^3[t_0,b]$ 時，有：
$|e_k|=|y(t_k)-y_k|=O(h^2),$

$|\epsilon_{k+1}|=|y(t_{k+1})-y_k-h\Phi(t_k,y_k)|=O(h^3).$

最終全局誤差 $F.G.E. =E(y(b),h)=|y(b)-y_M|=O(h^2).$

<5>泰勒序列方法

假設(shè) $y(t)∈C^{N+1}[t_0,b]$ ，并且 $y(t)$ 在 $t=t_k∈[t_0,b]$ 上有 $N$ 階展開：
$y(t_k+h)=y(t_k)+hT_N(t_k,y(t_k))+O(h^{N+1}),$

$T_N(t_k,y(t_k))=\sum_{j=1}^N\frac{y^{(j)}(t_k)}{j!}h^{j-1}$

泰勒序列法中，在滿足以上初值問題條件，且 $y(t)∈C^{N+1}[t_0,b]$ 時，有：
$|e_k|=|y(t_k)-y_k|=O(h^N),$

$|\epsilon_{k+1}|=|y(t_{k+1})-y_k-hT_N(t_k,y_k)|=O(h^{N+1}).$

最終全局誤差 $F.G.E. =E(y(b),h)=|y(b)-y_M|=O(h^N).$

<6>Runge-Kutta法

在該方法中，我們假設(shè)一個區(qū)間內(nèi)再取出多個點，計算它們的加權(quán)平均斜率。并且使得它們精度和泰勒序列前幾項一致。這個方法的好處就是不需要計算更高階的導數(shù)。
$N$ 階通式：
$y_{i+1}=y_i+\Phi h,$

$\Phi=w_1k_1+w_2k_2+...+w_nk_n,$

$k_1=f(t_i,y_i),$

$k_2=f(t_i+p_1h,y_i+q_{11}k_1h),$

$k_3=f(t_i+p_2h,y_i+q_{21}k_1h+q_{22}k_2h),$

$k_n=f(t_i+p_{n-1}h,y_i+q_{n-1,1}k_1h+...),$

$w$ 之和為1， $p$ 等于 $q$ 之和。
Runge-Kutta法中，在滿足以上初值問題條件，且 $y(t)∈C^{5}[t_0,b]$ 時，即4階，有：
$|e_k|=|y(t_k)-y_k|=O(h^4),$

$|\epsilon_{k+1}|=|y(t_{k+1})-y_k-hT_N(t_k,y_k)|=O(h^{5}).$

最終全局誤差 $F.G.E. =E(y(b),h)=|y(b)-y_M|=O(h^4).$

例子：
RK4：模仿了四階泰勒
$y_{k+1}=y_k+\frac{h(f_1+2f_2+2f_3+f_4)}{6},$
$f_1=f(t_k,y_k),$
$f_2=f(t_k+\frac{h}{2},y_k+\frac{h}{2}f_1),$
$f_3=f(t_k+\frac{h}{2},y_k+\frac{h}{2}f_2),$
$f_4=f(t_k+h,y_k+hf_3).$
RKF45：可以知道步長越小，誤差會越小，但是這會導致大量的計算。因此我們提出了RKF45，它是找到一個恰當步長的程序。在每步中，對解的兩種不同逼近會用來比較，如果兩個解答案很近，則步長是可以接受的。如果兩個解答案準確率不太一致，則繼續(xù)縮小步長。當需要更多有效位數(shù)的解時，則增加步長。
上述的方法都是一步法。

<7>Adams-Bashforth-Moulton 法

該方法是基于積分公式來推的：
$y(t_{k+1})=y(t_k)+\int_{t_k}^{t_{k+1}}f(t,y(t))dt$
在 $[t_k,t_{k+1}]$ 內(nèi)積分。
先使用Adams-Bashforth預(yù)測，在 $[t_k,t_{k+1}]$ 內(nèi)積分：
$p_{k+1}=y_k+\frac{h}{24}(-9f_{k-3}+37f_{k-2}-59f_{k-1}+55f_k)$
再用Adams-Moulton矯正，在 $[t_k,t_{k+1}]$ 內(nèi)積分：
$y_{k+1}=y_k+\frac{h}{24}(f_{k-2}-5f_{k-1}+19f_k+9f_{k+1})$
其中預(yù)測和矯正的誤差都是 $O(h^5)$ 。

當需要更精確時，就縮小步長，而縮小步長，就需要新的初始值。

<8>Milne-Simpson法

該方法是基于積分公式來推的：
$y(t_{k+1})=y(t_{k-3})+\int_{t_{k-3}}^{t_{k+1}}f(t,y(t))dt$
在 $[t_{k-3},t_{k+1}]$ 內(nèi)積分。
先使用Milne預(yù)測，在 $[t_{k-3},t_{k+1}]$ 內(nèi)積分：
$p_{k+1}=y_{k-3}+\frac{4h}{3}(2f_{k-2}-f_{k-1}+2f_k)$
再用Simpson矯正，在 $[t_{k-1},t_{k+1}]$ 內(nèi)積分：
$y_{k+1}=y_{k-1}+\frac{h}{3}(f_{k-1}+4f_{k}+f_{k+1})$
其中預(yù)測和矯正的誤差都是 $O(h^5)$ 。

<9>微分方程組

在本小節(jié)，我們考慮到以下的初值問題：
$\begin{cases}\frac{dx}{dt}=f(t,x,y) \\ \frac{dy}{dt}=g(t,x,y)\end{cases} with \begin{cases}x(t_0)=x_0 \\ y(t_0)=y_0\end{cases}$
如果使用Euler法來解決這個問題的話，有：
$dx=f(t,x,y)dt,dy=g(t,x,y)dt$
其中 $dt=t_{k+1}-t_k,dx=x_{k+1}-x_k,dy=y_{k+1}-y_k$
于是，
$x_{k+1}-x_k \approx f(t_k,x_k,y_k)(t_{k+1}-t_k)$
$y_{k+1}-y_k \approx g(t_k,x_k,y_k)(t_{k+1}-t_k)$
分為步長為 $h$ 的 $M$ 個子區(qū)間后，
$t_{k+1}=t_k+h$
$x_{k+1}=x_k+hf(t_k,x_k,y_k)$
$y_{k+1}=y_k+hg(t_k,x_k,y_k),k=0,1,...,M-1$
遇到更高階的微分方程組時，我們可以設(shè)置多個未知量對應(yīng)不同階的導數(shù)，相當于n維求歐拉公式。在這里，龍格庫塔公式也是可以的，一般4階的效果比較好。

<10>邊值問題

<11>初值問題

詞匯學習

modification 修改
trajectory 彈道
conjecture 推測
interpretation 解釋
mesh 網(wǎng)眼
discrete 離散的
increment 增量
predominate 占主導地位
trapezoidal 梯形的
trade-off 交易
elaborate 詳盡的
omit 忽略

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前言

學習過程

<1>初值問題 initial value problem $I.V.P.$

<2>Lipschitz條件

<3>Euler法

<4>Heun法

<5>泰勒序列方法

<6>Runge-Kutta法

<7>Adams-Bashforth-Moulton 法

<8>Milne-Simpson法

<9>微分方程組

<10>邊值問題

<11>初值問題

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<2>Lipschitz條件

<3>Euler法

<4>Heun法

<5>泰勒序列方法

<6>Runge-Kutta法

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<8>Milne-Simpson法

<9>微分方程組

<10>邊值問題

<11>初值問題

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<1>初值問題 initial value problem $I.V.P.$