《龐加萊猜想：追尋宇宙的形狀》是日本作者春日真人所著。這本書一共２２７頁，以采訪記錄的形式所寫，是日本NHK電視臺的一部特別紀(jì)錄片，它全景再現(xiàn)世紀(jì)難題“龐加萊猜想”的“百年魔咒”，記錄追尋宇宙的形狀與神秘數(shù)學(xué)家不可理解的行為，讓我真實地體驗了數(shù)學(xué)“妖物”般的魅力與神秘。也正是因為這讀起來一點也不燒腦，前些日子我用一個下午的時間瀏覽了一下，誰知清明假期又無心地拾起了它。
“遙遠(yuǎn)星空的盡頭是什么模樣？我們身處的宇宙究竟是什么形狀？”每個曾經(jīng)仰望星空的人，腦海中大概都有過這樣的疑問。
享利·龐加萊是近代最后一位幾乎涉獵了所有學(xué)科的科學(xué)家，被后人稱為是足以和達(dá)芬奇、牛頓比肩的“智慧巨人”。
?龐加萊猜想的誕生要追溯到距今一個世紀(jì)之前的1904年，就是他50歲之時。嚴(yán)格用數(shù)學(xué)語言來表述的話，龐加萊猜想的具體內(nèi)容應(yīng)該是：任何一個單連通的、封閉的三維流形都與三維球面同胚。
?簡單的講，如果一個人帶著一根足夠長的繩子，一端固定在喜馬拉雅山上，他從地球出發(fā)進(jìn)行環(huán)繞宇宙一圈的旅行，假設(shè)這個人平安無事地返回地球，這時他是不是可以拽著繩子的兩頭將繩子收回，如果收回了說明宇宙是球形的，如果收不回說明宇宙是球形以外的其他形狀。
1519年麥哲倫帶領(lǐng)一支由5艘船組成的艦隊向西航行，開始了環(huán)游世界的挑戰(zhàn)，3年之后艦隊順利地返回出發(fā)地點葡萄牙，也正是航海家賭上性命的冒險，才讓世人首次得以確證：地球是球形的。大約400年之后，龐加萊這樣推斷：如果地球不是完美的球形那又如何呢？假設(shè)，存在一個貫穿北極和南極的巨大孔洞，地球的形狀就像是一個甜甜圈，那么在這種情況下，麥哲倫和他的艦隊一樣可以回到出發(fā)地，所以，通過航行回到出發(fā)地，就認(rèn)為地球是完美的球形，這個論斷不能完全成立。
拓?fù)鋵W(xué)是龐加萊100年前開拓的全新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)世界里，物體的形狀都有細(xì)致的分類，如球體、圓錐體、圓柱體等，這被稱為是“固化數(shù)學(xué)”；但在拓?fù)鋵W(xué)的世界里，球體、圓錐體、圓柱體最終都被視為同一形狀的物體，再比如，甜甜圈和茶杯這兩個物體也被視為具有同樣的形狀的物體。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)是堅硬的鋼鐵做成的，而拓?fù)鋵W(xué)就是由伸縮自如的橡膠構(gòu)成的。簡單的講：拓?fù)鋵W(xué)是從一個物體身上的孔的數(shù)量，來判斷其形狀的。后來被稱為是“柔性數(shù)學(xué)“，這是一場從質(zhì)疑物體的”量“到關(guān)注物體的“質(zhì)”的一場革命。
1912年在龐加萊提出猜想的第8個年頭，老人不幸去世了，年僅58歲，遺憾的是這位被稱為“智慧巨人”的天才，最終也未能解開這個自己留下的難題。而且在論文的最后他還留下了這一段不可思議的話：這個問題必將引領(lǐng)我們到達(dá)那遙遠(yuǎn)的世界。
龐加萊猜想是對宇宙形狀的發(fā)問，這對20世紀(jì)初的數(shù)學(xué)家來說，可能是一個太過超前的問題，直到20世紀(jì)50年代，學(xué)者們才開始真正地向其發(fā)起挑戰(zhàn)。而這時距離命題提出的時代，已經(jīng)過去了將近半個世紀(jì)了。
心懷夢想向其發(fā)起挑戰(zhàn)的數(shù)學(xué)家比比皆是，最著名的在這里簡單的介紹幾個吧。
首先是來自希臘的學(xué)者帕帕奇拉克普羅斯，20世紀(jì)50年代，他證明了三個重要的定理，而這三個定理恰好是證明龐加萊猜想的基石，其中，特別是他那篇證明了著名數(shù)學(xué)難題“ 德恩引理”的論文，更是因其出色的證明方法而備受矚目贊譽(yù)。
其次是來自德國的哈肯博士，他想用反證法來證明“龐加萊猜想是錯誤的”。在數(shù)學(xué)理論中，如果要證明某個命題是“真”（正確）的，就要求能夠給出說明無論在任何情況下，該命題都必定成立的邏輯結(jié)構(gòu)；但是，如果要證明某個命題是“偽”（錯誤）的，那么只要能夠找到任意一個所謂的“反例”即可。他想通過計算機(jī)海量的運算，來解決這個問題，運氣好的話可能會發(fā)現(xiàn)一個反例。
當(dāng)時，困擾帕帕和哈肯博士的是同一個問題，那就是在宇宙空間中那根繩子會打結(jié)。如果不解決這個問題，就難以證明龐加萊猜想。而且大多數(shù)數(shù)學(xué)家都身陷“龐加萊猜想陷阱”中無法自拔。所謂的“陷阱”就是工作剛開始，證明的98%的部分總是很簡單的就能夠完成，但是最后一步卻失敗了。不過在這個過程中，你又可能發(fā)現(xiàn)其他的解決辦法，于是又很快專注研究這個新思路，而一旦證明這個思路行不通，你又馬上會想到其他的點子，數(shù)學(xué)家們就這樣在精神上不斷被折磨，最后變得越來越難以抑制心中的怒火，從而“走火入魔“。無數(shù)的數(shù)學(xué)家被龐加萊猜想的”魔咒“吸引著，他們的人生道路也自此改變。
接下來這一位是美國的約翰·斯托林斯博士，他也是一位被龐加萊猜想耗費半生心血的數(shù)學(xué)家之一。他說：不知龐加萊本人是否知道這么多數(shù)學(xué)家的失敗，但眾多失敗的數(shù)學(xué)家追隨龐加萊遺留下來的這個猜想，卻到達(dá)了一個難以名狀的神奇世界。雖然錯誤很明顯，但卻無法察覺證明其中的缺陷。原因是過于自信和自身的興奮狀態(tài)，或者是因為恐懼犯錯而導(dǎo)致無法正常思考，真心祈禱以后年輕的數(shù)學(xué)家們能夠找到免于陷入這些陷阱的方法。斯托林斯博士更像是《白鯨》中敘述故事的生還者以實瑪利，對于年輕時的他而言，龐加萊猜想一定就像是一只必須要捕獲的獵物，不過，不知何時，這中獵物卻已經(jīng)變成了刀槍不入的“魔獸“。
接下來這位亮相的是加州大學(xué)史蒂文·斯梅爾博士，他在龐加萊猜想的研究中取得了劃時代的突破，他的發(fā)現(xiàn)被譽(yù)為開啟了拓?fù)鋵W(xué)黃金時代的大門，人們稱贊他是“突破維度障礙的人“。
龐加萊猜想的本質(zhì)其實是在說：在三維空間的宇宙中，用火箭將繩子環(huán)繞宇宙一圈，如果這個繩子能夠成功收回來的話，就可以說宇宙是球形的。
? ?如果這個宇宙根本不是我們所認(rèn)為的三維空間呢？如果宇宙是更高維度的四維、五維空間呢？情形會怎樣？
? ?我們可能都坐過過山車，它在縱橫交錯的軌道上不停的奔跑，在三維世界里的過山車軌道系統(tǒng)是不會打結(jié)的，但我們再把視線轉(zhuǎn)向地面，請注意觀察地面上軌道的投影（二維世界），這些投影相互交錯，非常復(fù)雜地纏繞在一起。在地面上，也就是二維平面上，軌道看起來像是相互碰撞、纏繞在一起。但當(dāng)我們把視線再次轉(zhuǎn)回到三維空間以后，就會發(fā)現(xiàn)這些軌道之間并沒有相互碰撞、纏繞在一起。以此類推，繩子打結(jié)的問題在三維空間中很難解開，但在更高維度的五維空間、六維空間這都不叫事兒，也就是很容易解決。
? ? ?1960年他發(fā)表了僅僅3頁紙的論文，卻讓整個世界驚嘆，論文的題目就是：高維空間的廣義龐加來猜想，可以簡單地表述為：如果N維宇宙空間（N不等于3或4）里，環(huán)繞的繩子能夠被收回來的話，N維宇宙就是球形。
1966年史蒂文·斯梅爾博士因此獲得了當(dāng)年的菲爾茲獎。也是這一年，在圣彼得堡市一位叫格里戈里·佩雷爾曼的男嬰呱呱墜地，他的呢稱叫格里沙。
請先不要著急，在講佩雷爾曼之前，請允許我再邀請一位魔術(shù)師閃亮登場，他是居住在美國紐約州的威廉·瑟頓斯博士，他是雙曲幾何學(xué)領(lǐng)域的專家。當(dāng)人們還在糾結(jié)于環(huán)繞宇宙的繩子會打結(jié)的問題上時，他的直覺告訴他，應(yīng)該用一種全新的方法去研究龐加萊猜想。直白一點的龐加萊猜想表述是：環(huán)繞宇宙空間一周的繩子，如果可以收回來的話，就可以說宇宙空間是球形。當(dāng)我們仔細(xì)品味龐加來猜想時，就會發(fā)現(xiàn)。在這個表述中，完全沒有提及“如果繩子收不回來的話，宇宙空間又是什么形狀的“，瑟斯頓博士的研究正是基于這一點。
歷經(jīng)10年之久，瑟斯頓博士經(jīng)過不斷試錯，終于得出驚人的結(jié)論，1982年他發(fā)表的論文《三維流形、克萊因群及雙曲面幾何》中，描述了一個非常宏大的猜想：不論宇宙是什么形狀，都必定可以分解為最多8種各自不同的幾何結(jié)構(gòu)。這個大膽的猜想被稱為瑟斯頓的“幾何化猜想“。第二年，他因為這個突破性的發(fā)現(xiàn)獲得了當(dāng)年的菲爾茲獎。
作為提出這個猜想的本人來講，盡管背負(fù)了周圍同仁們極大的期望，但是瑟斯頓博士最后還是放棄了證明“幾何化猜想“的挑戰(zhàn)。是什么原因?qū)е滤姆艞壞兀?/p>
如果想要證明瑟斯頓“幾何化猜想“，就必須先要找到把宇宙分解為8種幾何結(jié)構(gòu)的方法，但是，想要漂亮地對宇宙進(jìn)行分解是極為困難的。在嘗試分解的時候，經(jīng)常會遇到整個形狀突然崩塌的情形，這種讓計算無法進(jìn)行下去的狀態(tài)被稱為”奇點“，”幾何化猜想“的證明遭遇到了強(qiáng)大的障礙。
? ?對于瑟斯頓博士的放棄，相比那些“走火入魔”的其他數(shù)學(xué)家們，我們又不禁覺得博士放棄的態(tài)度是一種最好不過的選擇。
? ?數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是不斷地追問我們要從什么樣的角度看待這個世界。如果學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)的思維方式，那么你周圍的環(huán)境“看”起來就會是截然不同的另外一個樣子。
1992年，一位青年踏上了美國紐約的土地，從這一刻起，龐加萊猜想的研究工作就迎來了其漫長歷史中最為重大的轉(zhuǎn)機(jī)，這位青年就是當(dāng)時年僅26歲的格里戈里·佩雷爾曼。
1994年他證明了一個數(shù)學(xué)上長期存在的超級難題“靈魂猜想”，他的論文僅僅用了三頁紙的簡潔說明，就解決了這個過去22年間讓無數(shù)人鎩羽而歸的問題。當(dāng)時齊格博士讓他補(bǔ)充一些文字，以便別人更好的理解時，他斷然拒絕了。
佩雷爾曼與來自中國的田剛教授是好朋友，在其論文發(fā)表和證實其解決龐加萊猜想的工作中，田剛教授都起到了巨大的作用。據(jù)田剛教授證實，1995年就在佩雷爾曼選擇回國還是繼續(xù)留在美國的那段時間，他經(jīng)常向多位數(shù)學(xué)家反復(fù)詢問同樣一個問題：如何在Alexandrov空間里構(gòu)筑里奇流的方法。實際上，那個時期，有一篇數(shù)學(xué)研究論文在美國引發(fā)學(xué)術(shù)界的熱議，其中主要內(nèi)容就是作者查德·漢密爾頓所主張的“利用里奇流方程式，將有可能證明瑟斯頓的幾何化猜想及龐加萊猜想”。
里奇流方程式是漢密爾頓的研究領(lǐng)域“全局分析學(xué)”中經(jīng)常會用到的方程式。這個方程式是能夠使三維宇宙（三維空間）的形狀變?yōu)榍蛐蔚挠辛ξ淦?，而佩雷爾曼對這方面完全不了解。
?1995年，他放棄了留在美國的機(jī)會選擇了回國。據(jù)以前認(rèn)識他的同事講：回到圣彼得堡的佩雷爾曼像是變了一個人似的，除了參加像研討會這類集體活動以外，他避開了大部分的人際交往，一頭扎進(jìn)研究工作中，夜以繼日。
隨著21世紀(jì)的大幕拉開，龐加萊猜想也迎來了新的時代。2000年5月25日，全世界的新聞媒體被一則新聞?wù)紦?jù)頭版，《挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)，你也可能獲得700萬美元大獎！》，龐加萊猜想被列入21世紀(jì)七大數(shù)學(xué)難題之一。
2002年的秋天，數(shù)學(xué)圈里又發(fā)生了一件很奇怪的事情，有人居然在互聯(lián)網(wǎng)上給出了龐加萊猜想和幾何化猜想的證明。其實這在數(shù)學(xué)界也是“常有的事”，每次都是數(shù)學(xué)界熱鬧一陣子后復(fù)歸平靜。但是有一個數(shù)學(xué)家他相信這個證明是正確的，他就是佩雷爾曼的好友田剛教授。田剛教授在論文發(fā)表的當(dāng)天就收到了佩雷爾曼的電子郵件，他讓教授留意論文的發(fā)表以及后面的反響。
2003年4月，數(shù)學(xué)圈翹首以待的日子終于到來了，在田剛教授的邀請下，佩雷爾曼訪問紐約并舉行講座。這次講座與以往有所不同，他沒有使用PPT資料，而是拿起粉筆，轉(zhuǎn)身朝向講堂里巨大的黑板，在沒有任何草稿的前提下直接開始了他的講解。
問題來了，令數(shù)學(xué)家們苦惱不已的是佩雷爾曼的推論方式。他的方法和拓?fù)鋵W(xué)的研究者們在這100多年間慣用的手法毫無共同之處，就連這個領(lǐng)域里的老司機(jī)貝納胡博士也蒙了，頓時不知所措。“他講解的內(nèi)容確實是在論證龐加萊猜想，但是大家卻跟不上他的思路，專家學(xué)者們無法理解佩雷爾曼的證明，有些人在演講未完就選擇離開了。
一件諷刺的事情發(fā)生了，過去拓?fù)鋵W(xué)家們認(rèn)為微分幾何學(xué)已太過陳舊，紛紛退出這一領(lǐng)域的研究，但是這一次，佩雷爾曼正是利用了微分幾何學(xué)的最新知識，解開了龐加萊猜想這個被認(rèn)為是拓?fù)鋵W(xué)象征的世紀(jì)難題。貝納胡博士回憶道：這就是一場噩夢，我一直所恐懼的情景，就是別人會用一種我根本不了解的方式證明出龐加萊猜想的那個瞬間。
約翰·摩根博士描述了當(dāng)天大家的感受：許多數(shù)學(xué)家一直以來都把自己的精力傾注在龐加萊猜想上，當(dāng)看到證明已接近完成時，他們會很沮喪；而當(dāng)他們了解這個證明過程中沒有使用拓?fù)鋵W(xué)的方式時，他們的沮喪更上一層；到最后他們發(fā)現(xiàn)自己竟然理解不了這個證明，這讓他們更加萬分沮喪?！疤炷?，龐加萊猜想終于被證明了！但是我們怎么完全聽不懂這個證明，誰來幫我解釋一下……”
在整個講座過程中，佩雷爾曼從未宣稱：這個世紀(jì)難題已經(jīng)“得到證明”。在他離美國時，他和田剛教授在查爾斯河畔散步。在短暫的閑談中田剛教授得知：佩雷爾曼早在2000年時就已經(jīng)基本證明了龐加萊猜想，但是因為他堅決不允許自己出一點差錯，所以直到能夠確認(rèn)完全證明才發(fā)表論文。臨行前他有個小小的愿望，希望田剛教授能在1到2年時間內(nèi)讓世界范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)家們理解他的證明。對田剛教授來講，這個愿望太過謙虛。在那之后的3年時間里，田剛教授都在致力于論文的核實工作。
2006年，佩雷爾曼拒絕了四年才一屆的菲爾茲獎。這也是菲爾茲獎歷史上首次出現(xiàn)了沒有頒發(fā)出去的獎?wù)?。整個世界炸開了鍋，人們紛紛議論這位“智慧巨人”的怪異行為。
最后的最后，作者和拍攝記錄片的一行人，為無法采訪到佩雷爾曼本人而感到遺憾。后來他們在佩雷爾曼恩師的陪同下來到他的住所，遺憾的是他們并未因此而見到佩雷爾曼本人。書中介紹佩雷爾曼的恩師多次勸導(dǎo)他重新融入社會，找個不錯的工作再繼續(xù)研究，可是效果并不明顯，他仍然選擇不與外屆接觸。
? 讀完這本書，我有以下兩點感想：
? 第一、換位思考。龐加萊猜想的證明竟然不是用他所開創(chuàng)的拓?fù)鋵W(xué)知識，而是微分幾何學(xué)知識。所以，我們在為人處事時，也要換位思考，不要一條道跑到黑，正所謂“山窮水復(fù)疑無路，枊暗花明又一村”。
?第二、高處不勝寒。佩雷爾曼在證明了龐加萊猜想后選擇了避世，走了與常人不同的道路，也許只有他自己明白他想要什么和屬于他自己的那份快樂。盡管也受到了一些非議，但他并不在乎，依然在數(shù)學(xué)世界的王國里我行我素。我想說的是：或許有一天他又有驚人的表演，作為觀眾的我，盡量保持一顆敬畏的心，不只對他對身邊的任何人任何事都是如此。
數(shù)學(xué)就像是一場旅行，我們都在竭盡所能地努力，就是為了親眼去看那些從沒有見過的風(fēng)景。而數(shù)學(xué)界仍然遺留著很多尚未解決的難題，在我們不知道的世界里，數(shù)學(xué)家們正在進(jìn)行著一場我們所不能了解的戰(zhàn)斗，這樣的戰(zhàn)斗在未來數(shù)十年、數(shù)百年將永不停息！
