原題來自Google CodeJam 2017 Round C的第四題4M Corporation，大意如下：

給定四個(gè)正整數(shù)，求:
至少需要多少個(gè)數(shù)，才可以滿足最小值為，最大值為，均值為，中位數(shù)為？
如果存在可行的解，給出最少需要的數(shù)的個(gè)數(shù)；如果不存在，則輸出IMPOSSIBLE。

簡(jiǎn)單的無解情形

首先，我們可以簡(jiǎn)單地排除掉一些無解的情形：

這樣，我們可以保證下式成立

簡(jiǎn)單的有解情形

在上面的條件下，我們很容易找到兩種特殊情形：

1. ，此時(shí)，只需要一個(gè)數(shù){}
2. ，此時(shí)，只需要兩個(gè)數(shù){}

一般情形

如果不滿足上面的簡(jiǎn)單有解情形，我們至少需要3個(gè)數(shù)才有可能滿足條件，也即

那么，接下來如何進(jìn)行呢？

我們需要對(duì)一組數(shù)的、、、之間的關(guān)系進(jìn)行更加深入的觀察。
因?yàn)橹形粩?shù)在數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)有不同的表達(dá)形式，這啟發(fā)我們對(duì)奇偶進(jìn)行分別討論。

奇數(shù)情形

先看奇數(shù)的情形。
我們把個(gè)數(shù)從小到大排列并求和，可以得到如下的關(guān)系式：

考慮大小關(guān)系，我們可以得到下面的不等式：

也即：

現(xiàn)在MIN、MAX、MEAN、MEDIAN都已知，這意味著我們可以直接求解這個(gè)關(guān)于的不等式，從而得到：

從而得到

我們把奇數(shù)情形下的解記為

注意，由于必定為正整數(shù)，當(dāng)或時(shí)，不等式無解。

偶數(shù)情形

接下來，再考慮的情形，類似奇數(shù)的情形，我們可以得到：

進(jìn)而得到不等式：

這里，為什么中間的兩個(gè)數(shù)都設(shè)置為，而不是和，或者其他組合呢？
從上面的不等式，我們很容易看到，如果中間兩個(gè)數(shù)設(shè)置成，則不等式左端會(huì)增大，而不等式右端會(huì)減小，這樣就縮小了解的范圍。

整理得到：

同樣地，求解上面的不等式，我們可以得到：

不等式無解的條件與奇數(shù)情形一致。所以，或時(shí)，原問題無解（這里的前提是和時(shí)兩種簡(jiǎn)單解均不成立）。

偶數(shù)情形下的解，我們記為

顯然，最后的解，到這里，我們也就圓滿地解決了上面的問題。

如果去掉題目中的正整數(shù)限制，這一解法同樣成立。

思考

在上面解題的過程中，我們發(fā)現(xiàn)了或時(shí)會(huì)導(dǎo)致無解，那么反過來，我們就可以得到有解時(shí)，關(guān)于的不等式：

其中。

原問題有解，意味著這樣的一組數(shù)是有可能存在的，而原問題無解，則說明這樣的一組數(shù)不可能存在。這就意味著，我們得出的原問題有解的條件，應(yīng)當(dāng)是任意個(gè)滿足的實(shí)數(shù)的固有性質(zhì)。

下面我們從數(shù)學(xué)上證明和分別是的下確界和上確界。

我們還是分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況來考慮這一問題。

奇數(shù)情形

令函數(shù)，其中

對(duì)求導(dǎo)，得到

因此單調(diào)遞減。

接下來，我們需要求的極限，根據(jù)洛必達(dá)法則，易得。
由于

也就證明了就是的下確界。

同樣，令

有

因此單調(diào)遞增，并且。

由于

我們得到是的上確界。

偶數(shù)情形

證明方法同上。

總結(jié)

綜合奇數(shù)和偶數(shù)的情形，我們也就證明了對(duì)于任意個(gè)數(shù)，當(dāng)成立時(shí)，必然有

附：源程序

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

void solve(int case_num) {
  int MIN, MAX, MEAN, MEDIAN;
  int count{0};
  cin >> MIN >> MAX >> MEAN >> MEDIAN;

  // 簡(jiǎn)單的無解情形
  if (
    MIN > MAX ||
    MEAN > MAX ||
    MEAN < MIN ||
    MEDIAN > MAX ||
    MEDIAN < MIN
    ) {
    cout << "Case #" << case_num << ": " << "IMPOSSIBLE" << endl;
    return;
  }

  // 簡(jiǎn)單的有解情形
  if (MIN == MAX) count = 1;
  else if (MIN + MAX == 2 * MEAN && MEAN == MEDIAN) count = 2;
  else {
    // 不等式無解的情形
    if (2 * MEAN >= MEDIAN + MAX || 2 * MEAN <= MIN + MEDIAN) {
      cout << "Case #" << case_num << ": " << "IMPOSSIBLE" << endl;
      return;
    }

    // 偶數(shù)情形
    int left = ceil((double) (MAX - MIN) / (2 * MEAN - MIN - MEDIAN));
    int right = ceil((double) (MAX - MIN) / (MAX + MEDIAN - 2 * MEAN));
    int k = max(left, right);
    int even = 2 * k;

    // 奇數(shù)情形
    left = ceil((double) (MAX - MEAN) / (2 * MEAN - MIN - MEDIAN));
    right = ceil((double) (MEAN - MIN) / (MAX + MEDIAN - 2 * MEAN));
    k = max(left, right);
    int odd = 2 * k + 1;
    count = min(even, odd);
  }

  cout << "Case #" << case_num << ": " << count << endl;
}

int main() {
  int t;
  cin >> t;
  for (int i = 1; i <= t; ++i) {
    solve(i);
  }
  return 0;
}