㈡（增補）常數項無窮級數判斂的方法

⒋ 一般常數項級數

? ⑴先判斷是否為正項級數,

? ? ? 如果是，則用正項級數判斂法.

? ⑵判斷是否是標準交錯級數,

? ? ? 即, 提出(-1)?后是否為正項級數,

? ? ? 如果是, 則用萊布尼茲判別法.

? ? ? ?提出(-1)?因子的常用方法：

? ? ①泰勒展開（麥克勞林）

? ? ②分離常數，分母有理化，裂項

? ? ③三角函數的周期性

? ? ? sin(a)=sin(a+nπ-nπ)=(-1)?sin(a+nπ)

? ? ⑶如果是一般項級數

? ? ? ①泰勒展開后，裂項判斷

? ? ? ②單純使用定義法

? ? ? ? ? lim(n→∞)Sn

⒌ 抽象級數的判斂

? ? ⑴選擇題舉反例大全

? ? ? ? ①正項反例

? ? ? Σ(1/n), Σ(1/n2), Σ(1/√n),

? ? ? Σ(1/lnn), Σ(1/nlnn)

? ? ? ②交錯反例

? ? ? ? (-1)? × “上述正項反例”

? ? ? ? 包括(-1)?

? ? ⑵解答題證明方法：

? ? ? ? ①根據已知級數：

? ? ? ? ? ?比較法（放縮法）

? ? ? ? ? ?比較法的極限形式

? ? ? ? ? ? ? (求極限技巧, 加減/乘除找存在等等)

? ? ? ? ? ? ? (拉格朗日法求極限)

? ? ? ? ? ?根據已知函數泰勒展開

㈢抽象常數項級數的運算關系

㈣反常積分的判斂

反常積分判斂就兩件事：希望被積函數，在瑕點處趨于無窮的速度慢一點（豎條面積更窄）；在無窮處趨于零的速度快一點（扁條面積更窄

⒈ 方法：想盡辦法跟兩種標準做比較

? ①p積分（適用：無窮區(qū)間和無界函數）

? ? ? ? ? ? ? ? ? ∫(1/x?)dx

? ? ? ?無窮處：大的喜歡大的

? ? ? ? （p＞1收斂；p≤1發(fā)散）

? ? ? ?瑕點處：小的喜歡小的

? ? ? ? （p＜1收斂；p≥1發(fā)散）

? ②廣義p積分（適用：無窮區(qū)間）

? ? ? ? ? ? ? ? ? ∫[1/x?(lnx)??)]dx

? ? ? ? ?p＞1收斂

? ? ? ? ?p=1? 若Q＞1收斂

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若Q ≤ 1發(fā)散

? ? ? ? ?p＜1發(fā)散

步驟：

1.找瑕點、無窮上下限，分段處理

2.分別代入定式因子

3.等價無窮小代換

4.粘一個收斂（或發(fā)散）分母做因子，極限為C（或無窮），則收斂（或發(fā)散）。

5.直接放縮，用比較判別法

6.先倒代換，再判斷