㈠數(shù)列、級數(shù)和反常積分的理解
數(shù)列本質(zhì)上是對應(yīng)關(guān)系, 是自變量為n(n≥0)的“離散的函數(shù)”。自變量n并不反映數(shù)列的性質(zhì)，相反，數(shù)列通項中的其他部分才反應(yīng)這種“離散的對應(yīng)關(guān)系”。
常數(shù)項級數(shù)本質(zhì)上是一個數(shù)，是數(shù)列的前無窮項的和，是對數(shù)列的一種特殊的運算方式。數(shù)列將無窮項的和, 即級數(shù), 他的存在性就是級數(shù)的斂散性。
反常積分是函數(shù)在某“特殊區(qū)間”上的積分，相當(dāng)于“連續(xù)的級數(shù)”。但與級數(shù)不同的是，反正積分既可以在無窮區(qū)間上積分，也可以在以瑕點為端點的開區(qū)間上積分。這個積分?jǐn)?shù)值的存在性，就是反常積分的斂散性。
㈡常數(shù)項無窮級數(shù)判斂的方法
⒈ 無窮級數(shù)判斂的思路
判斂的前提是確定級數(shù)的類型，正項、交錯、一般級數(shù)。
收斂的前提是無窮項趨于零。對通項進行必要的變換后，首先加絕對值判斷是否絕對收斂，若收斂則原級數(shù)絕對收斂；若發(fā)散則需去掉絕對值判斂，若收斂則原級數(shù)條件收斂；若發(fā)散則原級數(shù)發(fā)散。
? ? ? ?正項級數(shù)使用正項的判斂法。靈活使用各種正項判別法之前，可以先放縮、基本不等式、恒等變換、泰勒展開等，對級數(shù)通項做處理。
? ? ? ?標(biāo)準(zhǔn)交錯級數(shù)可以拆成(-1)?與正項a?乘積，這種級數(shù)使用萊布尼茨判別法。
? ? ? ?一般常數(shù)項級數(shù)不能直接拆成“(-1)?與正項a?”兩個因子。在判別前，需要想辦法提(-1)?因子，常用方法有泰勒展開、冪指對恒等、三角周期性提(-1)?。另外，可以通過分離常數(shù)、分母有理化、裂項等，將級數(shù)拆成兩項之和分別處理。
⒉ 正項級數(shù)判斂法體系
? ⑴比較法
? ? ? (比瘦臉小更瘦臉, 比發(fā)散大更發(fā)散)
? ? ①通常用于很難找到同階無窮小，同時很難恒等變換的通項
? ? ②先猜測他收斂還是發(fā)散，如果覺得他收斂，就找一個比他小的收斂級數(shù)；如果覺得他發(fā)散，就找一個比他大的發(fā)散級數(shù)
? ? ③這種方法非常靈活，需要結(jié)合放縮法使用比較法。常用放縮手段：
? ? ? ?基本初等函數(shù)的不等式
? ? ? ? x/(x+1)＜ln(x+1)＜x，lnx＜(x-1),
? ? ? ? sinx＜x，e?＞(x+1),
? ? ? ? 絕對值不等式.
? ? ? ?基本不等式
? ? 調(diào)和均值＜幾何均值＜算術(shù)均值＜方均根
? ? ? ?含積分的通項
? ? ? ? (可以對被積函數(shù)放縮再提出)
? ? ? ? (含n上下限, 找同階無窮小, 洛必達求p)
? ? ? ? (叫家長變限積分, 用積中)
? ⑵比較法極限形式
? ? ①尋找p級數(shù)的同階無窮小
? ? ②lim(u?/v?)
? ? ? ?先猜斂散性, 通常把已知級數(shù)放在分母
? ? ? ?若u?收斂, 選更大的收斂級數(shù)v?
? ? ? ? 若u?發(fā)散, 選更大的發(fā)散級數(shù)v?
? ? ? 分母上的收斂通項, 對極限值有放大作用, 若放大之后仍然收斂, 則原來收斂；
? ? ? 分母上的發(fā)散通項, 對極限值有縮小作用, 若縮小之后仍然發(fā)散, 則原來發(fā)散。
? ? ③比較法的參考標(biāo)準(zhǔn)
? ? ? ?等比級數(shù)：Σa?q?
? ? ? ( |q|＜1收斂，|q| ≥ 1發(fā)散 )
? ? ? ?p級數(shù)：Σ1/n?
? ? ? ( p＞1收斂，p ≤ 1發(fā)散 )
? ? ? ?廣義p級數(shù)：Σ 1/n(lnn)?
? ? ? ( p＞1收斂，p ≤ 1發(fā)散 )
? ? ? ?交錯p級數(shù)：Σ(-1)?(1/n?)
? ? ? ( p＞1絕對收斂, 0＜p ≤ 1條件收斂, p≤0發(fā)散 )
? ⑶比值、根值審斂法
? ? 公共特性:
? ? ? ? 極限＜1收, 極限＞1發(fā)散, 極限=1失效
? ? ①lim (a???/a?)
? ? ? ? 含 (*)! , (*)? 可以使用
? ? ②lim ?√(a?)
? ? ? ? 含 (*)! , (*)?, (n)? 可以使用, 避免含 (*)!
? ⑷積分審斂法
? ? Σf(n)和∫f(x)dx無窮積分同斂散
⒊ 萊布尼茨審斂法——標(biāo)準(zhǔn)交錯級數(shù)
? ? 通項單減、極限為零
