學(xué)習(xí)《微積分的力量》后不在懼怕數(shù)學(xué)，它與我們的生活息息相關(guān)，數(shù)學(xué)或許是我們了解身邊事物的一條路徑。當(dāng)心存勇氣的打開它，便有機會了解什么是微積分，更多地知道微積分對這個世界所產(chǎn)生的影響，以為微積分的運用現(xiàn)代社會變得和原始社會不一樣。

因為讀了《微積分的力量》內(nèi)心有些后悔，當(dāng)年早點知道微積分力量的內(nèi)容，一定會更愛數(shù)學(xué)，更希望把數(shù)學(xué)學(xué)好。就像吳軍老師講的一樣《數(shù)學(xué)之美》，微積分讓我們感受到數(shù)學(xué)是如此美妙。

今天社會我們所能見到的種種方便，比如坐高鐵、坐飛機、打電話、用全球定位系統(tǒng)（GPS）出行、用網(wǎng)站……它背后有很多算法，都是來自微積分的發(fā)明。沒有微積分，這些事情都無法實現(xiàn)。

沒有微積分的數(shù)學(xué)是什么數(shù)學(xué)呢？我們只能算勻速直線運動，勻速的我們可以算，變動的算不了了。這一個炮彈打出去，砰——到底打多遠？它的速度從出膛到落地是不一樣的。沒有微積分這樣的工具，無法準(zhǔn)確地知道位置在哪兒，只能算平均數(shù)，看平均的速度大概是多少，瞬時速度是不知道的。

沒有微積分很多的東西都無法實現(xiàn)。包括抗癌、抗艾滋病所用到的醫(yī)學(xué)方法，全都是用數(shù)學(xué)的方式計算出來的。微積分被稱作是上帝的語言，如果你不了解微積分，根本讀不懂這個世界。

《微積分的力量》是康奈爾大學(xué)的應(yīng)用數(shù)學(xué)系教授。他特別擅長把數(shù)學(xué)寫得讓大家能看得懂，簡化公式，用簡單的語言，讓完全沒有聽過微積分的人能知道微積分有多么了不起，并且知道微積分到底是什么。

什么是微積分？微積讓復(fù)雜的問題變得簡單的一個方法。世界比我們想象得復(fù)雜得多，比如說這個杯子的形狀，不是一個簡單的形狀，它很復(fù)雜。如果我們只用簡單的平面幾何、立體幾何，是無法計算清楚的。微積分就有辦法讓它簡單化，這個過程就是微積分的總體思路。方法是把復(fù)雜的問題切分成多個簡單的部分，切分到什么程度？到無窮的程度。

在大腦里邊能稍微加入一點點想象力，加入一個無窮的概念，就能立刻理解微積分是怎么回事。就像古人的測量田間地頭分地，地是方的，弧形的、圓形的，古人就想了解圓到底應(yīng)該怎么算。周長大家比較容易了解，周長是一個圓形的餅，拿一根繩子繞著它這么轉(zhuǎn)一圈，把這個繩子拿出來一量，就知道這個圓的周長了?；旧瞎湃耸强梢詼y量得出一個圓的周長的。怎么測量這個圓的面積？不能用繩子去測量圓的面積，必須得發(fā)現(xiàn)圓的面積公式。叫作π×d。把周長測出來，然后把直徑測出來，用周長除以直徑，得到的數(shù)就是π，π就是圓周率。那你有沒有想過為什么面積會是πr2，而不是πd2？這是微積分的思想。一個圓想知道它的面積，怎么辦呢？你想象像切西瓜一樣，沿著它的中心，切成一牙一牙的西瓜。然后你把它掰開，上半截就變成了一個向下的鋸齒，下半截就變成了一個向上的鋸齒。把上半截和下半截對在一塊兒，成了一個什么形狀呢？類似于一個長方形。長方形的上邊不是一條直線，而是一個一個的弧度。假如西瓜切到非常薄，薄到極限，那個弧度是不是就變成了一個一個的點？用弧度構(gòu)成的這條邊，是不是就變成了一條趨近于直線的東西？圓如果可以被切到無窮塊，那它將會成為一個相當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)的矩形。請問這個矩形的高是多少呢？是半徑。那個長的一邊呢？是二分之一個周長，也就是πd÷2。πd÷2不就是πr嗎？再乘以半徑，得出是πr2。現(xiàn)在大家知道πr2是怎么來的了嗎？通過切分想象出來的。古人能通過切分到無窮的程度，想象出來這么一個構(gòu)造，解決了測量圓面積的問題，微積分的思想就形成了。

還沒有用到牛頓和萊布尼茨發(fā)明的微積分的手段，微積分的思想實質(zhì)是切分和重組，切分的過程叫微分，重組在一起叫積分。古希臘人特別喜歡研究數(shù)學(xué)，結(jié)果到了公元前250年左右，那個時候他們就已經(jīng)有了微積分的思想，微積分不是一件很可怕的事，微積分主要的應(yīng)用是解決三大謎題。一個叫曲線之謎，圓形怎么算？弧形怎么算？拋物線怎么算？一條拋物線這么拋出去，還會不會算這個拋物線下邊的面積？微積分中是簡單的一道題。給你一個拋物線的公式，能算出拋物線底下的面積，這叫曲線之謎。另一個叫運動之謎，世界上的勻速直線運動幾乎沒有，不可能見到哪個人是一直保持勻速直線運動的，他一定會有加速和減速的過程。運動之謎解決不了，你的炮彈打得就不準(zhǔn)，無法準(zhǔn)確地計算這個炮彈落下去在哪兒，這跟軍事是有關(guān)的。

還有一個叫作變化之謎，比如說你體內(nèi)的細胞增長了、減少了，這個變化的速率是不均勻的，用簡單的加減乘除根本無法計算。過去經(jīng)常非?？裢刂v“我學(xué)了太多數(shù)學(xué)都沒用”，到了社會上用到的數(shù)學(xué)公式基本上沒有超過加減乘除，偶爾在買房的時候需要用到“平方”。“我從來不知道log是什么，照樣過得很好”，太狂妄了。

世界上所有的人都不知道log是什么，肯定不會過得這么好，因為那些需要解決的問題，我們根本解決不了。像這三大問題：曲線之謎、運動之謎和變化之謎，跟我們的生活息息相關(guān)。沒有微積分這樣的工具都無從了解。

深入微積分，先從無窮概念，無窮是一個特別有意思的東西，你要知道無窮的魅力和危險。在《思想實驗》芝諾說，阿喀琉斯永遠追不上烏龜。烏龜比阿喀琉斯先出發(fā)1米，讓阿喀琉斯去追烏龜，結(jié)論是阿喀琉斯永遠追不上烏龜。為什么呢？他說在烏龜往前走一點的過程中，需要一個時間；阿喀琉斯追它也需要一個時間。當(dāng)阿喀琉斯走到烏龜原來的位置，在相同時間內(nèi)，烏龜也往前挪了一點點。

在下一個時間段，當(dāng)阿喀琉斯又走到烏龜原來的位置，在相同時間內(nèi)，烏龜又往前挪了一點點。結(jié)論出來了，阿喀琉斯永遠追不上烏龜。有道理嗎？這個命題我現(xiàn)在不挑戰(zhàn)大家了，因為人類自古到今天，無法解釋這個問題。數(shù)學(xué)家解釋說，你不知道極限嗎？烏龜每次走得少一點，少一點，少一點，加在一起，不會超過1。阿喀琉斯還論證說，你朝一面墻走，每次走1/2，永遠走不到那面墻跟前。為什么呢？因為你要走到那兒去，必然走過中間的一半，你走過這個一半以后，必然得走過那個中間的一半，也就是1/4的地方。然后你得再走過1/8的地方、1/16的地方、1/32的地方……你永遠都得走過你和這個墻中間距離的一半的位置。就算再小，你和墻之間都隔著一個微小的一半，走不到那面墻跟前去。這種想法會把人類折磨瘋，聽起來好像是走不過去，現(xiàn)實中你一下子就走到那兒去了，原因是什么呢？這里邊有個極限的問題，極限是一個特別好玩的事。當(dāng)你把那個圓的邊長想象成平的的時候，請問對嗎？不對。因為它肯定不是平的，它是個極限，你要抵抗一種誘惑——把極限想象成是0的誘惑。雖然是個很小的點，但絕不是0。如果它是0，導(dǎo)致的結(jié)果就是整個世界會混亂。

為什么從小學(xué)數(shù)學(xué)的時候，老師反復(fù)跟你強調(diào)一件事，說是古人規(guī)定的，0不能做分母。為什么？2÷0等于幾？沒這樣的題。因為2÷0等于無窮，3÷0也等于無窮，10÷0也等于無窮，結(jié)論是什么？2=3=10，全等于，全世界都一樣，這很明顯是錯的。所以除數(shù)為0會召喚出無窮，無窮就會導(dǎo)致整個世界的邏輯混亂，意味著這個杯子跟桌子是相等的，因為它們除以0都一樣。

布魯諾是怎么被燒死的嗎？當(dāng)時布魯諾認為，上帝以其無窮的力量創(chuàng)造了不計其數(shù)的世界。這個論斷說出來了以后，他就被當(dāng)作異端燒死了。古人不敢召喚出無窮，覺得無窮是一個很難駕馭的東西。

阿基米德還算出了拋物線弓形的面積。算拋物線下邊的面積，有公式就能算得出來。在拋物線的頂上切一刀，這上面就形成了一個不規(guī)則的弓形，這個弓形的面積怎么算？沒有微積分的工具，在這個弓形內(nèi)畫一個三角形，兩邊多出兩個耳朵，這兩個耳朵怎么辦呢？再畫兩個三角形，這不就又接近一點了嗎？把面積又摳小了一點，又多出四個小耳朵，再畫四個三角形，然后把這個三角形無窮無盡地畫下去，一直畫到什么程度呢？畫到無窮小的程度，把那個極小值忽略掉，得到的幾乎就是那個弓形的面積了。因為無法用無窮來算叫作忽略極小值。是阿基米德當(dāng)年所用的研究弓形面積的方法。

直到今天三維建模還是采用這個方法，比如說《怪物史萊克》全部都是用三角形來建模的。其中的人物有多清晰，取決于他們用的那個小三角形有多小，當(dāng)那個三角形小到足夠小的時候，一條完美的弧線是一樣的。直到今天阿基米德所用的這個方法，計算機和數(shù)學(xué)建模依然在用，只不過計算機增加了它運算的能力，多了不起！

微積分是17世紀(jì)的人的發(fā)明，是牛頓、萊布尼茨他們的發(fā)明，直到1998年10月，阿基米德的手稿重見天日。有人在一個拍賣會上看到了那個手稿，就是他當(dāng)年在算這些東西時的想法。所以他是真正的微積分思想的奠基人，他那時候已經(jīng)用到了微積分的想法。

阿基米德是怎么死的嗎？羅馬人攻進了希臘，當(dāng)時阿基米德還在他的房間里面做演算。羅馬人的將軍告訴士兵說，阿基米德一定要留著，因為他是個偉人，所以千萬不要打擾他。結(jié)果有一隊士兵踹開他的門，進到他房間的時候，一腳踩壞了他演算的稿紙，阿基米德說：“出去！你們打擾到我計算了。”于是那個人一刀就把他捅死了。

阿基米德在死之前說：“在現(xiàn)在和未來的幾個世紀(jì)中，某些人會利用這種方法，找到我們尚未掌握的其他定理?！?你知道這句話是寫給誰的嗎？揭開這個謎題的是牛頓，牛頓用了微積分的思想徹底揭開了宇宙的奧秘。

“這位無與倫比的天才在數(shù)學(xué)的無限性面前感到了自己生命的有限性。他認識到還有很多事情要做，找到我們尚未掌握的其他定理。數(shù)學(xué)家都有這樣的感覺，研究課題永無止境，阿基米德本人也要俯首稱臣。”這就是無窮有概念，無窮是了解微積分的第一步。你得能夠想象出一個無窮小，但它不是0，去模擬接下來的運動。運動之謎的奠基人是伽利略。伽利略認為宇宙是一部偉大的著作，這部著作是用數(shù)學(xué)的語言寫成的。如果不懂?dāng)?shù)學(xué)，無法讀懂這個宇宙。伽利略還去看鐘擺的擺動。他發(fā)現(xiàn)無論鐘擺的擺幅多少，所用時間都是一樣的。伽利略是怎么發(fā)現(xiàn)的呢？那時候沒有手表，伽利略是摸著脈搏做的實驗，沒有伽利略的研究，后面就不可能有手表。包括全球定位系統(tǒng)的原型、我們今天用到的原子鐘，也是通過這些東西來的。

原子鐘是怎么回事？“原子鐘是伽利略擺鐘的現(xiàn)代版本，盡管它和擺鐘一樣，通過計數(shù)振動次數(shù)來計時，它追蹤的并不是擺錘的來回擺動，計數(shù)銫原子在其兩種能態(tài)間來回轉(zhuǎn)換時的振動次數(shù)，這種能態(tài)轉(zhuǎn)換每秒鐘要進行9,192,631,770（約91億）次。雖然原子鐘和擺鐘的運行機制不同，原理是一樣的，即重復(fù)性的往復(fù)運動可以用來計時。

“反過來，時間也可以確定你的位置。GPS（全球定位系統(tǒng)）的24顆衛(wèi)星在12000英里的高空繞軌運行，當(dāng)你使用汽車上的GPS導(dǎo)航儀時，你的設(shè)備至少會從其中的4顆衛(wèi)星那里接收無線信號。每顆衛(wèi)星都搭載著4臺原子鐘，它們的時間精密度均可以達到納秒（十億分之一秒）級。你的接收器會收到多個可見衛(wèi)星發(fā)出的一連串信號，其中每個信號的時間戳都可以精確到納秒。這正是需要用到原子鐘的地方，它們驚人的時間精密度被轉(zhuǎn)化成我們期望GPS具有的空間精密度。”用三角函數(shù)測量出你的位置。手機怎么知道我在哪兒呢？手機怎么知道我在橋上橋下？現(xiàn)在都這么精確，因為它是納秒級別的時間記錄，用時間記錄就可以知道你和衛(wèi)星之間的距離，這個系統(tǒng)的幾乎所有功能都取決于微積分?！跋胂胄l(wèi)星和接收器之間的無線通信，通過麥克斯韋所做的研究，微積分預(yù)言了電磁波的存在，從而使無線通信成為可能。沒有微積分就不會有無線通信和GPS。GPS衛(wèi)星上的原子鐘利用的是銫原子的量子力學(xué)振動，而微積分是量子力學(xué)方程及其求解方法的基礎(chǔ)，沒有微積分就不會有原子鐘。”伽利略通過鐘擺實驗幫我們揭示了時間和運動之間的關(guān)系，除此之外，那時候他們都想解決的一個問題就是經(jīng)度測試的問題。你知道航海的時候，緯度容易發(fā)現(xiàn)，只要你看太陽的位置，你就知道自己在什么緯度上；但經(jīng)度很難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)度無法測算，所以會出現(xiàn)很多觸礁、跑偏的情況，甚至出現(xiàn)事故。當(dāng)時荷蘭、英國這些航海大國就發(fā)起懸賞，誰能夠解決經(jīng)度測試的問題，就給誰巨額的獎金。一直到18世紀(jì)中期，英國一個叫哈里森的人，才用伽利略的原理解決了經(jīng)度測量的問題。當(dāng)時的獎金多少錢你知道嗎？2萬英鎊，極高額的一個獎勵，因為他幫航海解決了幾乎所有的安全問題。既能測量經(jīng)度，又能夠測量緯度，人們就知道船在什么地方了。

研究運動的高手就是開普勒。過去亞里士多德認為，所有的行星都在正圓軌道上運行。因為正圓是美好的，天上的東西肯定都是美好的，運行軌道就是正圓軌道。但是開普勒說，行星是在橢圓軌道上運行的。在橢圓軌道上運行，就意味著它有變速運動。這些無法徹底通過計算來解決，原因就是當(dāng)時的人掌握的數(shù)學(xué)工具不夠，需要等到牛頓出現(xiàn)。因為橢圓的運動是完全變動的，形狀是變動的、速度是變動的，過去的數(shù)學(xué)工具無法解決這個問題，要等到微積分的真正誕生才行。

伽利略和開普勒之間經(jīng)?；ハ嗤ㄐ?，為什么17世紀(jì)會是人類的一個分界線，人們從17世紀(jì)開始走入科學(xué)，17世紀(jì)以前都是宗教。原因就是17世紀(jì)有了郵政系統(tǒng)，郵政系統(tǒng)使得像伽利略、開普勒和牛頓這些人可以互相寫信來矯正自己的思想，所以才會有了同行的評議、有了共識，后來會誕生了英國皇家學(xué)會。所以人類世界的種種變化背后，都有它的技術(shù)原因。

人類是先有積分思想，后有微分思想，為什么呢？因為積分是誕生在幾何之上，微分是誕生在代數(shù)之上的，代數(shù)比幾何要晚。學(xué)習(xí)微積分的時候，是先學(xué)微分，再學(xué)積分。微分簡單，就是求導(dǎo)；積分要反過來，積分更難，積分的思想更早出現(xiàn)。代數(shù)加幾何，等于我們說的解析幾何，是笛卡爾他們搞的那個東西。今天研究曲線底下的面積或研究曲線的變化率，實際上都是方程。這個方程可以代表我們生活當(dāng)中的方方面面，無論它是飛機、病毒，還是建筑物，都可以用這個坐標(biāo)系來實現(xiàn)。

開普勒跟伽利略算一對搭檔，他們倆一塊兒出現(xiàn)；另外一對搭檔就是費馬和笛卡爾。費馬和笛卡爾兩個人競爭得很激烈，笛卡爾比費馬大幾歲，笛卡爾的地位很高，他覺得費馬就是個窮小子。在他們一生的競爭當(dāng)中，幾乎永遠都是費馬贏。費馬能夠很輕松地解決很多笛卡爾解決不了的問題，費馬提出的很多想法都比笛卡爾更早。他不用求導(dǎo)數(shù)的方法，就能夠找出極大值。

關(guān)于費馬的貢獻：

“費馬為現(xiàn)代形式的微積分鋪平了道路，他的最短時間原理揭示出優(yōu)化深深地嵌在大自然的結(jié)構(gòu)之中?！贝笞匀皇亲非髢?yōu)化的，因為它的進化就是朝著這個方向去的。

“他在解析幾何和切線方面的研究開辟了一條通往微分學(xué)之路，其他人將沿著這條路繼續(xù)前進。他高超的代數(shù)技巧讓他能夠求出某些曲線下方的面積?！彼笄€下方面積的方法是把這條曲線用一根一根的梁支起來。你想象有很多根小的矩形，然后把這個小的矩形的面積算出來，加在一起，不就是等于這個曲線的面積了嗎？

“費馬的研究成果使積分學(xué)向前邁進了一大步，并為接下來的突破奠定了基礎(chǔ)?！?/p>

“盡管如此，他的成果仍然比不上牛頓和萊布尼茨即將發(fā)現(xiàn)的那個秘密，后者徹底改變并統(tǒng)一了微積分的兩個部分。費馬已經(jīng)很接近這個秘密了，但遺憾的是，他錯過了它。缺少的一環(huán)與他創(chuàng)造的某個東西有關(guān)，隱含在他求大值和切線的方法中，但他從未意識到它的重要性。它后來被人們稱為導(dǎo)數(shù)，它的應(yīng)用將遠遠超出曲線及其切線的范疇，能夠涵蓋任何種類的變化。”

很多沒有學(xué)過數(shù)學(xué)的人聽到“導(dǎo)數(shù)”這個詞的時候，就已經(jīng)開始有點反胃了。導(dǎo)數(shù)是什么呢？比如說這兒有一條曲線，曲線上有一條切線，這個切線的斜率就是切點的導(dǎo)數(shù)，切線的斜率表示的是變化率。

在生活當(dāng)中一個東西多快？多陡？多敏感？凡是你問這樣的問題的時候，其實問的都是變化率。變化率怎么算出來呢？唯一的辦法就是求導(dǎo)。你能夠在每一個點上求出導(dǎo)數(shù)，你就知道這個點的變化率。

等牛頓和萊布尼茨登場以后，微積分的三大核心問題，正向問題，即已知一條曲線，求它各處切線的斜率，也就是變化率，相信大家都做過這樣的題；反向問題，已知一條曲線的各處斜率，求這條曲線的方程；面積問題，已知一條曲線，求曲線下方的面積。微積分說到底就這三件事，知道切線，求方程；知道方程，求切線；知道方程，求面積。上學(xué)的時候把它當(dāng)作考試來對待，不知道它的意義，但實際上這個可以應(yīng)用在醫(yī)學(xué)、建筑、火箭發(fā)動機等各個方面。變動的運算，都可以用方程和圖形來表示，這就是微積分的力量所在，這三大核心問題涉及物理、工程、金融、醫(yī)學(xué)等等。

人的大腦比較善于理解線性問題，線性的東西我們都比較容易理解，非線性的東西很不容易理解，放大曲線中的圖像。比如說這兒有條曲線，曲線的變化率不知道是多少，把它放大，把這個曲線放到足夠大，用顯微鏡去看這一小段。彎曲的曲線在這一小段上拿顯微鏡去看，是不是都像是一條直線？這就是微積分的方法。發(fā)現(xiàn)那個看起來很奇怪的曲里拐彎的曲線，在這個點上就是一條斜線，是直的。 這時候我們就容易理解了，所以這就是求導(dǎo)數(shù)。這些東西是牛頓、萊布尼茨他們這些人幫我們解決了。牛頓和萊布尼茨幫我們馴化了數(shù)學(xué)，馴化了這頭難以掌控的野獸。

微積分離我們其實并不遠，解決我們生活中問題的東西，包括我們晝夜的變化速率、物種的平衡等等。比如說，這草原上狼多好還是羊多好？假如你說狼很壞，把狼都打死吧。狼都打死，羊多了，草就沒了，草沒了，人也受影響；那你說多養(yǎng)狼，狼太多，把羊吃沒了，狼就餓死了，狼要吃人怎么辦呢？所以物種平衡怎么把握？你看是不是不同的變化率？只要牽扯不同的變化率，通過微積分來計算。

牛頓和萊布尼茨是徹底揭開了這個秘密的人，他們把之前的微積分思想徹底變成了微積分工具?！霸谂ｎD和萊布尼茨創(chuàng)立微積分之后，情況發(fā)生了變化。他們各自發(fā)現(xiàn)并證明了一個基本定理，它能使這類問題常規(guī)化。該定理將面積與斜率聯(lián)系起來，進而將積分與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起。這個基本定理的影響力驚人，幾乎一夜之間面積問題就變得容易解決了?！迸ｎD說：“并非所有方程都可以用曲線來表示，但我能在不到半刻鐘的時間內(nèi)，判斷出它是否可以求積?！?/p>

“牛頓的隱秘源泉就是微積分基本定理。盡管他和萊布尼茨都不是很早注意到這個定理的人。”但他們創(chuàng)立的方法，現(xiàn)在已經(jīng)普及開來。微積分這頭怪獸被拔除了尖牙，變成了青少年的家庭作業(yè)。今天學(xué)高等數(shù)學(xué)、學(xué)微積分，覺得很頭疼。假如你能把它當(dāng)作一頭被拔掉了尖牙的怪獸來對待，你不覺得自己無上光榮嗎？你的先輩幫你解決了這個問題，讓你能夠很愉快地計算這個奇怪的圖形的面積，這是一件多么光榮的事情！

學(xué)習(xí)微積分的學(xué)生在基本定理當(dāng)中，將它視為理所當(dāng)然。今天不會感謝牛頓和萊布尼茨，只會覺得他們給我們增加了家庭作業(yè)，我們覺得理所當(dāng)然，這個過程是非常艱難的過程，沒有他們這樣的洞察和發(fā)現(xiàn)，我們今天根本不會求積分。

曲線求積的問題得到了解決？

“它將引起一個連鎖反應(yīng)，就像被推倒的多米諾骨牌一樣，一個接一個問題都會迎刃而解。而且我們可以用它來回答笛卡爾眼中那個超出人類理解范圍的問題，即算出任意曲線的弧長。有了它，人們就可能算出平面上任何一個不規(guī)則形狀的面積，還可以計算球面、拋物面、甕、桶以及其他繞過軸旋轉(zhuǎn)曲線所得到的曲面的表面積、體積、重心。

“不僅如此，某些預(yù)測問題將得到解決。只要解決了曲線求積問題，我們就可以預(yù)測出運動物體在遙遠未來的位置。比如，即使一顆行星受到的引力與我們宇宙中的引力不同，我們也能預(yù)測出某一時刻它在軌道上的位置。我之所以稱曲線求積問題為積分學(xué)的圣杯，是因為許許多多的其他問題都可歸結(jié)為這個問題。如果它被解決了，其他問題也會得到解決。

“這就是算出任意曲線下方面積如此重要的原因……從現(xiàn)代的角度看，面積問題旨在預(yù)測以不斷變化的速率變化的事物和與它隨時間的累積程度之間的關(guān)系。它與銀行賬戶的波動性流入和累計余額有關(guān)；它與世界人口的增長率和地球上的凈人口數(shù)有關(guān)；它與化療藥物在患者血液中不斷變化的濃度和隨時間的累積暴露劑量有關(guān)，因為總暴露量會影響化療藥物的效果和毒性。”

面積問題之所以重要，因為它跟我們生活的方方面面都有聯(lián)系。大家知道斜率是變化速率問題，面積是累積效果問題，就是用這樣的速度做了這么長的時間，到底做了多少呢？這就是面積問題。所以在生活當(dāng)中，我們不但要知道變化速率問題，也要知道累積效果問題。變化速率是微分，整個面積是積分，這就是微積分。

在過去，艾滋病是一個不治之癥。所以大家覺得艾滋病會把地球上人口都消滅掉，因為艾滋病的潛伏期是十年。在這十年時間里，這個人看起來一點問題都沒有，所以他就可以正常地生活和交往。各位你想想看，十年期間他帶著病毒到處跟人交往，沒有任何問題，但時間一過很快就死，死亡率極高。

當(dāng)時很恐慌覺得艾滋病會讓人類滅亡，艾滋病并沒有這樣，原因是什么呢？有一個華裔的醫(yī)學(xué)家何大一，他和數(shù)學(xué)家艾倫·佩雷爾森用微積分解決了艾滋病病毒的問題。他們發(fā)現(xiàn)在這十年的病毒期間，以前的治療方法就是沒辦法，這十年反正是潛伏期，也沒什么癥狀，就別治了，等到發(fā)作一發(fā)作，人就死了。

于是何大一和他的搭檔，就在人體當(dāng)中截取了一個微小時間段中的病毒變化數(shù)，去計算病毒漲落的方程。發(fā)現(xiàn)這十年時間里，病毒并不是沒有發(fā)作，而是天天發(fā)作，但是你的白細胞和自然殺傷細胞每天都在和病毒作戰(zhàn)。你的白細胞的大量工作，使得病毒在你體內(nèi)的數(shù)量達到了均衡，看起來是不動的，但實際上每天有大量的病毒死去，有大量病毒產(chǎn)生，白細胞和自然殺傷細胞有大量的損耗，當(dāng)你用數(shù)學(xué)定義了這件事以后，你就可以給他配藥，然后就發(fā)明了雞尾酒療法。

雞尾酒療法通俗點講，在這十年時間里，給你的白細胞幫忙，讓你的白細胞能夠更厲害一點。艾滋病已經(jīng)變成了一個慢性病，基本上它不會像過去那樣，得了就死了。只要你長期吃藥，就能夠一直活下去，這是多么了不起的發(fā)現(xiàn)！而這個發(fā)現(xiàn)的背后，大量的我們大家看起來很頭疼的數(shù)學(xué)公式。1996年，何大一博士被評選為《時代》周刊的年度風(fēng)云人物，厲害嗎？這就是微積分的力量。

牛頓《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，揭示了力學(xué)的世界，然后用三重積分的方法幫我們解決了二體問題。地球跟月亮、兩個星星互相吸引，這叫作二體問題。二體問題其實很難計算，因為它在變動當(dāng)中，牛頓用三重積分的方法解決了，能夠預(yù)測月亮的軌道。但是三體問題無法解決，牛頓到死都沒有解決三體問題，現(xiàn)在的科學(xué)家可能也很難算出來，三體問題始終是一個很難的問題，有本小說叫《三體》就是從這兒來的。

一個美國的女性黑人科學(xué)家凱瑟琳·約翰遜，曾經(jīng)被拍成過一部電影，叫《隱藏人物》。

“1962年2月20日，約翰·格倫上校完成了繞地球飛行三周的任務(wù)后，在約翰遜精確計算的指導(dǎo)下重返大氣層，并且安全地降落在北大西洋，他是美國的英雄，后來當(dāng)選了參議員。但很少有人知道，在格倫創(chuàng)造歷史的那一天，直到凱瑟琳·約翰遜本人檢查了所有攸關(guān)生死的計算后，他才同意執(zhí)行這次飛行任務(wù)。換而言之，格倫把自己的生命托付給了約翰遜這個數(shù)學(xué)家?！?/p>

為什么呢？你想一個人從太空軌道上要回歸地球，地球上的地貌有多么復(fù)雜，有山、有海、有風(fēng)、有各式各樣的這種地貌，你降落的位置只要稍微偏一點點，沒有降落到他們指定的大西洋的那個位置上，這人就死了。假如我們只學(xué)一個πr2這樣的方式，根本完成不了。1962年沒有那么發(fā)達的計算機，這個黑人女科學(xué)家就用粉筆在黑板上手算大量的公式，算各種各樣的形狀，算地球上的每一個位置，確定他會落在大西洋上的那個位置，然后這個英雄才愿意執(zhí)行這個飛行任務(wù)。

格倫成為英雄，當(dāng)了參議員，但是約翰遜一直默默無聞，她是一個隱藏的人物，她在背后，大家不知道這個數(shù)學(xué)家所做的貢獻。一直到2015年，97歲高齡的她獲得了奧巴馬總統(tǒng)頒發(fā)的總統(tǒng)自由勛章。一年以后，美國國家航空航天局（NASA）以她的名字命名了一座大樓，大家認可了這位數(shù)學(xué)家的貢獻。

《獨立宣言》是在微積分的影響之下寫出來的。大家會覺得很奇怪，《獨立宣言》是個政治的東西、文字的東西，怎么會跟微積分有關(guān)呢？《獨立宣言》的起草者杰斐遜是美國的第三任總統(tǒng)，杰斐遜本人是一個建筑師、發(fā)明家和農(nóng)場主，同時也是第三任總統(tǒng)和《獨立宣言》的起草者。他還是牛頓的信徒，所以《獨立宣言》開篇所寫的話就跟牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》那本書中所寫的一模一樣，叫作“我們認為有些真理不證自明”。也就是說從公理著手，然后憑著邏輯的力量，他從這些公理中推導(dǎo)出一系列難以回避的問題，《獨立宣言》的起草思路。這個思路來自哪兒呢？來自牛頓寫的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。

學(xué)幾何是不是上來講公理？說有些公理不證自明。比如說兩條平行線不會相交，這是公理；三角形兩邊之和大于第三邊，這是公理；兩點之間直線最短，這是公理。不明白為什么要有公理？公理就是要搭建的一個圣殿底下的基礎(chǔ)，沿著這幾個基礎(chǔ)，全部都是公理和公理之間的應(yīng)用和引用，從而證明出定理，然后這個定理如果得到認可，它就可以像公理一樣被使用，然后再去證明下一個定理。人類就是這樣一步一步地往前推進的，這就是科學(xué)的思想。《獨立宣言》都是來自微積分的影響。

常微分方程是只有一個變量的方程，在生活當(dāng)中，其實面臨的是更多個變量。比如說飛機的機翼一展開，在天上這樣抖。飛機的機翼是多么復(fù)雜的形狀，它不是圓形、不是圓柱、不是圓錐，它全是弧線和曲面。天上的風(fēng)的力量極大，如果你不能夠很好地計算這個翅膀所承受的每一個點的力量，你怎么知道它飛著飛著不會掉了呢？飛機整天在這兒飛，飛行員說各種事故他們都見過，沒見過晃散了的。因為咱們擔(dān)心的是晃，咱們在飛機上上下左右這么晃，就覺得要嚇?biāo)懒?。我們覺得晃是很危險的一件事，飛行員告訴我說，他們干了一輩子，沒見過哪個飛機是晃散架的。

想想那個翅膀那么薄，天空中那么大的風(fēng)，怎么能夠確定它是安全的呢？

“其中涉及的數(shù)學(xué)計算可能難度極大，部分原因在于飛機的幾何結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜。飛機不像球體、風(fēng)箏或者輕木滑翔機，它的形狀復(fù)雜得多，包含機翼、機身、發(fā)動機、尾翼、襟翼和起落裝置，這些組成部分都能使高速掠過飛機的氣流發(fā)生偏轉(zhuǎn)。而且，高速氣流一旦發(fā)生偏轉(zhuǎn)，就會對使它偏轉(zhuǎn)的物體施加一個力。”你把手伸到車窗外邊去，有沒有感受到很大的力在推你的手？這個就是你使得那個風(fēng)發(fā)生偏轉(zhuǎn)了，一偏轉(zhuǎn)，力量就來了。所以你那個發(fā)動機上的大疙瘩，遇到了風(fēng)吹，它就抖，因為它大，影響了風(fēng)的方向。

“偏微分方程在這個過程當(dāng)中發(fā)揮了諸多方面的作用。比如，除了計算升力和阻力之外，波音公司的應(yīng)用數(shù)學(xué)家還用微積分預(yù)測了飛機以600英里的時速飛行時機翼會如何彎曲。當(dāng)機翼受到升力時，升力會導(dǎo)致機翼向上彎曲和扭曲，工程師試圖避免的一種現(xiàn)象是被稱為氣動彈性顫振的危險效應(yīng)，它類似于微風(fēng)吹過百葉窗簾時發(fā)生的顫振?！蹦憧达L(fēng)吹百葉窗是什么反應(yīng)？它是上下抖動。

“在好的情況下，機翼的這種不受歡迎的振動會造成旅途的顛簸和不適。而在壞的情況下，這種振動會形成一個正反饋回路：當(dāng)機翼震顫時，它們會改變周圍的氣流，并使自身震顫得更厲害。眾所周知，氣動彈性顫振會損壞實驗飛機的機翼，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效和墜毀。”它抖得太厲害了以后，力量不斷地正向反饋，變得越來越大，機翼可能會斷掉。

“波音公司的數(shù)學(xué)家將機翼近似分解為幾十萬個微型立方體、棱柱體和四面體，這些較為簡單的形狀扮演著基本結(jié)構(gòu)單元的角色。就像在面部手術(shù)的建模階段一樣，他們先要為每個構(gòu)建單元的剛度和彈性賦值，然后這些構(gòu)建單元會受到臨近構(gòu)建單元施加的推力和拉力。彈性理論的偏微分方程可以預(yù)測出每個構(gòu)建單元會對這些力做出怎樣的反應(yīng)，在超級計算機的幫助下，所有這些反應(yīng)會被組合起來，用于預(yù)測機翼的總體振動情況”。

不能把機翼當(dāng)作一個整板，他要把機翼切成一個一個的小形狀，這些小形狀之間還要互相傳導(dǎo)力量，才能夠算出來機翼的安全承受力。所以你坐飛機的時候，不同的飛機顛簸程度是不一樣的。千萬別把顛簸程度簡單地當(dāng)作是今天運氣不好，遇上風(fēng)了。不是，你坐糟糕的飛機就會顛得厲害，你坐新的、大的、好的飛機，就會顛得輕計算能力更強了。這就是我們的生活所受益的地方。

有的孩子有一個宏大的目標(biāo)，說想成為科學(xué)家，那你得學(xué)微積分。有的說我想成為生物學(xué)家，看起來不要數(shù)學(xué)對嗎？要好好學(xué)微積分，沒有微積分，你根本不可能成為生物學(xué)家。有的說我想成為經(jīng)濟學(xué)家，去學(xué)微積分。有的說想成為投資人、銀行家，去學(xué)微積分。你做任何東西，想做到高手，都得懂?dāng)?shù)學(xué)，否則你是在表面上停留的。

包括我們用的微波爐，完全是用微積分發(fā)明出來的。當(dāng)年一個研究武器的公司發(fā)現(xiàn)了用在武器上的磁控管，但是不知道民用該怎么用。后來有一個實驗人員在用磁控管做實驗的時候，突然發(fā)現(xiàn)自己口袋里的花生巧克力化掉了，原因是磁控管產(chǎn)生的波會使得巧克力內(nèi)部發(fā)生振動，從而加熱。

用微波爐來測量光速，微波爐怎么測量光速？其實這事可以做實驗的，還是安全。你把微波爐里邊的轉(zhuǎn)盤拿出來，然后放一塊奶酪在盤子里，放進微波爐加熱。加熱三十秒以后，把盤子取出來。這時候你會看到奶酪有的地方已經(jīng)熔化了，有的地方還沒熔化，它先熔化的地方是哪兒呢？先熔化的地方就是熱點。這個熱點對應(yīng)著微波爐微波模式的腹點，是振動劇烈的地方，它類似于正弦波的波峰和波谷。

對于一臺運行頻率為2.45千兆赫的標(biāo)準(zhǔn)微波爐，發(fā)現(xiàn)兩個相鄰熔點之間的距離大約是6厘米，從波峰到波谷的距離，也就是半波長。那么實際上它的波長就是12厘米。怎么用它計算光速呢？將微波爐的振動頻率乘以你在實驗中測得的這個波長，就能夠得出光速，或者非常接近光速的結(jié)果，就那么好玩。

而微波爐的原理就來自傅里葉，傅里葉就是發(fā)現(xiàn)了用正弦波來解決這些問題的人。他把這些東西都簡化為正弦波，后來發(fā)現(xiàn)正弦波真的很好用，包括我們今天做電腦斷層掃描（CT）、核磁共振掃描（MRI）、我們用的電子琴、語音合成器，全部都是用正弦波的原理，它們的奠基人都是傅里葉。沒有他就沒有我們今天所用的這些跟波有關(guān)的東西。未來微積分將用來做什么呢？微積分會用來計算DNA的纏繞數(shù)、計算非線性問題、計算混沌問題、計算復(fù)雜系統(tǒng)和高維詛咒的問題，就是高維幾何，黎曼幾何就是搞這個的。

包括計算機、人工智能以及洞察力的問題，其實未來都是用更高級的數(shù)學(xué)工具來解決，因為數(shù)學(xué)工具也在進化。黎曼幾何就是數(shù)學(xué)工具的進化，用高級的代數(shù)、高級的微積分，去解決更加復(fù)雜的問題。

讓我們回到愛因斯坦，因為愛因斯坦畢竟是人類歷史上偉大的科學(xué)家。2017年的諾貝爾物理學(xué)獎獲得者是引力波的探測者。引力波是什么呢？引力波是廣義相對論預(yù)測到的又一個驚人的效應(yīng)。

“這個理論指出，一對互相纏繞的黑洞會在它們周圍的時空中形成漩渦，并有節(jié)奏地拉伸和擠壓時空，由此產(chǎn)生的時空擾動會像漣漪一樣以光速向外擴散。愛因斯坦曾經(jīng)懷疑我們不可能測量到這種波，并擔(dān)心它可能只是一種數(shù)學(xué)錯覺。”數(shù)學(xué)錯覺就是數(shù)學(xué)上說得通，但是實際上看不到。

2017年諾貝爾物理學(xué)獎的獲得者的關(guān)鍵成就在于，他們設(shè)計并制造出了有史以來靈敏的探測器。

“2015年9月14日，他們的裝置探測到一個時空震顫，僅相當(dāng)于質(zhì)子直徑的千分之一。作為對照，這就好比將地球與太陽的距離微調(diào)了相當(dāng)于人的一根頭發(fā)直徑的長度?！本瓦@么小的一個震顫，在2015年被人類的儀器捕捉到了。

《微積分的力量》美好的地方就在于，他雖然寫數(shù)學(xué)，但他有著非常強烈的人文情懷和詩一樣的語言。他發(fā)出感慨說：

“作為漂浮在一個中量級星系中的一顆微不足道的行星上的一個無足輕重的物種，智人是如何成功預(yù)測出，在距離地球十億光年之遙的浩瀚宇宙中的兩個黑洞相撞后，時空會發(fā)生怎樣的震顫呢？早在引力波到達地球之前就知道它的聲音應(yīng)該是什么樣子了。多虧有微積分、計算機和愛因斯坦，我們的預(yù)測是正確的。

“引力波是人類有史以來聽過的微弱的耳語。在我們成為靈長類動物之前，在我們成為哺乳動物之前，甚至在我們還是微生物的時候，這種輕柔而微小的波就已經(jīng)開始朝我們漾來。當(dāng)它在2015年的那一天抵達地球的時候，因為我們正在傾聽，也因為我們通曉微積分，所以我們才能聽懂這輕柔的耳語意味著什么?！?/p>

還有比這更崇高而美好的事情嗎？再次感謝這本書，感謝作者。從一開始的勇氣到后來能夠慢慢的讀，對微積分會有一個完全不同的感受。不再排斥它，不再憎恨它，不再把它當(dāng)作一個唯恐避之不及的東西。想盡量地了解它、尊重它，而不是說“我根本不感興趣”，人類賴以生存的有別于其他動物的重要的工具之一。