前言

邏輯代數(shù)系統(tǒng)由基本公式、常用公式、基本規(guī)則三部分構(gòu)成。掌握了這些，設(shè)計出的電路可以盡可能地簡單，減少故障幾率和元件使用；編程時，如果掌握了邏輯函數(shù)化簡，也能增加條件判斷式的可讀性，避免寫出垃圾代碼。

正文

邏輯代數(shù)中的三種基本運算

與、或、非

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復(fù)合邏輯運算

最常見的有與非、或非、與或非、異或、同或等

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異或：A?B=AB′+A′BA?B=AB′+A′B
同或：A?B=AB+A′B′A?B=AB+A′B′
異或與同或互為反運算。

邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式

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基本公式

也叫布爾恒等式（證明方法包括真值表法和推演法）

正如加減乘除中存在各式運算律一樣，邏輯運算也有運算規(guī)律。本章中，我們主要考慮與、或、非運算；異或、同或的運算律可以很方便地推導出來。我們從常量的運算開始。

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以上相當于把真值表重新表達了一遍，比較直觀。

接下來，我們開始把式子抽象化，把其中一個常量用變量 A 代替，看看常量與變量的運算（0律與1律）

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這些也很好理解，只要把常量運算公式兩兩合并就可以得到。時刻要提示自己：變量的值只有0與1兩種情況。

最后，是變量間的運算，即基本運算律：

提示：在布爾運算中，運算優(yōu)先級是 非 > 與 > 或

（1）交換律、結(jié)合律、分配律

這些公式基本和四則運算中的形式一樣：

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特別的分配律：由于在布爾運算中，與運算和或運算常常處于可以互換的地位，因此，我們也有 A+BC=(A+B)(A+C) 。它和與對或的分配律非常接近，只是“與”和“或”調(diào)換了而已?？梢宰C明一下公式的正確性：

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分別用了：與邏輯分配律；重疊律（見（3））；與邏輯分配律逆命題；1律

（2）還原律

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很直觀，變量兩次取反后回到它本身。和語言中的“雙重否定”是一個概念。

（3）重疊律

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這兩個式子比較難理解一點。但畢竟，布爾運算與四則運算中的“加法”“乘法”不是完全一致的——如果寫成 A∪A=A, A∩A=A ，或者A || A == A, A && A == A ，表達的意思也是一樣的。

在學習邏輯運算時，有許多迷惑性的符號——比如”0”與“1”，它們并不存在大小關(guān)系，而只是“真”與“假”的對應(yīng)關(guān)系，與數(shù)字0和1無關(guān)

一道十分有趣的題目：能否通過 A + A = A 推導出 A = 0 ？

不能。由于布爾運算中沒有“減法”運算，因此不可以把等式兩端同時減去A。這告訴我們，雖然乍一看形式十分接近，但仍然不能被算術(shù)運算中的思維誤導

（4）互補律

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因為 A 與 A′ 中有且只有一個為1，因此可以回到1與0的運算上來理解。

（5）德·摩根定律

讓我們一起迎接邏輯學中最著名、最經(jīng)典、最實用的定律：

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它如此優(yōu)美，如此簡潔地表明了與邏輯和或邏輯相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系。用非?！皵?shù)學的話”說：

并集的補集是補集的交集，交集的補集是補集的并集

或者，用實際生活中的例子來理解——

一架飛機能成功降落的前提是前后起落架均已放下，缺一不可。所以，飛機不能降落，是因為“沒有既放下前起落架又放下后起落架”，或者說是“沒有放下前起落架或者沒有放下后起落架”

此公式的用途之一是去括號。初學時，常常不自覺地寫出

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這樣的式子。但實際上，去掉帶取反的括號時，或要變與，與要變或。

還有一個用處是轉(zhuǎn)換與邏輯和或邏輯。

如果在電路設(shè)計中只能使用“或”和“非”兩種邏輯，我們也照樣能表示出與邏輯—— AB=(A′+B′)′ 。

就比如，Minecraft游戲中便只有“或”和“非”，但能夠創(chuàng)造出所有邏輯元件，原理就在于此

常用公式

以上公式都比較簡單，使用時局限性也比較大。所以，我們還推導出了一系列常用公式。它們的使用頻率要高得多（基礎(chǔ)公式中的德·摩根定律除外）。

注意：在之前的描述中，盡量避免了出現(xiàn)“相加”“乘積”這樣的字眼，以防造成誤會；但為了敘述方便，接下來會經(jīng)常出現(xiàn)這些詞匯，它們不是一般意義上的“加法”“乘法”，請務(wù)必注意。

（1）吸收公式

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兩項相加，且其中一項（ A ）是另一項（ AB ）的因式時，另一項中的其他因式就被吸收了。

證明： A+AB=A(1+B)=A

先提取公因式；再運用1律

這里一系列公式的表達都非常簡單抽象，而實際運用時，這兩項不一定會長成A與AB的樣子，但哪怕是 A(X+Y)M′+A(X+Y)(B+C′+D)M′E′F′G 這種龐大的式子，只要眼光毒辣，也能發(fā)現(xiàn)公因式，并化簡成 A(X+Y)M′

（2）消因子公式

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兩項相加，且其中一項（ A ）取反后是另一項（ A′B ）的因式時，另一項中的這個相反因式就被消去了。（不要在意“吸收”“消去”這兩個詞到底有什么區(qū)別，只是為了區(qū)分這兩個公式而已）

證明： A+A′B=(A+A′)(A+B)=1?(A+B)=A+B

其中提取公因式一步比較難想到，是證明過程的重點

要注意區(qū)分吸收公式和消因子公式：一個是相同的因式，一個是相反的因式；一個直接消去兩項中較大的一項，一個僅僅去除部分因式

（3）并項公式

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兩項相加，部分因子相等（ A ），剩下的互補（ B 與 B′ ），那么可以合并成一項公有因子。

證明： AB+AB′=A(B+B′)=A?1=A

（4）消項公式

這個較為復(fù)雜：三項相加，兩項中部分因子互補（ AB 中的 A 與 A′C 中的 A′ ），剩下的都是第三項（ BC ）的因式（這兩項的乘積不一定要和第三項相同，只需都是第三項的部分因式），那么第三項可以消去。

證明如下：

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這個公式使用頻率不算很高，但它的證明用到了一種很有用的思想——引入冗余項，以進行進一步簡化?？梢钥吹剑C明開頭，逆運用并項公式，創(chuàng)造了一個新的項，隨后和另外兩項分別合并。除了這種用法，還可以利用重疊律 A=A+A ，重復(fù)寫入一項，再和其他項化簡。這種方法很有用，但需要訓練才能掌握（妙?。?/p>

基本規(guī)則

何謂基本規(guī)則？其實很難說清楚。但大概來講，它描述了對等式進行恒等變形的一些方法。

（1）代入規(guī)則

將邏輯函數(shù)式中任一變量（或函數(shù)）用另一變量（或函數(shù)）替換，等式仍成立。這類似方程化簡中的“換元法”思想。

如果有方程： F(M(X,Y,Z),B,C,...)=G(M(X,Y,Z),B,C,...) ，其中 F,G,M 均表示函數(shù)，則可以設(shè) A=M(X,Y,Z) ，從而得到 F(A,B,C,...)=G(A,B,C,...) 。

舉個例子，之前提到，常用公式不僅僅局限于兩到三個變量的運算，還可以拓展到更多變量，這可以用代入規(guī)則解釋。以消因子公式為例：如果有 (M+N)′+(M+N)XY ，則可以設(shè) A=(M+N)′, B=XY ，把式子變形成 A+A′B ，然后運用公式。

（2）反演規(guī)則

回顧一下德·摩根定律： (AB)′=A′+B′, (A+B)′=A′B′ ，它可以同樣通過應(yīng)用代入規(guī)則，拓展到多個變量： (ABC...)′=A′+B′+C′+..., (A+B+C+...)′=A′B′C′... 。

注意看，等式的左邊是一系列項的積或和，并進行了取反，而等式的右邊則是這個反函數(shù)的展開。由此，我們可以推導出化簡一個函數(shù)的反函數(shù)——或者叫反演——的規(guī)則。

得到函數(shù)的反演式有兩步：

• 加變乘，乘變加——對應(yīng)德·摩根定律中與和或的轉(zhuǎn)換，并保證運算順序不變；
• 對每個量取反（包括變量變?yōu)榉醋兞亢?變1，1變0），但保留非單變量的非號。
  比如， ((A+B)C+0)D′?1 ，先變換符號： ((AB)+C?0)+D′+1 ，再對變量逐個取反： ((A′B′)+C′?1)+D+0 ，最后檢查運算順序，并通過添加去除括號調(diào)整： (A′B′+C′)?1+D+0 。就這樣，得到了原函數(shù)的反演函數(shù)。

（3）對偶規(guī)則

這個規(guī)則便是之前提到的“與邏輯和或邏輯常?？梢曰Q”的一個嚴謹定義。對偶式的得到也有兩步:

• 加變乘，乘變加，保證運算順序不變；
• 0變1，1變0。
  對偶式的性質(zhì)是：若兩個邏輯式 F1=F2 成立，則它們的對偶式 F1D=F2D 也成立。比如由于 A(B+C)=AB+AC ，通過對偶變換就可以得到 A+BC=(A+B)(A+C) 。

對偶規(guī)則也是由德·摩根定律推導而來的，具體證明過程比較復(fù)雜，不再贅述。

其實，對偶式和反演式的本質(zhì)區(qū)別就是沒有了“對所有量取反”這一步。但為什么要保留“對常數(shù)取反”呢？如果沒有這一步——比如， 0+A=A 的對偶等式是 1?A=A ；如果不對常數(shù)取反，就有 0?A=A ，顯然不成立

總結(jié)

當今時代，數(shù)字電路已廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域。數(shù)字電路比模擬電路的發(fā)展更迅猛，應(yīng)用更廣泛。所以對于當代的工科學生來說學好數(shù)字電路勢在必行。其中，正確理解數(shù)字電路中的“數(shù)字”二字以及邏輯電路中的“邏輯”二字的含義是學好數(shù)字邏輯電路的基礎(chǔ)。本文梳理了邏輯代數(shù)的基礎(chǔ)內(nèi)容，為今后數(shù)字邏輯電路的分析和設(shè)計打下良好的基礎(chǔ)。
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