? ? ? ? ? ? ? ? ? ?“圣經(jīng)中并沒有說過一切大自然的定律都可以用線性方程來表示”
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?——恩里科·費(fèi)米
? 雖然教材上的數(shù)學(xué)證明題總是能基于固定的公理在有限步內(nèi)證完，哥德爾的著名工作卻告訴我們存在著無限多根本不能這樣證出的真命題。類似的事情同樣也出現(xiàn)在物理學(xué)中，不妨引用理查德·費(fèi)曼的演說中的一段來表達(dá)這種困惑：
It always bothers me that, according to the laws as we understand them today, it takes a computing machine an infinite number of logical operations to figure out what goes on in no matter how tiny a region of space, and no matter how tiny a region of time. How can all that be going on in that tiny space? Why should it take an infinite amount of logic to figure out what one tiny piece of space/time is going to do??
? 乍一看這不是什么問題，有限步運(yùn)算本來就無法給出有界連續(xù)變量的大多數(shù)取值（反正有不可數(shù)無窮多個(gè)），而物理學(xué)允許做有效近似，能用有限步運(yùn)算逼近到充分的精度就算是成功了。但是，這并沒有完全消除疑問，費(fèi)曼本人探討物理現(xiàn)象的計(jì)算機(jī)仿真時(shí)就特別提及：即使做了全面離散化也不保證仿真的有效性，從而所謂有限自然假說的初衷無法滿足（拙作《一種舊科學(xué)》論及此事）。不過，費(fèi)曼說明的只是運(yùn)算步數(shù)隨尺度指數(shù)增長，在有限尺度上并不會(huì)真的發(fā)散。
? 把這種矛盾推向極端的是下面的事實(shí)：在實(shí)數(shù)域上存在無限多不可計(jì)算的連續(xù)函數(shù)，并且求導(dǎo)和積分不保持可計(jì)算性。描述某個(gè)物理體系的微分方程完全可以有一個(gè)不可計(jì)算的解，不滿足“總能用有限步運(yùn)算逼近到充分的精度”的條件。換言之，有效的數(shù)值解都不會(huì)存在（更不用說解析解了）。這種體系更符合費(fèi)曼原文描述的情況：我們非得用“無限的邏輯”才能理解“有限的時(shí)空”中的演化，即使做了近似也幫不上多大忙。
? 上世紀(jì)80年代，文獻(xiàn)[1]早已用機(jī)械波構(gòu)造出了初始條件可計(jì)算，但解一般不可計(jì)算的一個(gè)范例。不可計(jì)算性會(huì)導(dǎo)致初始條件精確已知時(shí)依然難以做長期預(yù)測，而可計(jì)算的混沌則會(huì)失去威力。顯然，論起“證明決定論的失敗”“體現(xiàn)了大自然不可預(yù)測”之類的特征，單純的混沌在不可計(jì)算現(xiàn)象面前根本是小巫見大巫（文獻(xiàn)[2]則早就對(duì)比了這兩種不可預(yù)測性，得出上述結(jié)論）。
? 引用費(fèi)米的話以強(qiáng)調(diào)非線性研究的人可能會(huì)非?？粗?cái)?shù)值計(jì)算的作用，經(jīng)驗(yàn)告訴他們，面對(duì)沒有解析解的非線性方程，數(shù)值近似是有力的武器——但是那同時(shí)也就不知不覺假設(shè)了算法可解性，一個(gè)同樣是“圣經(jīng)里”沒有的假設(shè)。不曉得費(fèi)米倘若意識(shí)到數(shù)值計(jì)算的局限性，會(huì)不會(huì)說：憑什么大自然的規(guī)律就要都能被計(jì)算機(jī)表示呢？上帝玩電腦上了癮？
? 存在不可計(jì)算的物理現(xiàn)象，固然會(huì)使大自然顯得更加高深莫測，但能有什么應(yīng)用呢？在最樂觀的情況下，它們可被利用于制造突破現(xiàn)有計(jì)算設(shè)備根本限制的超凡計(jì)算機(jī)——不受丘奇-圖靈論題約束的強(qiáng)力裝置，有時(shí)也被稱作“跨越圖靈屏障（Bypassing Turing's barrier）”。
? 顯然，不可計(jì)算的物理現(xiàn)象至少可以幫助我們完成一個(gè)圖靈機(jī)做不好的任務(wù)——仿真它自己。但要做出實(shí)用的計(jì)算機(jī)，必須要說明能將有意義的難題化歸為前者。幸好，這點(diǎn)在原理上是可行的。
? 例如，先前的不可計(jì)算機(jī)械波，就曾被提議用于構(gòu)造能做超凡計(jì)算的“聲波計(jì)算機(jī)”。更具物理意義的設(shè)想則是利用廣義相對(duì)論中的Malament–Hogarth時(shí)空來進(jìn)行超凡計(jì)算，事實(shí)上，可以證明存在一族所允許的超凡計(jì)算能力逐級(jí)遞增的時(shí)空結(jié)構(gòu)，它們依次能判定不可解度不同的集合。看起來，計(jì)算機(jī)還有無限的潛力等待著發(fā)掘呢。
? 只是現(xiàn)實(shí)并沒有這么樂觀。至今為止，圖靈屏障依然沒有被跨越。一個(gè)常見的誤解是：因?yàn)橛?jì)算機(jī)的存儲(chǔ)容量和運(yùn)行時(shí)間是有限的，物理觀測的精度也是有限的，所以追求理想情況下的超凡計(jì)算毫無必要，反正現(xiàn)實(shí)中只能做有限計(jì)算。這并不是個(gè)正確的反對(duì)理由，超凡計(jì)算機(jī)被限制在有限狀態(tài)后，仍可能有大幅節(jié)約計(jì)算資源的優(yōu)勢。文獻(xiàn)[3]列舉了阻礙超凡計(jì)算可行性的一些物理因素，相對(duì)單純的“計(jì)算有限性”要更加具體合理。
?現(xiàn)在讓我們切換到悲觀角度來看問題。假如這些不可計(jì)算現(xiàn)象確實(shí)是不可利用的，可實(shí)行的計(jì)算最終還是脫離不了圖靈機(jī)的能力范圍，就回到了本文一開始所述的情形：圖靈屏障阻止我們?nèi)ァ翱辞濉币徊糠肿匀滑F(xiàn)象。那么還有一件事情是很值得做的：弄清楚這種異常背后的原因（啊，對(duì)此，我完全沒有頭緒……）。
參考文獻(xiàn)：
[1]?Advances in mathematics 39,215-239（1981）
