反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法，在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到，在高考題中也經(jīng)常出現(xiàn)。它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種很重要的證題方法. 反證法證題的步驟大致分為三步：
（1）反設(shè)：作出與求證的結(jié)論相反的假設(shè)；
（2）歸謬：由反設(shè)出發(fā)，導(dǎo)出矛盾結(jié)果；
（3）作出結(jié)論：證明了反設(shè)不能成立，從而證明了所求證的結(jié)論成立.
其中，導(dǎo)出矛盾是關(guān)鍵，通常有以下幾種途徑：與已知矛盾，與公理、定理矛盾，與假設(shè)矛盾，自相矛盾等.
類型一 證明“至多”或“至少”問(wèn)題
使用情景：證明“至多”或“至少”問(wèn)題．
解題步驟：
第一步 首先假設(shè)命題不成立；
第二步 然后根據(jù)已知或者規(guī)律推導(dǎo)出矛盾；
第三步 最后得出結(jié)論.
例1.若{正整數(shù)}，且
。求證：
或
中至少有一個(gè)成立。
【解析】注意“至少”字樣，可以考慮用反證法證明
證明：假設(shè)同時(shí)成立，又
,
將以上兩式相加得
,
這與已知條件矛 盾，
因此假設(shè)不成立。
故或
中至少有一個(gè)成立。
【點(diǎn)評(píng)】反證法的邏輯根據(jù)為：要證明命題“若則為真”，該證“若則為假”，因此，反證法的核心是從出發(fā)導(dǎo)出矛盾。
類型二 證明“不可能”問(wèn)題
使用情景：證明“不可能”問(wèn)題．
解題步驟：
第一步 首先假設(shè)命題不成立；
第二步 然后根據(jù)已知或者規(guī)律推導(dǎo)出矛盾；
第三步 最后得出結(jié)論.
例2.給定實(shí)數(shù)，
且
，設(shè)函數(shù)
，求證：經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線不平行于
軸．
【解析】：要證明經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于軸，可以考慮假設(shè)函數(shù)圖像上存在兩點(diǎn)
,使得直線
平行于
軸，可以考慮假設(shè)函數(shù)圖像上存在兩點(diǎn)
,使得直線
平行于
軸，然后得出矛盾。
證明：假設(shè)函數(shù)圖像上存在兩點(diǎn)，使得直線平行于
軸，設(shè)
且
由
得
，解得
。與已知
矛盾。故經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線不平行于
軸
【點(diǎn)評(píng)】在證明不可能問(wèn)題上，必須按“反設(shè)——?dú)w謬——結(jié)論”的步驟進(jìn)行，反證法的難點(diǎn)在于如何從假設(shè)中推出矛盾，從而說(shuō)明假設(shè)不成立。本題從假設(shè)中推出的結(jié)論是與已知相矛盾。
類型三 證明“存在性”或“唯一性”問(wèn)題
使用情景：證明“存在性”或“唯一性”問(wèn)題．
解題步驟：
第一步 首先假設(shè)命題不成立；
第二步 然后根據(jù)已知或者規(guī)律推導(dǎo)出矛盾；
第三步 最后得出結(jié)論.
例3.求證：方程的解是唯一的．
【解析】可以假設(shè)方程的解有兩個(gè)，然后得出矛盾。
證明：由對(duì)數(shù)的定義易得，是這個(gè)方程的一個(gè)解，假設(shè)這個(gè)方程的解不是唯一的，他還有解
,則
,則
.①由假設(shè)，得
,從而：當(dāng)
時(shí)，有
②當(dāng)
時(shí)，有
③
顯然，②，③與①都矛盾，這說(shuō)明假設(shè)不成立，所以原方程的解是唯一的。
【總結(jié)】有關(guān)存在性與唯一性命題的證明問(wèn)題，可考慮用反證法．“存在”就是“至少有一個(gè)”，其反面是“一個(gè)沒(méi)有”，“惟一”就是“有且只有一個(gè)”，其反面是“至少有兩個(gè)”．有時(shí)問(wèn)題的結(jié)論是以否定形式出現(xiàn)的否定性命題，也可考慮應(yīng)用反證法.
