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約束(constraints)限制系統(tǒng)位形(configuration)以及位形的變化：

如果一個系統(tǒng)的約束可以用數(shù)學方程來表示，我們稱它為該系統(tǒng)的約束方程。

約束有多種分類方式：

$\bullet$ 按照約束是否同時限制系統(tǒng)的位形以及位形的變化，可將其分為完整約束(holonomic constraints)和非完整約束(nonholonomic constraints).

如果系統(tǒng)的約束方程可以被表示成：

$f_j(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \mathbf{r}_3,..., \mathbf{r}_N, t) = 0, \quad (1< j < m)$

約束就被稱為完整約束（或者叫幾何約束）。例：剛體(rigid body)的運動、微粒沿某特定曲線或表面的運動等大部分常見約束。

不能被表示成上述形式的約束就是非完整約束：

$f_j(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2,...,\mathbf{r}_N, \mathbf{\dot{r}}_1, \mathbf{\dot{r}}_2,...,\mathbf{\dot{r}}_N,t), \quad (1 < j < m^{\prime} )$

非完整約束通常既限制系統(tǒng)位形，又限制位形的變化。例：微粒在光滑球面上的運動： $r^2 - a^2 \geq 0$

$\bullet$ 按照約束方程是否顯性含有時間，可將其分為定常約束(scleronomic constraints)和非定常約束(rheonomic constraints)。

非定常約束顯含時間，定常約束則否。

例：被串在一段固定細繩上滑動的玻璃珠所受約束是定常約束，但如果細繩在以某種顯含時間的數(shù)學方程所描述的方式運動，玻璃珠所受約束則是非定常約束。

$\bullet$ 按照約束方程是否可解除，可將其分為單側約束(unilateral constraints)和雙側約束(bilateral constraints)。

單側約束是可解除的約束，約束方程通常表示為不等式。

例：之前提到的，在光滑球面上運動的微粒所受約束是非完整的，同時也是可解除的單側約束。雙側約束的解除與否則取決于約束力的變化情況。

$\bullet$ 按照系統(tǒng)受到所有約束力的虛功之和是否為零可將約束分為理想約束(ideal constraints)和非理想約束(nonideal constraints)。

對于理想約束，系統(tǒng)所受全部約束力 $\mathbf{f}_i$ 的虛功(virtual work)代數(shù)和為零： $\sum_i \mathbf{f}_i \boldsymbol{\cdot} \delta\mathbf{r}_i = 0$

例：對于剛體的運動，所受約束通常都是理想的；在光滑平面上運動的物體，所受約束力始終垂直于虛位移，所做虛功為零，所以約束屬于理想約束。若只考慮物體在斜面上收到滾動摩擦力，斜面在某時刻對接觸點只存在瞬時作用力，約束則依然是理想的，但對于只考慮滑動摩擦的情況，所受約束則是非理想約束。

在力學問題的求解過程中，約束所帶來的困難主要有兩點：

$\bullet$ ?因為約束方程限制了系統(tǒng)位形以及位形的變化，坐標 $r_i$ 之間將不再全是相互獨立的，也就導致了系統(tǒng)內質點的運動方程不再全是獨立的關系（表達式中總會有耦合的坐標），于是想要單獨地求解出每一個質點的運動方程就不再實際。這種情況下，找出運動方程的通解就會變得十分困難。

$\bullet$ ?一個系統(tǒng)所受約束力的表達式，通常要在系統(tǒng)的運動方程都得到解決后才能獲得（比如導線對玻璃珠的作用力），所以約束力并非是一開始就能得到的已知量，而是一個伴隨問題存在的未知量。

可見，一個系統(tǒng)的約束其實可以被理解成是對存在于該系統(tǒng)中的約束力的改述：我們雖然不知道這個約束力的具體形式，但是我們理解其對于系統(tǒng)運動所造成的影響，所以我們可以通過描述它造成的影響（約束方程），來間接地描述約束力。待系統(tǒng)的運動方程都得到了解決，約束力也就迎刃而解。

第一個困難就是我們引入廣義坐標(generalized coordinates)的動機。

剛才說過，第一個困難主要來源于坐標間非獨立關系導致的運動方程耦合。

拿最熟悉的笛卡爾坐標為例，我們知道，使用三維笛卡爾坐標系來描述一個由 $N$ 個微粒組成的系統(tǒng)所需要的總的坐標個數(shù)為 $3N$ ，如果在該系統(tǒng)中存在 $m$ 個完整約束，那么我們可以利用這 $m$ 個約束方程，將 $3N$ 個坐標中的 $m$ 個非獨立坐標通通消去，得到 $3N - m$ 個獨立坐標。根據(jù)定義，該系統(tǒng)的自由度(degrees of freedom)即為 $3N - m$ 。

跟笛卡爾坐標不同，廣義坐標的選取則更為隨意：我們只需要引入 $3N - m$ 個新的獨立坐標 $q_1, q_2,...,q_{3N - m}$ ，將系統(tǒng)原有坐標 $\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,...,\mathbf{r}_N,$ 表示成：

$\begin{align*}\mathbf{r}_1 &= \mathbf{r}_1(q_1, q_2,...,q_{3N - m}, t)\\\vdots &\\ \mathbf{r}_N &= \mathbf{r}_N(q_1, q_2,...,q_{3N - m}, t)\end{align*}$

這樣做的好處在于，當我們利用新坐標來表示舊坐標時，系統(tǒng)的約束條件就會自動地隱性包含在這些表達式中，所以此后都不需要再擔心約束條件。

上述表達式也被稱為從變量集合 $(\mathbf{r}_k)$ 到集合 $(q_k)$ 的變換方程(transformation equations)，或者可以被理解成集合 $(\mathbf{r}_k)$ 的參化表征(parametric representations)。另外，具有實際物理意義的坐標變換通常是可逆(invertible)的，也就是說我們總能夠利用坐標集 $(\mathbf{r}_k)$ 關于 $(q_k)$ 的表達式來反求坐標集 $(q_k)$ 關于 $(\mathbf{r}_k)$ 的表達式，即：

$\begin{align*}q_1 &= q_1(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2,...,\mathbf{r}_N, t)\\\vdots&\\q_{3N - m} &= q_{3N - m}(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2,...,\mathbf{r}_N, t)\end{align*}$

第二個不同點是，處理廣義坐標時我們通常不能再像笛卡爾坐標系中那般，將矢量分解在三個方向上——廣義坐標甚至不能被明確地劃分成矢量的各分量，因此也無法構成矢量。

例：我們依舊考慮一個微粒在光滑球面的運動：很明顯，使用經度（方位角 $\phi$ ）和緯度（天頂角的余角 $\vartheta$ ）作為該系統(tǒng)的廣義坐標就是一個明智的選擇，但這兩個坐標本身并不構成矢量（沒有任何矢量的模長平方會等于兩個角度的平方和）。另外一個典型的例子就是平面雙擺，選擇擺桿分別與豎直方向的夾角 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 作為廣義坐標對于解題則更有利。

總的來說，廣義坐標更多時候被用于不存在任何約束的系統(tǒng)，比如有心力場問題使用球坐標或者極坐標就比使用笛卡爾坐標更方便。值得注意的是：廣義坐標不單單指那些除了笛卡爾坐標之外的，類似球坐標或者柱坐標等，表示位置的坐標。廣義坐標是為了簡化問題而服務，所以其隨意性才是特點。比如為了方便，我完全可以選擇矢量 $\mathbf{r}_j$ 傅里葉展開的振幅作為廣義坐標；或者在某些情況下，一些具有與能量或者角動量相同量綱的物理量也可以作為廣義坐標。

因為在只含有完整約束的系統(tǒng)中，我們總是能夠消去非獨立變量，所以運動方程是比較容易求解的；但如果存在于系統(tǒng)中的都是非完整約束，約束方程則無法被用來消去相應的非獨立坐標。對于一些特殊類型的非完整約束，比如不可積微分約束，我們可將約束方程與運動方程聯(lián)立，利用拉格朗日乘數(shù)法(Lagrange multipliers)來求解。但更具一般性的非完整約束問題則沒有通用解法。

盡管日常生活中的大部分約束都屬于非完整約束，我們還是傾向于假設，當一個力學系統(tǒng)存在約束時，它們都是完整的。這個假設雖看起來嚴苛，但其實并不影響理論的應用。畢竟約束本就是一個宏觀概念，它只存在于大尺度。從微觀角度來看，系統(tǒng)的里里外外，都是由分子、原子以及更小的粒子組成，而存在于這些微粒之間的作用力都有明確定義，所以也就談不上任何“具有未知形式的”約束力?？偠灾?，所謂的約束，其實是一種對系統(tǒng)實際物理情況的理想化和數(shù)學公式化，或者可以被理解成一種對系統(tǒng)的量子力學性質的宏觀近似。