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哈密頓原理即可被用于完整約束的系統(tǒng)，又可被用于非完整約束的系統(tǒng)。一般情況下，當(dāng)我們考慮一個(gè)只含有完整約束的系統(tǒng)時(shí)，我們總是可以利用約束方程消去相應(yīng)若干個(gè)坐標(biāo)，保證最后剩下的坐標(biāo)都相互線性獨(dú)立。但是坐標(biāo)的虛位移不一定總是線性獨(dú)立的，這時(shí)就需要用新的方法將線性依賴的虛位移消去。這個(gè)方法被稱為拉格朗日待定乘數(shù)法(Lagrange undetermined multipliers)。

假設(shè)系統(tǒng)存在 $n$ 個(gè)變量， $m$ 個(gè)完整約束方程 $f_\alpha$ ，修正后的泛函為

$I = \int_1^2\left(\mathscr{L}+ \sum_{\alpha = 1}^m\lambda_{\alpha}f_{\alpha}\right)dt$

其中 $\lambda_{\alpha}$ 為待定變量。

如果待定量 $\lambda_{\alpha}$ 與坐標(biāo) $q_{\alpha}$ 都是獨(dú)立變量，分別考慮待定量和坐標(biāo)的變分，我們將得到 $n+m$ 個(gè)方程。

首先考慮待定量 $\lambda_{\alpha}$ 的變分，

$\delta I = I(q, \lambda + d\lambda) - I(q,\lambda)$

括號(hào)中的變量均為縮寫，比如

$q = q_1, q_2,...,q_n$

于是

$\delta I = \int_1^2\sum_{\beta = 1}^m\sum_{\alpha = 1}^mf_{\alpha}\frac{d\lambda_{\alpha}}{d\lambda_{\beta}}d\lambda_{\beta}\;dt = \int_1^2 \sum_{\alpha = 1}^mf_{\alpha}d\lambda_{\alpha}\;dt$

因?yàn)樘撟兎?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cmathbf%7B%5Cdelta%7D%20I%20%3D%200" alt="\mathbf{\delta} I = 0" mathimg="1">，所以

$f_{\alpha} = 0$

可見，計(jì)算待定量 $\lambda_{\alpha}$ 的變分，我們復(fù)原了這 $m$ 個(gè)約束方程。

接下來考慮坐標(biāo) $q_{\alpha}$ 則有

$\delta I = \int_1^2dt\left[ \sum_{i=1}^n\left( \fracu0z1t8os{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_i} + \sum_{\alpha = 1}^m\lambda_{\alpha}\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_i}\right)\delta q_i\right] = 0$

拉格朗日乘數(shù)法的意義就在于，我們通過求解 $\lambda_{\alpha}$ （找出一組特殊的組合系數(shù)），使得括號(hào)里的總系數(shù)為零——只挑選線性獨(dú)立的虛位移。

因?yàn)橐还灿?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=m" alt="m" mathimg="1">個(gè)約束，所以線性獨(dú)立的虛位移個(gè)數(shù)為 $n - m$ 。

所以我們將得到 $m$ 個(gè)形如下述的方程：

$\fracu0z1t8os{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_k}} - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_k} + \sum_{\alpha = 1}^m\lambda_{\alpha}\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_k} = 0$ ， $k = 1,2,...,n$

剩下 $n - m$ 方程則來自于坐標(biāo)的虛變分 $\mathbf{\delta} q_i$ 。

上述表達(dá)式可以寫成：

$\boxed{\fracu0z1t8os{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_k}} - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_k} = -\sum_{\alpha = 1}^m\lambda_{\alpha}\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial q_k} = Q_k}$

等式右側(cè)為我們熟悉的廣義力。該廣義力代表了在該系統(tǒng)中產(chǎn)生約束所需力的大?。s束力的大小）。這是從數(shù)學(xué)分析中直接得到的結(jié)論，約束力的方向則需借助物理分析來獲得。