歐拉-拉格朗日方程，Eular-Lagrange equation，其數(shù)學(xué)意義不用多去講了。在實(shí)際應(yīng)用中，它對(duì)在動(dòng)力學(xué)（特別是多體動(dòng)力學(xué)和有限元的理論基礎(chǔ)）分析中，得出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程（組）進(jìn)行分析有很大的價(jià)值。教科書(shū)和網(wǎng)絡(luò)上關(guān)于這個(gè)方程的推導(dǎo)步驟和解釋有很多，這里也寫一下自己對(duì)推導(dǎo)過(guò)程的溫習(xí)和理解。
極值的條件
先復(fù)習(xí)一下函數(shù)上的函數(shù)值處于極值的條件：
當(dāng)函數(shù)值相對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于零時(shí)，即當(dāng)自變量發(fā)生微小的變化（增加或減少）時(shí)，函數(shù)值仍不趨向發(fā)生改變，函數(shù)值處于極值，該點(diǎn)的自變量是產(chǎn)生函數(shù)極值的自變量。
函數(shù)的英文是function，經(jīng)常使用小寫。泛函的英文是Functional，經(jīng)常使用大寫。接下來(lái)極值條件延申到泛函集合中當(dāng)泛函值處于極值的條件：當(dāng)對(duì)其中一個(gè)函數(shù)施加一個(gè)微小的擾動(dòng)（變分）使函數(shù)發(fā)生微小的變化后，函數(shù)所映射的泛函值仍不趨向發(fā)生改變時(shí)，其所映射的泛函值處于極值，該函數(shù)是使泛函值處于極值的函數(shù)。聯(lián)想到函數(shù)極值下函數(shù)導(dǎo)數(shù)的條件，泛函值在處于極值時(shí)其對(duì)函數(shù)的擾動(dòng)量（變分）求導(dǎo)也等于零。即它是一個(gè)即使施加了小小的擾動(dòng)后也不趨于改變泛函值的函數(shù)。
泛函的積分表達(dá)式
泛函值的表達(dá)式是一個(gè)函數(shù)的起點(diǎn)和終點(diǎn)的積分表達(dá)式，每一個(gè)泛函積分值中的微元值由源函數(shù)所決定，包括函數(shù)的自變量值、函數(shù)值（因變量值）、以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)構(gòu)成。函數(shù)到泛函值的映射關(guān)系是比較靈活的，它不止取決于當(dāng)前的函數(shù)值，也取決于函數(shù)的自變量值和導(dǎo)數(shù)值，因此它的表達(dá)式為：
經(jīng)常拿來(lái)做例題的泛函值有兩個(gè)。一個(gè)泛函值是函數(shù)曲線從起點(diǎn)到終點(diǎn)的長(zhǎng)度，例題要去證明最短長(zhǎng)度的函數(shù)是兩點(diǎn)間的直線；另一個(gè)例題是一個(gè)小球沿著函數(shù)曲線從起點(diǎn)到終點(diǎn)落下所需的時(shí)間，例題要去證明耗時(shí)最短的函數(shù)是一條擺線（最速降線）。在第一個(gè)例子中，泛函微分值等于微小的“弧長(zhǎng)”單元；第二個(gè)例子中，泛函微分值等于微小的“時(shí)長(zhǎng)”單元（“弧長(zhǎng)”單元除以因勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能后所求得的瞬時(shí)速度）
泛函表達(dá)式在極值條件下的逐項(xiàng)推導(dǎo)
通過(guò)偏微分公式可以得出，泛函值對(duì)函數(shù)變分值的導(dǎo)數(shù)如下：
看這個(gè)部分：（泛函值對(duì)函數(shù)值的偏微分）乘以（變分） + （泛函值對(duì)函數(shù)值導(dǎo)數(shù)的偏微分）乘以（變分的導(dǎo)數(shù)）。一個(gè)乘子是變分，另一個(gè)乘子是變分的導(dǎo)數(shù)，需要通過(guò)方法將乘子統(tǒng)一，以便于進(jìn)行進(jìn)一步推導(dǎo)。
后者等于 （（泛函值對(duì)函數(shù)值導(dǎo)數(shù)的偏微分）乘以變分）在兩端點(diǎn)上的差值 減去（（泛函值對(duì)函數(shù)值導(dǎo)數(shù)的偏微分）的導(dǎo)數(shù) ）乘以 （變分）
因?yàn)閮蓚€(gè)端點(diǎn)是固定的，所以在兩個(gè)端點(diǎn)處的變分為0，因此泛函對(duì)變分的導(dǎo)數(shù)為零的條件變?yōu)槿缦滦问?/p>
變分是一個(gè)趨于零的無(wú)窮小量，因此需要的關(guān)系式變?yōu)?/p>
這便是歐拉-拉格朗日方程的表達(dá)式。也就是對(duì)函數(shù)使其泛函在處于極值下的要求。
公式能不能簡(jiǎn)單理解
感覺(jué)不太能。一開(kāi)始想嘗試好多思路去使用簡(jiǎn)單的比喻的方式，或者是直覺(jué)化的思路去理解這個(gè)公式，但想不太清楚。“兩點(diǎn)之間直線最短”這種簡(jiǎn)單直覺(jué)所能理解的結(jié)論，直覺(jué)上好像不用去證明了，如果需要證明才能想清楚，那就不是直覺(jué)了。比如就嘗試兩點(diǎn)之間直線最短這個(gè)例子，想象起點(diǎn)是繩子的一端被釘子固定住，終點(diǎn)是一個(gè)位置固定的滑輪，當(dāng)滑輪朝一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，繩子被“收緊”，繩子一部分的長(zhǎng)度從AB兩點(diǎn)之間收回終點(diǎn)的滑輪里，就像卷尺一樣。朝另一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，繩子被“松弛”，藏在滑輪里的繩子被推出來(lái)。那么泛函是兩點(diǎn)之間的繩子的長(zhǎng)度，函數(shù)是繩子的形狀。假設(shè)滑輪里有一個(gè)彈簧，就像卷尺一樣，它趨向于減少繩子外露的長(zhǎng)度。函數(shù)的變分，就好比我們用手去撥這個(gè)繩子讓它產(chǎn)生形狀的變化。泛函的變分，就是繩子形狀變化的同時(shí)，繩子退回滑輪/伸出滑輪的長(zhǎng)度。函數(shù)曲線的極值，就在繩子被拉直的時(shí)候，因?yàn)樵谀莻€(gè)時(shí)候去用手撥動(dòng)繩子，就像琴弦一樣，滑輪里繩子長(zhǎng)度的變化趨向于不變。但是再往下就不好比喻了，因?yàn)檫@個(gè)比方里多了假設(shè)：繩子受到滑輪彈簧的力。目前還是沒(méi)想到能直觀理解拉格朗日方程的方法。
不過(guò)物理角度就容易一些，在最常見(jiàn)的保守系統(tǒng)中，物體的慣性力（質(zhì)量乘以加速度）減去因勢(shì)能差變化所產(chǎn)生的力等于零。
從數(shù)學(xué)到物理
為什么在保守體系的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)微分方程中，拉格朗日量，也就是泛函值等于T-V
我這樣理解：在保守體系中，物體在每一個(gè)時(shí)刻不是在增加動(dòng)能減少勢(shì)能的路上，就是在增加勢(shì)能減少動(dòng)能的路上。從而這個(gè)時(shí)間上微分值定義為動(dòng)勢(shì)能之差。因?yàn)閯?dòng)能和勢(shì)能之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，使得從起始時(shí)刻到最終時(shí)刻的泛函（作用量）處于最小值。
最后通過(guò)歐拉-拉格朗日公式可以得出運(yùn)動(dòng)微分方程的基本步驟：
1、獲取系統(tǒng)總動(dòng)能+總勢(shì)能的表達(dá)式，得到拉格朗日量L=T-V的表達(dá)式；
2、將拉格朗日量通過(guò)歐拉-拉格朗日方程進(jìn)行展開(kāi)（對(duì)速度、加速度、位置求導(dǎo)），得出基于力、速度、加速度、位置的運(yùn)動(dòng)微分方程（組）；
3、如需分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對(duì)微分方程組進(jìn)行轉(zhuǎn)化可得到一個(gè)y'=Ay的特征矩陣乘以向量的方程。此時(shí)通過(guò)求解 Det(A)可得出特征矩陣的特征值lambda （當(dāng)lambda<0時(shí)，系統(tǒng)趨于漸進(jìn)穩(wěn)定，當(dāng)lambda>0時(shí)，系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定。當(dāng)lambda中包括虛數(shù)部分時(shí)，系統(tǒng)在趨于穩(wěn)定/穩(wěn)定的總的趨勢(shì)下存在震蕩。一個(gè)系統(tǒng)會(huì)求解出不止一個(gè)特征值，每個(gè)特征值都會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)特征向量，通過(guò)特征值分析穩(wěn)定性，并且通過(guò)特征向量得出穩(wěn)定/不穩(wěn)定的趨勢(shì)方向）
關(guān)于歐拉-拉格朗日方程的推導(dǎo)和理解就先到這里。
