分析力學(xué)基本原理介紹4.3：歐拉-拉格朗日方程

我們用最簡單的一維問題引入了變分原理，并推導(dǎo)出了與之對應(yīng)的“一維拉格朗日方程”。但是對于絕大部分物理問題，函數(shù)f所含的獨立變量通常不止一個，所以更多時候我們不得不在更高的維度下分析問題。但因為已經(jīng)有了一維作為參考，“一維拉格朗日方程”到任意有限維度的推廣就變得很自然了。

考慮泛函

J(\alpha) = \int_{1}^{2}f(y_1(x,\alpha), y_2(x,\alpha),...,\dot{y_1}(x,\alpha), \dot{y_2}(x,\alpha),...,x)\;dx

其中所有的定義都與一維情況相同，只不過現(xiàn)在增加了一些獨立變量。

根據(jù)變分原理，

\delta J = \delta\int_1^2f(y_1(x,\alpha), y_2(x,\alpha),...,\dot{y_1}(x,\alpha), \dot{y_2}(x,\alpha),...,x)\;dx

等式右邊與之前一樣，是虛變分。

于是有，

\delta J = \int_1^2\frac{\partial }{\partial \alpha}f(y_1(x,\alpha), y_2(x,\alpha),...,\dot{y_1}(x,\alpha), \dot{y_2}(x,\alpha),...,x)\;d\alpha\;dx

進(jìn)一步求導(dǎo)得到

\delta J = \int_1^2 \sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial y_i}\frac{\partial y_i}{\partial \alpha} + \frac{\partial f}{\partial \dot{y_i}}\frac{\partial \dot{y_i}}{\partial \alpha}\right)d\alpha\;dx

同樣地，將第二項寫成

\sum_i\frac{\partial f}{\partial \dot{y_i}}\frac{\partial \dot{y_i}}{\partial \alpha} = \sum_i\frac{\partial f}{\partial \dot{y_i}}\frac{\partial^2 y_i}{\partial x\partial \alpha}

使用分部積分法可以得到

\int_1^2\sum_i\frac{\partial f}{\partial \dot{y_i}}\frac{\partial^2 y_i}{\partial x\partial \alpha} \;dx= \sum_i\left.\frac{\partial f}{\partial \dot{y_i}}\frac{\partial y_i}{\partial \alpha}\right|_1^2 - \int_1^2 \sum_i\frac{\partial y_i}{\partial \alpha}\left(\fracu0z1t8os{dx}\frac{\partial f}{\partial \dot{y_i}}\right)dx

第一項一如既往地消失，于是

\delta J = \int_1^2\sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial y_i} - \fracu0z1t8os{dx}\frac{\partial f}{\partial \dot{y_i}}\right)\delta y_i\;dx

其中利用了定義

\delta y_i = \left(\frac{\partial y_i}{\partial \alpha}\right)_0d\alpha

根據(jù)變分法基本引理，我們得到了泛函J的虛變分為零的條件：

\boxed{\frac{\partial f}{\partial y_i} - \fracu0z1t8os{dx}\frac{\partial f}{\partial \dot{y_i}} = 0} ，i = 1,2,...,n

這是“一維拉格朗日方程”的有限高維推廣，它被叫做歐拉-拉格朗日微分方程(Euler-Lagrange differential equation)。其重要性不言而喻。

現(xiàn)在，根據(jù)哈密頓原理，泛函具有形式

I = \int_1^2 L(q_i,\dot{q_i},t)dt

歐拉-拉格朗日方程則變成了

\boxed{\fracu0z1t8os{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_i} = 0}，i = 1,2,...,n

與從達(dá)朗伯原理推導(dǎo)出的結(jié)果一致。

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