2.2理想的運(yùn)算，環(huán)的直和

  1. 證明：在域 F 上的一元多項(xiàng)式環(huán) F[x] 中，
    問(wèn)題一： (f(x))(g(x)) = (f(x)g(x))， 【證明】我們只需要證明集合兩端相互包含即可。

問(wèn)題二，三：(f(x)) \cap (g(x)) = ([f(x), g(x)]) (f(x)) + (g(x)) = ((f(x), g(x))), 【這兩條也是通過(guò)雙包含關(guān)系證明】
問(wèn)題四：(f(x)) 與 (g(x)) 互素 \Leftrightarrow f(x) 與 g(x) 互素, 【證明】由于 (f(x)) 與 (g(x)) 互素 \Leftrightarrow (f(x)) + (g(x)) = ((f(x), g(x)))=(1) = F[x],所以存在u(x)和v(x)\in F[x]使得u(x)f(x) + v(x)g(x)=1于是f(x)和g(x)互素。
問(wèn)題五：f(x) 與 g(x) 互素 \Rightarrow (f(x))(g(x)) = (f(x)) \cap (g(x)).【證明】f(x)和g(x)互素\Longleftrightarrow \ (f(x))和(g(x))互素。\Longrightarrow (f(x))(g(x))\ (f(x))\cap (g(x))

  1. 設(shè) I 是交換環(huán) R 的一個(gè)理想，令\text{rad } I := \{ r \in R \mid r^n \in I, \text{ 對(duì)某一正整數(shù) } n \}, 稱 \text{rad } I 是理想 I 的根。證明：\text{rad } I 是 R 的一個(gè)理想。
    【解答】
    ①首先證明對(duì)于任意的r_1,r_2\in \text{rad }I我們知道r_1^n,r_2^n\in I所以(r_1 -r_2)^{n_1+n_2}用二項(xiàng)式定理展開之后發(fā)現(xiàn)他也屬于I于是(r_1 -r_2) \in \text{rad } I
    ②對(duì)于任意的a \in G,r \in \text{rad }I 我們考慮(ar)^n = a^nr^n \in a^nI \subset I
    從而\text{rad }I是R的一個(gè)理想。

  1. 如果環(huán) R 中的元素 a 有一個(gè)正整數(shù) n，使得 a^n = 0，那么稱 a 是冪零元。證明，如果 a 是有單位元的環(huán) R 中的一個(gè)冪零元，那么 1 - a 可逆。
    【解答】類似等比數(shù)列的性質(zhì)，我們知道(1 + a +a^2 +a^3 +\cdots +a^{n-1})(1 -a) = 1-a^n=1
    所以1-a可逆

  2. 證明：在交換環(huán) R 中, 所有冪零元組成的集合是 R 的一個(gè)理想, 它是零理想 (0) 的根, 稱為 R 的冪零根。

【證明】我們已經(jīng)知道I = \{0\}是R的一個(gè)平凡理想。根據(jù)第2題的證明\text{rad }I也是一個(gè)理想 。

  1. 設(shè) I_1, I_2, \cdots, I_s 都是環(huán) R 的理想, 并且
    R = I_1 + I_2 + \cdots + I_s, I_i \cap \left( \sum_{j \neq i} I_j \right) = (0), \quad i = 1, 2, \cdots,
    證明：(1) 環(huán) R 的每個(gè)元素 x 都可以唯一表示成
    x = x_1 + x_2 + \cdots + x_s, \quad x_i \in I_i, i = 1, 2, \cdots, s
    【證明】證明唯一性我們一般采取 反證法，假設(shè)x有兩種分解方式
    也就是x = x_1 + x_2 + \cdots + x_s=y_1 +y_2+\cdots +y_s
    因此得到(x_1 -y_1) =(y_2-x_2) +\cdots +(y_s -x_s) \in I_1 \cap\left( \sum_{j \neq 1} I_j \right) = (0),

所以x_1 = y_1，不失一般性可以推出x_i = y_i所以x的分解形式是唯一的。

(2) 有環(huán)同構(gòu)
R \cong I_1 \oplus I_2 \oplus \cdots \oplus I_s,
此時(shí)稱 R 是它的理想 I_1, I_2, \cdots, I_s 的內(nèi)直和。
【解答】根據(jù)(1)中證明的分解形式的唯一性，我們來(lái)構(gòu)造同構(gòu)映射即可。

  1. 設(shè) R 是一個(gè)有單位元的環(huán), 它的理想 I_1, I_2, \cdots, I_s 兩兩互素, 并且
    I_1 \cap I_2 \cap \cdots \cap I_s = (0). 證明：有環(huán)同構(gòu)
    R \cong R/I_1 \oplus R/I_2 \oplus \cdots \oplus R/I_s.
    image.png

【解答】我們可以直接根據(jù)上述的定理得到答案，如果說(shuō)需要詳細(xì)寫步驟，那我首先構(gòu)造同態(tài)映射\sigma: R \to R/I_1 \oplus R/I_2 \oplus \cdots \oplus R/I_s
使得\sigma(r) = (r+I_1,r+I_2,\cdots,r+I_s)只需要驗(yàn)證①這是一個(gè)同態(tài)映射。②它的同態(tài)核Ker \sigma = \{0\}，那么命題就可以得到證明。

下面幾個(gè)題目考察的是中國(guó)剩余定理，也叫做孫子定理。
中國(guó)剩余定理
  1. 韓信點(diǎn)兵問(wèn)題：“有一隊(duì)士兵, 三三三數(shù)余二, 五五數(shù)余一, 七七數(shù)余四, 這隊(duì)士兵有多少人?”
  2. 在 \mathbb{Z}_{51} 中, 求 \overline{1} 的全部平方根。
  3. 在 \mathbb{Z}_{555} 中, 求 \overline{4} 的全部平方根。
  4. 在 \mathbb{Z}_{85} 中, \overline{2} 的平方根存在嗎？
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