- 在
中，設(shè)
(1) 求 
；
【解答】
根據(jù)上面這個(gè)例子我們可以發(fā)現(xiàn)不是一個(gè)交換群。
【注意】即使上面兩個(gè)例子算出的結(jié)果相同，我們也不能說(shuō)，是一個(gè)交換群。因?yàn)榻粨Q群要任意兩個(gè)元素都交換才可以。
(2) 分別寫(xiě)出 
的輪換分解式；
【注釋】：輪換分解式就是要把它分解成不相交的輪換的乘積。
)
%20(2%20%5C%205))
(3) 求 
；
)
%20(1%20%5C%204))
(4) 分別寫(xiě)出 的一種對(duì)換分解式；
(1%20%5C%204%20)(1%20%5C%205)(1%20%5C%203%20))
(1%20%5C%204)(2%20%5C%205))
(5) 說(shuō)出 是偶置換，還是奇置換。
【解答】
是偶置換，
是奇置換，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Csigma" alt="\sigma" mathimg="1">分解成了偶數(shù)個(gè)對(duì)換的乘積，但是分解成了奇數(shù)個(gè)。
【注釋】由此可見(jiàn)上的單位元：也就恒等變換，是屬于偶置換的，進(jìn)一步我們可以知道，上所有的偶置換可以構(gòu)成一個(gè)群，但是奇置換不行，一方面是因?yàn)槠嬷脫Q不包含單位元，另一方面是它不具有封閉性。兩個(gè)奇置換的乘積變成了偶置換。
- 在
中，設(shè) )
，證明：對(duì)于任意 
，有
%20%5Cquad%20%5Ctau(i_2)%20%5Cquad%20%5Ccdots%20%5Cquad%20%5Ctau(i_r)).)
【證明】：我們知道，根據(jù)輪換表達(dá)式：在
的時(shí)候我們有%20%3D%20i_%7Bk%2B1%7D)
,而%20%3D%20i_1)
.
情況①對(duì)于%20%5Cin%20%5C%7Bi_1%20%2Ci_2%2C%20%5Ccdots%2C%20i_r%5C%7D)
.
我們有(%5Ctau%20(i_k))%20%3D%20%5Ctau%20%5Csigma(i_k)%20%3D%20%5Ctau(i_%7Bk%2B1%7D))
[當(dāng)然我們需要額外地說(shuō)明
的情況，這也是非常顯然的。]
情況②對(duì)于%5E%7B-1%7D%20%5Cnotin%20%5C%7Bi_1%20%2Ci_2%2C%20%5Ccdots%2C%20i_r%5C%7D)
. 作用在他們上面不起作用。因此%20%3D%20a)
不變。
綜上就證明了我們的命題成立
-
-輪換是偶置換還是奇置換，與 的奇偶性有什么關(guān)系？
【解答】我們知道-輪換的長(zhǎng)度為
時(shí)，就可以拆分成
個(gè)對(duì)換，因本次讓- 輪換長(zhǎng)度為偶數(shù)，他是奇置換，如果-輪換長(zhǎng)度為奇數(shù)，它是偶置換。
分別寫(xiě)出 
的所有元素(用輪換分解式表示)。
【解答】
中有六個(gè)元素。 
中有 
個(gè)元素
因此
中有三個(gè)元素，，
中有
個(gè)元素。
-
證明：(1) %2C%20(23)%2C%20%5Cldots%2C%20(n-1%2Cn)%20%5Crangle)
；
【證明】第一步：我們知道，中所有的元素都可以寫(xiě)成對(duì)換的乘積。因此我們只需要證明所有的對(duì)換都在%2C%20(23)%2C%20%5Cldots%2C%20(n-1%2Cn)%20%5Crangle)
中即可。
顯然對(duì)于任意的對(duì)換)
y他都可以寫(xiě)成(k%2B1%2Ck%2B2)%5Ccdots%20(k%2Br-1%2Ck%2Br))
命題得證。
(2) %2C%20(12%5Ccdots%20n)%20%5Crangle)
。
【證明】：利用第二題的結(jié)論。我們可以知道
%20%3D%20(12%5Ccdots%20n)%20(1%202)%20(12%5Ccdots%20n)%5E%7B-1%7D)
以此類推，我們就可以得到%2C%20(4%20%5C%205)%20%5Ccdots%20(n-1%2Cn))
再根據(jù)第一問(wèn)的結(jié)論。
命題得證。
證明：當(dāng) 
時(shí)，%2C%20(124)%2C%20%5Cldots%2C%20(12n)%20%5Crangle)
。
證明：顯然我們只需要證明，任何一個(gè)三輪換都可以由題目給出的形式表示即可。
對(duì)于任意的一個(gè)三輪換)
[(2j)^{-1}(1i)^{-1}]=[(12i)(12j)](12k)[(12i)(12j)]^{-1}](https://math.jianshu.com/math?formula=(ijk)%20%3D%20%5B(1%20i)(2%20j)%5D(12k)%5B(2j)%5E%7B-1%7D(1i)%5E%7B-1%7D%5D%3D%5B(12i)(12j)%5D(12k)%5B(12i)(12j)%5D%5E%7B-1%7D)
都可以由題目給出的元素生成。
命題得證。
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