你正在圖書館枯坐，一位陌生美女主動過來和你搭訕，并要求和你一起玩?zhèn)€數(shù)學(xué)游戲。美女提議：“讓我們各自亮出硬幣的一面，或正或反。如果我們都是正面，那么我給你3元，如果我們都是反面，我給你1元，剩下的情況你給我2元就可以了。”那么該不該和這位姑娘玩這個游戲呢？
每一種游戲依具其規(guī)則的不同會存在兩種納什均衡，一種是純策略納什均衡，也就是說玩家都能夠采取固定的策略(比如一直出正面或者一直出反面)，使得每人都賺得最多或虧得最少；或者是混合策略納什均衡，而在這個游戲中，便應(yīng)該采用混合策略納什均衡。
假設(shè)我們出正面的概率是x，反面的概率是1-x，美女出正面的概率是y，反面的概率是1-y。為了使利益最大化，應(yīng)該在對手出正面或反面的時候我們的收益都相等，由此列出方程就是
3x + (-2)(1-x) = (-2) * x + 1*( 1-x )——解方程得x=3/8；
同樣，美女的收益，列方程-3y + 2( 1-y) = 2y+ (-1) * ( 1-y)——解得y也等于3/8。
于是，我們就可以算美女每次的期望收益是：(1-y)(2x-(1-x)) + y(-3x+2(1-x)) = 1/8元，也就是說，雙方都采取最優(yōu)策略的情況下，平均每次美女贏1/8元。
計算解釋：
1.(1-y)(2x-(1-x)) 代表著：美女出反面時，獲得的收益 = 你出正面*美女的損益 + 你出反面*美女的損益
2.y(-3x+2(1-x)) 代表著：美女出正面時，獲得的收益 = 你出正面*美女的損益 + 你出反面*美女的損益
其實只要美女采取了(3/8,5/8)這個方案，不論你再采用什么方案，都是不能改變局面的。
如果你全部出正面，你每次的期望收益是 (3+3+3-2-2-2-2-2)/8=-1/8元；
如果你全部出反面，你每次的期望收益也是(-2-2-2+1+1+1+1+1)/8=-1/8元。
如果你用完全隨機? (1/2, 1/2)? 策略，你的收益是 1/2 * (3/8 * 3 + 5/8 * (-2)) + 1/2 * (3/8 * (-2) + 5/8 * 1) = -1/8；
計算解釋：
1.1/2 * (3/8 * 3 + 5/8 * (-2)) 代表著：當(dāng)你有1/2的概率出正面的時候，你的收益為：美女出正面的概率*你的損益 + 美女出反面的概率*你的損益
2.1/2 * (3/8 * (-2) + 5/8 * 1) 代表著：當(dāng)你有1/2的概率出反面的時候，你的收益為：美女出正面的概率*你的損益 + 美女出反面的概率*你的損益
實際上，不論你用什么策略，你的收益都是 -1/8，也就是說，隨便玩一種策略，你都是在納什均衡狀態(tài)中的，所以，這個把戲你隨便怎么玩，都是虧的。
這個例子中是沒有純戰(zhàn)略納什均衡的，因為只出一種策略，肯定有一方要虧錢，所以并不是其均衡狀態(tài)（明明只要換一邊就可以賺錢了，所以不是最佳策略）；而混合納什均衡是純在的，事實上，Nash告訴我們“每個參與者都只有有限種策略選擇、并允許混合策略的前提下，納什均衡一定存在”，如果美女出(3/8,5/8)這個方案，另一邊任何玩法都是期望收益一樣的，也就滿足了納什均衡的條件。
