今夜，當(dāng)我們仰望夜空，遙望那浩瀚的星河，我們不禁要問(wèn)：宇宙到底有多大？宇宙的邊緣到底在哪里？我們的心底出現(xiàn)兩個(gè)字——“無(wú)窮”！

在遙遠(yuǎn)的古代，人類的先行者，也像我們今晚一樣，仰望夜空，對(duì)“無(wú)窮”的宇宙充滿了敬畏，陷入了深深的思考。

當(dāng)我們?nèi)祟惖南刃姓呙鎸?duì)大自然不可抗的強(qiáng)大力量時(shí)，一切歸都于“神”的懲罰或恩賜。

直到被譽(yù)為“科學(xué)之祖”的泰勒斯出現(xiàn)，人類第一次用“科學(xué)”替代了“神學(xué)”，從此，人類文明走向了正確的光明大道。

泰勒斯在那夜，仰望夜空，發(fā)出了靈魂之問(wèn)：“世界的本源是什么？”

他的學(xué)生畢達(dá)哥拉斯回答：“萬(wàn)物皆數(shù)（指整數(shù)）”。他所創(chuàng)立的“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”在他的那個(gè)時(shí)代，將人類文明推向了一個(gè)新的高度。

畢達(dá)哥拉斯帶著門(mén)徒們?cè)谏碁┥嫌檬优懦龈鞣N各樣的數(shù)列，并且認(rèn)為構(gòu)成自然數(shù)列的相鄰整數(shù)是“連續(xù)的”和“無(wú)窮的”，世界由整數(shù)或整數(shù)的比構(gòu)成。

但是，當(dāng)畢達(dá)哥拉斯將“萬(wàn)物皆數(shù)（指整數(shù)）”作為學(xué)派至高無(wú)上且不容違抗的信條時(shí)，從“神”的極端走向了另一個(gè)極端——“數(shù)”。

當(dāng)學(xué)派的門(mén)徒希帕索斯意外發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)“根號(hào)2”，并公諸于眾之后，被以違反學(xué)派信條的罪名，被殘忍地拋入了大海。

隨著“根號(hào)2”的發(fā)現(xiàn)，如同一顆巨石投入了平靜的湖面，一石激起千層浪，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)爆發(fā)了。

人們第一次發(fā)現(xiàn)，自然數(shù)列是“離散的”而不是“連續(xù)的”，兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間，還存在著其它的數(shù)。

那么原本人們認(rèn)為的“萬(wàn)物皆數(shù)（指整數(shù)）”所對(duì)應(yīng)的世界本原，到底是“離散的”還是“連續(xù)的”呢？

數(shù)十年之后，芝諾提出了著名的“芝諾悖論”——“飛矢不動(dòng)”悖論。

“飛矢不動(dòng)悖論”是這樣的：

設(shè)想一支飛行的箭，在任何給定的瞬間，飛箭都會(huì)占據(jù)一個(gè)與它自身等長(zhǎng)的空間。

在這個(gè)瞬間，它是靜止的（因?yàn)樗鼪](méi)有時(shí)間移動(dòng)到另一個(gè)位置）。

既然運(yùn)動(dòng)路徑上的每一個(gè)“瞬間”箭都是靜止的，那么整個(gè)飛行過(guò)程中，箭也始終是靜止的。因此，運(yùn)動(dòng)是不可能的。

這是第一次關(guān)于“極小”與“無(wú)窮小”的樸素的認(rèn)識(shí)，此時(shí)，二者并沒(méi)有被嚴(yán)格的區(qū)分開(kāi)來(lái)。

同時(shí)也是第一次關(guān)于“時(shí)間”、“空間”到底是“離散”的還是“連續(xù)”的最早的追問(wèn)。

在此前后很長(zhǎng)的一段時(shí)間里，人們對(duì)“無(wú)窮”的認(rèn)識(shí)一直存在著激烈的對(duì)立與討論。

最早的系統(tǒng)性的討論“無(wú)窮問(wèn)題”始于亞里士多德，而實(shí)際應(yīng)用則可追溯到德謨克利特和阿基米德。

亞里士多德在《物理學(xué)》中明確區(qū)分了“潛無(wú)窮”和“實(shí)無(wú)窮”。

他認(rèn)為“潛無(wú)窮”是存在的，例如將一條線段不斷地一分為二，它是一個(gè)永遠(yuǎn)在進(jìn)行的、未完成的狀態(tài)。

但是他堅(jiān)決否認(rèn)“實(shí)無(wú)窮”的存在。比如宇宙在人類看來(lái)是“無(wú)窮的”，但是如果站在上帝的視角，宇宙也是有限的，所以他認(rèn)為“實(shí)無(wú)存”是不存在的。

亞里士多德的“潛無(wú)窮”觀念統(tǒng)治了西方數(shù)學(xué)界近兩千年。

在這漫長(zhǎng)的近兩千年里，“無(wú)窮”只是做為一種觀念存在，并不參與“數(shù)學(xué)運(yùn)算”。

直覺(jué)主義流派代表人物布勞威爾反對(duì)“實(shí)無(wú)窮”，認(rèn)為無(wú)窮是潛在的可能性，并反對(duì)在無(wú)窮集合中使用排中律。

持此“實(shí)無(wú)窮”觀點(diǎn)的最早的代表是柏拉圖。

直到時(shí)間來(lái)到17世紀(jì)晚期，萊布尼茨與牛頓分別發(fā)明了“微積分”，將“無(wú)窮小”作為最基本的量進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算。

一直被人們所忌憚的“無(wú)窮”概念大模大樣的走進(jìn)了數(shù)學(xué)殿堂。

在微積分出現(xiàn)之后，在很長(zhǎng)一段時(shí)間依然沒(méi)有嚴(yán)格區(qū)分開(kāi)“極小”與“無(wú)窮小”的概念：對(duì)于“無(wú)窮小量”是不是“0”的問(wèn)題一直模糊不清。

萊布尼茨、歐拉等人將“無(wú)窮小量”視為一個(gè)非常非常小、但又不是零的固定量。

在計(jì)算導(dǎo)數(shù)時(shí)，他們可以隨意讓無(wú)窮小量做分母，然后在最后一步又宣稱它“等于零”而被舍棄。

這在邏輯上是矛盾的，飽受貝克萊主教等人詬病，稱之為“逝去量的鬼魂”。

高斯在哲學(xué)上反對(duì)“實(shí)無(wú)窮”，他更傾向于“潛無(wú)窮”。

他認(rèn)為無(wú)窮是一個(gè)威力強(qiáng)大但危險(xiǎn)的工具，因此，他會(huì)避免直接對(duì)“無(wú)窮”進(jìn)行運(yùn)算。

并且公開(kāi)并強(qiáng)烈反對(duì)濫用“無(wú)窮級(jí)數(shù)”。他批評(píng)那些對(duì)“發(fā)散級(jí)數(shù)”的隨意操作，是“數(shù)學(xué)中魔鬼的發(fā)明”。

這時(shí)，柯西也反對(duì)將“無(wú)窮”作為一種可以直接進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算的、既“非零”又非“非零”的“形而上學(xué)實(shí)體”。他通過(guò)構(gòu)建以“極限”為核心的理論體系，將其重新定義為一種描述“變量變化”趨勢(shì)的“動(dòng)態(tài)過(guò)程”。

通過(guò)以柯西為主的數(shù)學(xué)家們的努力，如野馬一樣奔馳在數(shù)學(xué)草原上的“無(wú)窮小量”被徹底馴服，將“微積分”的底層邏輯進(jìn)行“嚴(yán)格化”，成長(zhǎng)為今天的“數(shù)學(xué)分析”。

“無(wú)窮小量”通過(guò)用“極限”的概念嚴(yán)格化，也間接地回答了遙遠(yuǎn)的“芝諾悖論”中的“飛矢不動(dòng)”悖論。

至此，在數(shù)學(xué)里，無(wú)窮個(gè)“無(wú)窮小量”構(gòu)成了“連續(xù)的”整體。

但是與之對(duì)應(yīng)的現(xiàn)實(shí)世界，是否也是如此呢？

在今天，隨著量子力學(xué)的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)，從宏觀來(lái)看，世界是“連續(xù)的”，但是從微觀來(lái)看，卻是“離散的”。