? ? ? 三角形是什么？是只有三條邊的封閉圖形，這些小學(xué)一年級(jí)我們就知道了。那兩三角形全等是什么？?jī)扇切稳染褪莾蓚€(gè)三角形三個(gè)邊三個(gè)角都相等，只要兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的三條邊三條角便一定相等，這是三角形全等的性質(zhì)。那么，假如有兩個(gè)三角形，你能夠通過什么方法來(lái)判斷這兩個(gè)三角形全等呢？首先，可以用全等三角形的定義來(lái)判斷兩個(gè)三角形全等，剛才我們說(shuō)過，兩個(gè)全等三角形的三個(gè)邊三個(gè)角都相等，那么反過來(lái)，如果兩個(gè)三角形三個(gè)邊三個(gè)角相等，那么這兩個(gè)三角形不就是全等三角形嗎？

? ? ? 由此，我們得到了第一種判定三角形全等的方法：三角形三條邊，三個(gè)角相等，則兩三角形相等，符號(hào)語(yǔ)言如上圖：

? ? ? 然而就如同上圖的證明過程一樣，用三條邊三個(gè)角相等的來(lái)判斷三角形全等，似乎太過于復(fù)雜了，就連過程也要寫那么多。那么，到底有沒有更加簡(jiǎn)便的方法來(lái)證明兩三角形全等呢？我們不知道，但是我們可以一一探索。如何探索呢？在不知道具體要多少種條件才能判斷三角形全等時(shí)，為了追求數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性，一般來(lái)說(shuō)會(huì)從最少的條件慢慢往上加，直到條件加到足以證明猜想時(shí)才會(huì)停止，探索多少種條件能夠證明三角形全等也不例外，當(dāng)然，不管條件或多或少，都必須屬于三角形要素角或邊。

? ? ? 根據(jù)條件從少到多，每一個(gè)條件都要屬于三角形要素的原則，我們可以列出如下幾種可能性：

? ? ? 1:兩三角形一條邊相等，則兩三角形全等。

? ? ? 2:兩三角形一個(gè)角相等，則兩三角形全等。

? ? ? 3:兩三角形兩條邊相等，則兩三角形全等。

? ? ? 4:兩三角形兩個(gè)角相等，則兩個(gè)三角形全等。

? ? ? 5:兩三角形一角一邊相等，則兩三角形全等。

? ? 6:兩三角形三個(gè)角相等，則兩三角形全等。

? ? ? 7:兩三角形三條邊相等，則兩三角形全等。

? ? ? 8:兩三角形兩角和兩角的夾邊相等，則兩三角形全等。

? ? ? 9:兩三角形兩角和一角的對(duì)邊相等，則兩三角形全等。

? ? 10:兩三角形兩邊和兩邊的夾角相等，則兩三角形全等。

? ? 11:兩三角形兩邊和一邊的對(duì)角相等，則兩三角形全等。（這些可能直接放在PPT上）

? ? …

? ? 此外，還有許多種可能性，但就讓我們先證明一下以上11種可能能夠判定三角形全等的條件吧：

? ? 經(jīng)過實(shí)際操作，一個(gè)條件判定三角形全等的可能和兩個(gè)條件判定三角形全等的可能都被舉反例證偽了，具體過程可以自行嘗試，為了節(jié)省時(shí)間沒有放出來(lái)，讓我們將目光轉(zhuǎn)向三個(gè)條件判定三角形全等的可能吧：

? ? 第一種可能，兩三角形三個(gè)角相等，兩三角形全等，可以舉出反例：以上的三角形ABC和三角形A ‘ B ’ C ‘，三個(gè)角分別相等，但是兩個(gè)三角形的三個(gè)邊都不相等。也就證明了第一條猜想是錯(cuò)誤的。但是兩個(gè)三角形的所有角都相等，雖然這兩個(gè)三角形未必全等，卻還是具有一定的特殊性，我們管這種特殊的三角形叫做相似三角形。

? ? 第二種可能，兩三角形三條邊相等，兩三角形全等，如圖的三角形AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'，而這兩個(gè)三角形剛好全等，這到底是一個(gè)巧合，還是一個(gè)新的判定三角形全等的方法呢？那就讓我們?cè)谒腥切沃卸荚囈辉嚢桑謩e畫兩個(gè)三邊相等的銳角三角形，三邊相等的直角三角形，和三邊相等的鈍角三角形，看看這兩個(gè)三角形是否都全等，答案是，他們真的都全等！看樣子我們發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)更加簡(jiǎn)便的判定三角形全等的方法：兩三角形三條邊相等，則兩三角形全等，簡(jiǎn)寫語(yǔ)言可以用（邊邊邊）或（SSS），不過只是畫出了幾個(gè)三邊相等的三角形，而這幾個(gè)三角形全等，難道不可能是一種機(jī)緣巧合嗎？也有可能??？我們似乎不能證明，如果兩個(gè)三角形的邊邊邊相等，那么這兩個(gè)三角形全等，這可怎么辦？沒辦法，只能將我們新發(fā)現(xiàn)的判定三角形全等的方法標(biāo)為不證自明的公理，不需要證明，為了增強(qiáng)可信性，我們又進(jìn)行了多組幾何變換實(shí)驗(yàn)，最終確定了這條新公理。符號(hào)語(yǔ)言如下圖

? ? 第三種可能：兩三角形的兩個(gè)角以及兩個(gè)角的夾邊相等，則兩個(gè)三角形全等，根據(jù)上圖，我們又發(fā)現(xiàn)符合這一點(diǎn)的隨機(jī)兩個(gè)三角形全等，難道這又是一條新的定理或者公理？趕緊將兩個(gè)角以及兩個(gè)角的夾邊相等的兩個(gè)銳角三角形，兩個(gè)直角三角形，兩個(gè)鈍角三角形都畫出來(lái)，果然這些三角形都全等，我們又發(fā)現(xiàn)了一條判定兩個(gè)三角形全等的方法了，和（SSS）一樣，兩個(gè)角以及兩個(gè)角的夾邊相等，兩三角形全等，同樣不能被推理證明，屬于公理，簡(jiǎn)寫語(yǔ)言可以是（角邊角）或（ASA），符號(hào)語(yǔ)言如下。

? ? 第四種可能：同樣是兩個(gè)角以及一條邊相等，但是第四種可能是兩個(gè)角以及一個(gè)角的對(duì)邊相等，在這種情況下兩三角形還全等嗎？相等，其實(shí)兩個(gè)角以及一角對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等根本就不需要畫圖證明，而可以直接證明：

? ? 因?yàn)椋航荂=角C'，角B=角B'

? ? 所以：角A=角A‘=180度-角C-角B

? ? 因?yàn)椋涸谌切蜛BC和A’B'C'中，角A=角A'，角B=角B'，A B等于A ‘B ’

? ? 所以：三角形ABC全等與A'B'C'（ASA）

? ? 利用兩三角形的兩角及兩角的夾邊相等公理，我們能夠推導(dǎo)出兩角及一角的對(duì)邊相等，因?yàn)槟軌蛴脟?yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评碜C明證明出這一點(diǎn)，所以兩三角形兩角和一角的的對(duì)邊相等，則兩三角形全等是一個(gè)公理，簡(jiǎn)寫語(yǔ)言可以是（角角邊）或（AAS）。符號(hào)語(yǔ)言如下

? ? 第五種可能：兩三角形兩邊及兩邊的夾角相等，則兩三角形全等，隨即畫出的三角形是全等的，在分別畫出倆三角形，兩邊及兩邊的夾角相等的兩個(gè)銳角三角形，直角三角形，和鈍角三角形，發(fā)現(xiàn)他們都相等，這說(shuō)明第四個(gè)快速判定三角形全等的方法來(lái)了：當(dāng)兩三角形的兩邊及兩邊的夾角相等，則兩三角形全等，這種方法不能證明，同樣是公理。符號(hào)語(yǔ)言如下。

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? ? 第六種可能：兩三角形兩邊及一邊的對(duì)角相等，兩三角形全等，這種情況之下我們可以畫出反例，如圖，兩個(gè)三角形ABC的角A相等，B A邊和B C邊也分別相等，但是這兩個(gè)三角形并不全等。也就由此證明了兩三角形兩邊及一邊的對(duì)角相等，并不一定會(huì)使兩個(gè)三角形全等。

? ? 通過一番探索，我們發(fā)現(xiàn)在得到三個(gè)三角形要素作為條件的時(shí)候，有四種可能可以證明三角形全等，一種是兩三角形，三邊相等，則兩三角形全等。一種是兩三角形兩角及兩角所夾的邊相等，則兩三角形全等。一種是兩三角形兩角及一角對(duì)邊相等，則兩三角形全等，。一種是兩三角形兩邊及兩邊的夾角相等，兩個(gè)三角形全等。

? ? ? 利用這些三角形全等的判定方法，我們可以成功地解決幾何當(dāng)中的許多問題，這些幾何問題無(wú)非是給你幾個(gè)條件，然后讓你根據(jù)給出的條件以及自己所發(fā)現(xiàn)的條件去證明其中的兩個(gè)三角形全等，在最后根據(jù)三角形全等性質(zhì)推測(cè)出兩個(gè)角或者兩個(gè)邊相等。就比如說(shuō)以下問題。

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? ? 在課堂上，但我學(xué)完證明三角形全等的時(shí)候，我心里是既激動(dòng)又疑惑的，激動(dòng)在于我們用了那么多的時(shí)間，那么多的巧妙的邏輯推理證明，最終竟然得出了三種非常簡(jiǎn)單，就能判定兩個(gè)三角形全等的方法，實(shí)在是成就感滿滿的，一會(huì)又在于三角形全等在現(xiàn)實(shí)生活中到底有什么用，當(dāng)時(shí)我是這樣想的：“也許三角形全等在現(xiàn)實(shí)生活中就根本沒有任何用處，之所以要學(xué)習(xí)三角形全等，只不過為了鍛煉人們的推理證明能力而已”，但是在之后的學(xué)習(xí)中，我非常驚喜的發(fā)現(xiàn)事實(shí)并不是這樣的，三角形全等確確實(shí)實(shí)可以用在現(xiàn)實(shí)生活中，而且是解決現(xiàn)實(shí)生活中的測(cè)量問題

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? ? ? ? 在接下來(lái)，只需要測(cè)量在自己岸邊的線段M N的距離，可以知道線段B C的距離，也就是小河的寬，為什么呢？因?yàn)楦鶕?jù)垂線定義B C垂直于C M ，M N垂直于M C，所以角B C A等于角NM A=90度，因?yàn)榻荄 A C和角N A M是對(duì)頂角，所以兩個(gè)角相等，最后，因?yàn)樵谌切蜛BC和三角形A M N中：角B CA等于角A M N，A C等于AM（這是畫圖的時(shí)候就已經(jīng)得知的信息，相當(dāng)于已知信息），角B A C等于角，M A N，所以三角形ABC全等于三角形A MN，依據(jù)就是以上推導(dǎo)出來(lái)的邊角邊（ASA），然后用因?yàn)槿切蜛BC全等于三角形A MN，所以B C等于MN，所以只要測(cè)量M N的距離，就能測(cè)量出B C的距離。? ?

? ? ? 這便是神奇的三角形全等了，除了可以應(yīng)用到實(shí)際生活中，又或者解決幾何問題，三角形全等的作用還延伸到了許多其他的概念當(dāng)中，比如說(shuō)最近我們學(xué)的軸對(duì)稱，以及探索我們生活中的其他簡(jiǎn)便圖形的性質(zhì)，就都可以用三角形全等，又或者三角形全等判定和三角形全等性質(zhì)進(jìn)行求得。

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