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作者介紹：
大爽老師，以前做過高中數(shù)學線上一對一輔導老師
現(xiàn)在賦閑在家，與大家分享一些初高中數(shù)學的知識，方法與思路。

適用范圍: 初二下學期，學完勾股定理（人教版第17章）之后。

核心掌握

$30^\circ$ 和 $45^\circ$ 度的直角三角形的邊的關系如下。

11_1.png

注意：圖中數(shù)字展示的是邊之間的倍數(shù)關系。

即以下兩個結論（重點）

等腰直角三角形，斜邊是直角邊的 $\sqrt 2$ 倍
在 $30^\circ$ 的直角三角形中， $30^\circ$ 所對的直角邊是斜邊的一半。
( $60^\circ$ 所對的直角邊是 $30^\circ$ 所對的直角邊的 $\sqrt 3$ 倍)

詳細證明

等腰直角三角形

$不妨設一條直角邊長為a, \\ 則另一條直角邊也為a (等腰)\\ 根據勾股定理，斜邊的長為 \\ \sqrt {a^2 + a^2} = \sqrt {2a^2} = \sqrt 2 a \\ 即斜邊是直角邊的\sqrt 2倍$

30度的直角三角形

關鍵是證明出
$30^\circ$ 所對的直角邊是斜邊的一半。

之后的 ( $60^\circ$ 所對的直角邊是 $30^\circ$ 所對的直角邊的 $\sqrt 3$ 倍)則可以用勾股定理很快得到。

這里提供兩種證明方式，一簡單，一稍復雜。

證法1：翻折創(chuàng)造等邊三角形

11_2.png

$\begin{align} & 如圖所示，延長AB至D, 使得BD=AB \\ & \begin{cases} BC = BC \\ \angle ABC = \angle DBC = 90^\circ \quad \Rightarrow \quad \triangle ABC \cong \triangle DBC (SAS)\\ AB = DB \end{cases} \\ & \therefore \angle D = \angle A = 60^\circ, \triangle ADC 是等邊三角形。 \\ & \therefore AC = AD = 2 AB \\ \end{align}$

證法2：斜邊中線

定理: 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
平行四邊形那一章節(jié)里會學到該定理(人教版第十八章初二下學期)。

11_3.png

$\begin{align} & 如圖，取AC中點D，連接BD。\\ & \because 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半\\ & \therefore BD = \frac 1 2 AC = AD = DC \\ & \because 等腰\triangle ADB 中，\angle A = 60^\circ \\ & \therefore \triangle ADB 是等邊三角形\\ & (有一個角是60^\circ的等腰三角形是等邊三角形) \\ & AB = AD = \frac 1 2 AC \end{align}$