? ? 在我們所學(xué)習(xí)過的幾何圖形當(dāng)中，三角形屬于比較特殊的一類。而三角形同時還分為銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形。其中直角三角形我們雖然已經(jīng)有過了最基本的探索已經(jīng)知道了他的特殊之處以及面積的求法，但是直角三角形卻具有更多的需要探究的規(guī)律。

? ? 讓我們讓我們先思考直角三角形的特點(diǎn)，無非就在于其中一個角是90度。那我們就只根據(jù)這一個特點(diǎn)，能夠得到什么樣的猜想，或者是會有什么新的啟發(fā)與思路呢？如果你想到的是直角三角形中的兩個銳角一定互余或者是SSA對于直角三角形的全等證明是有效的，那么你也是對的.但是咱們今天的核心主題并不是這個。以上的這兩個結(jié)論，我們或者是與以前的探究有關(guān)聯(lián)，或者是已經(jīng)進(jìn)行過一定的討論，所以就無需細(xì)講。而現(xiàn)在的重點(diǎn)是，除了已經(jīng)提到的這些特點(diǎn)，直角三角形，還有什么我們沒有發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

? ? 回想一下，我們上面一直把重點(diǎn)放在了直角三角形中的那個90度角身上，因?yàn)榇_實(shí)這是直角三角形最大的特點(diǎn)。但是如果我們不再專注于直角三角形中的直角，而是去研究直角三角形的邊的特性呢？會不會有什么是我們之前所沒有發(fā)現(xiàn)的呢？

? ? 所以我們現(xiàn)在就要圍繞著直角三角形的三條邊來展開一些研究?？墒钱?dāng)你隨手畫出一個直角三角形的時候，即使測量出它的三條邊的長度，好像把這些數(shù)據(jù)對比起來也并沒有什么特殊之處，這時候你即使再去畫很多個不一樣的直角三角形，你也都發(fā)現(xiàn)不了他們的這三條邊之間有什么特殊的聯(lián)系。為了能夠找出這三條邊之間的聯(lián)系，我們就需要畫出大量的直角三角形來進(jìn)行一些實(shí)驗(yàn)，但是在白紙上畫出來的再用尺子測量一定會產(chǎn)生人工誤差，也就是導(dǎo)致結(jié)果有可能不夠準(zhǔn)確。那，我們該如何避免這種人工誤差呢？我當(dāng)時就想到，肯定需要用一個固定的計(jì)量單位來計(jì)算三角形三條邊的長度，如何讓單位都是一樣的呢？最方便的辦法是什么？然后就想到了格子圖。就以一格為單位，這樣的直角三角形出來一定不會有任何的人工誤差了。

? ? 可是這樣畫出來一個三角形好像還是沒有思路，那么我們就嘗試在他的旁邊加上一些圖形來試試看吧。那么這個時候當(dāng)我們畫出了這樣的一張圖又會得到什么樣的猜想呢？我當(dāng)時在看到這張圖的時候就做出了一個設(shè)想，我覺得下面的那兩個以直角三角形的直角邊為邊長的小正方形的面積之和有可能等于以斜邊為寬的四邊形的面積。那么既然現(xiàn)在沒有思路，就試一下唄？于是，我首先算出那兩個小正方形的面積。如果按照方格紙上一格為一個單位的方法計(jì)算的話，分別是32和32。那么那個大的四邊形又要怎么計(jì)算呢？它的旁邊并沒有格子，也沒有辦法數(shù)??？難道需要將格子拆開一個個去拼嗎？于是我開始思考更加簡單的方法，然后突然想到了將這個大的四邊形切成不同的幾塊，看看能不能將它的面積算出來。首先想到的方法就是切割成兩個大小完全相等的等腰三角形。

? ? 如上圖，將那個大的四邊形切成兩個相等的三角形，然后再通過計(jì)算三角形的底和高，就能夠算出這個四邊形的面積了。因?yàn)橹虚g那個三角形的格子數(shù)目是可以數(shù)出來的。所以這樣我們就得到了這個正方形的面積，應(yīng)該是6×3也就是18。而下面的兩個小的正方形的面積分別是3×3+3×3也就是9+9。唉，突然發(fā)現(xiàn)了什么？這兩個小正方形的面積相加，就等于這一個大正方形的面積？或者說用另一種說法，直角三角形的兩條直角邊的平方相加就等于斜邊的平方？在這里大概我們就能夠意識到，這可能就是一個全新的發(fā)現(xiàn)，關(guān)于直角三角形的三條邊的新規(guī)律?？墒俏覀儸F(xiàn)在只是單純地發(fā)現(xiàn)了這一個特例，是否能夠就將這確定為一個定理，或者說就能夠得出了一個確切的結(jié)論，保證它具有普遍性嗎？明顯是不能的，這有可能只是一個特例，因?yàn)槲覀兪且跃唧w的數(shù)字來計(jì)算的，并不具有普遍性，也不足以成為一個定理。因?yàn)槲覀兘酉聛硪龅木褪峭ㄟ^具有普遍性的方法來驗(yàn)證我們的這個猜想是否是正確的。

? ? 那我們該如何來驗(yàn)證呢？是在紙上畫上很多個直角三角形然后去計(jì)算嗎？肯定是不行的，因?yàn)橹灰@三條邊的長度足以讓這個三角形構(gòu)成一個直角三角形，那么這三條邊就有可能是任何數(shù)字，試的話肯定是永遠(yuǎn)也試不完的，我們需要用一種最具有普遍性的方法，也就是能夠代表所有數(shù)字的方法。而這個時候最好的方法莫過于用代數(shù)式與字母來表達(dá)。那么也就是說我們的猜想再次用字母就可以表示為a2＋b2＝c2。那么我們是否有辦法驗(yàn)證這個等式呢？

? ? 那么我們現(xiàn)在再來看這幅圖。我們現(xiàn)在需要證明的式子是a2＋b2＝c2。首先圖中的這個最大的正方形ABCD用什么方式來表示呢？我們一直這個正方形的邊長其實(shí)也就是a＋b，所以這個正方形的面積自然也就是（a＋b）2。而其中的這個邊長為C的正方形又該如何表示呢？其實(shí)有兩種表達(dá)方式。一種當(dāng)然就是c2，而另外一種方式也就是通過這個大正方形ABCD來求出中間的這個長方形也就是式子中的c2。因?yàn)槲覀兛梢灾缊D中的大正方形中的那4個三角形其實(shí)都是相等的，因?yàn)樗鼈兊膬蓷l直角邊長度相等以及都是直角三角形。所以他們的面積我們也就可以表示為 a×b×2也就是4個這樣的三角形，那么得出來就是2ab。這個時候我們可以發(fā)現(xiàn)什么？中間的那個小正方形c2＝（a＋b）2－2ab＝a2＋b2＋2ab－2ab＝a2＋b2。所以最終化到最簡的結(jié)果是什么？a2＋b2＝c2。于是，我們就成功的用字母和代數(shù)式證明了這個猜想的正確性。

? ? 而這個時候也該揭曉答案了，其實(shí)這個猜想就是著名的勾股定理，其公式就是三角形的兩條直角邊平方之和等于三角形中斜邊的平方，也就是我們最終得出來的這個結(jié)論：a2＋b2＝c2。

? ? 所以你現(xiàn)在知道該如何通過推理得到勾股定理了嗎？