概述

在渲染管線中的頂點變換中，介紹了頂點在各個坐標(biāo)空間的變換。變換到最后，是屏幕坐標(biāo)空間。在OpenGL中，屏幕空間坐標(biāo)的Z值即是深度緩沖中的深度值。深度緩沖包含了一個介于0.0和1.0之間的深度值，它將會與觀察者視角所看見的場景中所有物體的z值進行比較。本文將介紹深度值的計算，以及從深度值反向計算出相機空間中的頂點的Z值。

深度值計算

在渲染管線中的頂點變換中，計算得到了透視投影矩陣：
$M_{persp} = \begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{l+r}{l-r} & 0 \\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{b+t}{b-t} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{f+n}{f-n} & \frac{2nf}{n-f} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$
同時，也得到了視口變換矩陣：
$M_{viewport} = \begin{bmatrix} \frac{w}{2} & 0 & 0 & \frac{w}{2} \\ 0 & \frac{h}{2} & 0 & \frac{h}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$
首先，根據(jù)透視矩陣，計算NDC空間的Z值。這里，相機空間中的坐標(biāo)經(jīng)過透視矩陣變換后，還要進行齊次除法，才能得到NDC空間中的坐標(biāo)。
$\begin{pmatrix} x_{clip} \\ y_{clip} \\ z_{clip} \\ w_{clip} \\ \end{pmatrix} = M_{persp} \begin{pmatrix} x_{eye} \\ y_{eye} \\ z_{eye} \\ w_{eye} \\ \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x_{ndc} \\ y_{ndc} \\ z_{ndc} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{x_{clip}}{w_{clip}} \\ \frac{y_{clip}}{w_{clip}} \\ \frac{z_{clip}}{w_{clip}} \\ \end{pmatrix}$

由此，可以得出：
$\begin{aligned} z_{ndc} &= \frac{\frac{f+n}{f-n}z_{eye}+\frac{-2nf}{f-n}}{z_{eye}} \\ &=\frac{f+n}{f-n}+\frac{-2nf}{z_{eye}(f-n)} \end{aligned} \tag{1}$
根據(jù)上述公式，可以得出：
$z_{eye} = \frac{2nf}{(f+n)-z_{ndc}(f-n)} \tag{2}$
根據(jù)視口變換矩陣，可以得出：
$z_{win} = \frac{1}{2}z_{ndc}+\frac{1}{2} \tag{3}$

將 $\left(1\right)$ 帶入 $\left(3\right)$ ，可以得到：
$\begin{aligned} z_{win} &= \frac{1}{2}(z_{ndc}+1) \\ &=\frac{1}{2}(\frac{f+n}{f-n}+\frac{-2nf}{z_{eye}(f-n)} + 1) \\ &=\frac{f-\frac{nf}{z_{eye}}}{f-n} \\ &= \frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{z_{eye}}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{f}} \end{aligned}$

即：
$z_{win} = \frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{z_{eye}}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{f}} \tag{4}$

到這一步，即可以求得屏幕空間中的深度。

在Learn OpenGL CN學(xué)習(xí)過的，可能對深度測試這一節(jié)的內(nèi)容有些印象。它得到的深度值的公式是：
$F_{depth} = \frac{1/z - 1/near}{1/far - 1/near}$
跟 $\left(4\right)$ 式對比，發(fā)現(xiàn)有些不一樣，這是怎么回事呢？

這里要注意，本文定義的 $n$ 、 $f$ 和 $z_{eye}$ 是實際的坐標(biāo)值，是負的。而深度測試文中，定義的 $near$ 、 $far$ 代表了近平面和遠平面，而 $z$ 代表了近、遠平面之間的值，它們都是正的。將 $n=-near$ 、 $f=-far$ 、 $z_{eye}=-z$ 代入 $\left(4\right)$ 式，可得：
$\begin{aligned} F_{depth} &= z_{win} \\ &= \frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{z_{eye}}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{f}} \\ &= \frac{\frac{1}{-near}-\frac{1}{-z}}{\frac{1}{-near}-\frac{1}{-far}} \\ &= \frac{\frac{1}{z}-\frac{1}{near}}{\frac{1}{far}-\frac{1}{near}} \end{aligned}$

深度值的線性可視化

經(jīng)過上面的推導(dǎo)，我們得出了深度值的計算公式。

現(xiàn)在，反過來，我們知道了屏幕空間中的深度值，怎么求出相機空間中的深度值呢？

首先，根據(jù) $\left(3\right)$ ，可以推導(dǎo)出：
$z_{ndc} = 2z_{win}-1$
對于公式2，得出的是實際坐標(biāo)的 $Z$ 值。為了和OpenGL中的定義統(tǒng)一，也將 $near$ 、 $far$ 和 $z$ 代入公式 $\left(2\right)$ ，可以得到：
$\begin{aligned} z_{eye} &= \frac{2(-near)(-far)}{((-far)+(-near))-z_{ndc}((-far)-(-near))} \\ &= \frac{2nearfar}{-(far+near)-z_{ndc}(near-far)} \\ \end{aligned} \tag{5}$
在深度測試這一節(jié)中，得出的公式是：
$float \quad linearDepth = (2.0 * near * far) / (far + near - z * (far - near));$
對比發(fā)現(xiàn)，跟公式 $\left(5\right)$ 有些不一樣。這是因為， $linearDepth$ 求出的是頂點距離相機的距離，是正值。而 $z_{eye}$ 是頂點的實際坐標(biāo)，是負值，將 $z_{eye}$ 取反，即可得到 $linearDepth$ 。
$\begin{aligned} linearDepth &= -z_{eye} \\ &= \frac{2nearfar}{(far+near)-z_{ndc}(far-near)} \end{aligned}$
至此，推導(dǎo)完成。