函數(shù)極限概念

x趨于 $\infty$ 時(shí)函數(shù)的極限

定義：設(shè)f為定義在 $[a,+\infty)$ 上的函數(shù),A為定數(shù),若 $\forall \varepsilon\gt 0$ , $\exists 正數(shù)M(\ge a)$ ,使得當(dāng) $x\gt M$ 時(shí)有 $|f(x)-A|\lt \varepsilon$ ,則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于 $+\infty$ 時(shí)以A為極限,記作 $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(x\to +\infty)$

注：A的任意小鄰域內(nèi)含有f在 $+\infty$ 的某鄰域上的全部函數(shù)值

幾何意義： $\forall \varepsilon\gt 0$ ,在坐標(biāo)平面上平行于x軸的兩條直線 $y=A+\varepsilon$ 與 $y=A-\varepsilon$ 圍成以 $y=A$ 為中心線,寬為 $2\varepsilon$ 的帶形區(qū)域,在直線x=M,的右方,曲線y=f(x)全部落在這個(gè)帶形區(qū)域之內(nèi)

設(shè)f為定義在 $U(-\infty)$ 或 $U(\infty)$ 上的函數(shù),當(dāng) $x\to -\infty$ 或 $x\to \infty$ 時(shí),若函數(shù)值f(x)能無限地接近某定數(shù)A,則稱f當(dāng) $x\to -\infty$ 或 $x\to \infty$ 時(shí)以A為極限,分別記作

$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=A或f(x)\to A(x\to -\infty)$

$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=A或f(x)\to A(x\to \infty)$

若f為定義在 $U(\infty)$ 上的函數(shù),則 $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=A\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=A$

例：證明 $\lim\limits_{x\to -\infty}arctanx=-{\pi\over 2}$

證：

$\forall \varepsilon,要證|arctanx-(-{\pi\over 2})|\lt \varepsilon$

$只需證-\varepsilon-{\pi\over 2}\lt arctanx\lt \varepsilon-{\pi\over 2}$

$不等式左端顯然成立$

$限制\varepsilon\lt {\pi\over 2},則有$

$x\lt tan(\varepsilon-{\pi\over 2})=-tan({\pi\over 2}-\varepsilon)$

$\forall \varepsilon\gt 0,取M=tan({\pi\over 2}-\varepsilon)$

$則x\lt -M時(shí)有|arctanx-(-{\pi\over 2})|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{x\to -\infty}arctanx=-{\pi\over 2}$

x趨于 $x_0$ 時(shí)函數(shù)的極限

定義(函數(shù)極限的 $\varepsilon-\delta$ 定義)：設(shè)函數(shù)f在點(diǎn) $x_0$ 的某個(gè)空心鄰域 $U^\circ(x_0;\delta')$ 內(nèi)有定義,A為定數(shù), $\forall \varepsilon\gt 0$ , $\exists 正數(shù)\delta(\lt \delta')$ ,使得 $0\lt |x-x_0|\lt \delta$ 時(shí)有 $|f(x)-A|\lt \varepsilon$ ,則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于 $x_0$ 時(shí)以A為極限,記作 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(x\to x_0)$

例：證明 $\lim\limits_{x\to x_0}sinx=sinx_0$

證：

$0\lt x\lt {\pi\over 2}時(shí)有$

$sinx\lt x\lt tanx$

$x\ge {\pi\over 2}時(shí)有$

$sinx\le 1\lt x$

$\therefore \forall x\gt 0,sinx\lt x$

$x\lt 0時(shí)sin(-x)\lt -x\Rightarrow -sinx\lt -x$

$\therefore |sinx|\le |x|,x\in R$

$當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立$

$|sinx-sinx_0|=2|cos{x+x_0\over 2}||sin{x-x_0\over 2}|$

$\le |x-x_0|$

$\forall \varepsilon\gt 0,取\delta=\varepsilon,則$

$當(dāng)0\lt |x-x_0|\lt \delta時(shí)有$

$|sinx-sinx_0|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{x\to x_0}sinx=sinx_0$

例：證明 $\lim\limits_{x\to 1}{x^2-1\over 2x^2-x-1}={2\over 3}$

證：

$x\neq 1時(shí)有$

$|{x^2-1\over 2x^2-x-1}-{2\over 3}|$

$=|{x+1\over 2x+1}-{2\over 3}|$

$={|x-1|\over 3|2x+1|}$

$限制0\lt |x-1|\lt 1(此時(shí)x\gt 0)$

$則|2x+1|\gt 1$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,取\delta=min\{3\varepsilon,1\}$

$則當(dāng)0\lt |x-1|\lt \delta時(shí)有$

$|{x^2-1\over 2x^2-x-1}-{2\over 3}|\lt {|x-1|\over 3}\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{x\to 1}{x^2-1\over 2x^2-x-1}={2\over 3}$

例：證明 $\lim\limits_{x\to x_0}\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-x^2_0}(|x_0|\lt 1)$

證：

$\because |x|\le 1,|x_0|\lt 1$

$\therefore |\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-x_0^2}|$

$={|x_0^2-x^2|\over \sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x_0^2}}$

$\le {|x+x_0||x-x_0|\over \sqrt{1-x_0^2}}$

$\le {2|x-x_0|\over \sqrt{1-x_0^2}}$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,不妨設(shè)0\lt \varepsilon\lt 1$

$取\delta={\sqrt{1-x_0^2}\over 2}\varepsilon$

$當(dāng)0\lt |x-x_0|\lt \delta時(shí)有$

$|\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-x_0^2}|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{x\to x_0}\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-x^2_0}(|x_0|\lt 1)$

$\varepsilon-\delta$ 定義的另一種刻畫

定義： $\forall \varepsilon\gt 0,\exists \delta\gt 0,\forall x\in U^\circ(x_0;\delta)$ ,有 $f(x)\in U(A;\varepsilon)$

另： $\forall \varepsilon\gt 0,\exists\delta\gt 0$ ,使得 $f(U^\circ(x_0;\delta))\subset U(A;\varepsilon)$

幾何意義： $\forall \varepsilon\gt 0$ ,在坐標(biāo)平面上畫一條以直線y=A為中心線,寬為 $2\varepsilon$ 的橫帶,則必存在以直線 $x=x_0$ 為中心線,寬為 $2\delta$ 的豎帶,使函數(shù) $y=f(x)$ 的圖像在該豎帶中的部分全部落在橫帶內(nèi),但點(diǎn) $(x_0,f(x_0))$ 可能例外

單側(cè)極限

定義：設(shè)函數(shù)f在 $U_+^\circ(x_0;\delta')(或U_-^\circ(x_0;\delta'))$ 上有定義,A為定數(shù), $\forall \varepsilon\gt 0$ , $\exists 正數(shù)\delta(\lt \delta')$ ,使得當(dāng) $x_0\lt x\lt x_0+\delta(或x_0-\delta\lt x\lt x_0)$ 時(shí)有 $|f(x)-A|\lt \varepsilon$ ,則稱數(shù)A為函數(shù)f當(dāng)x趨于 $x_0^+(或x_0^-)$ 時(shí)的右(左)極限,記作 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A(\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A)$ ,或 $f(x)\to A(x\to x_0^+)(f(x)\to A(x\to x_0^-))$