[引入]求作n次多項式
$N_n(x)=c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)(x-x_1)+...+c_n(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n-1)$
使?jié)M足
$\\N_n(x_i)=y_i=f(x_i)\qquad i=0,1,2,...,n$
為了簡化，引入下列記號
$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} \varphi_0(x)=1\\ \varphi_1(x)=x-x_0\\ \varphi_i(x)=(x-x_{i-1})\varphi_{i-1}(x)\\ =(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{i－1}) \qquad i=0,1,2,...,n \end{array} \right. \end{equation}$
$\varphi_i(x)$ 就是多項式的第 i 項的非系數部分。
當 $c_i$ 是常數，且只與當前的插值節(jié)點相關時，再增加新的節(jié)點，只需計算 $c_{n+1}$ 和 $\varphi_{n＋1}(x)$

$c_0=f(x_0)$
$c_1=\frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1}$
$c_2=\frac{1}{x_0-x_2} (\frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1} - \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2})$
此時，需要計算 $c_i$ ,引入差商的概念。

2.3.2 差商的概念

給定 $[a,b]$ 中互不相同的點 $x_0,x_1,x_2,..x_n$ ,以及函數 $f(x)$ 在這些點處對應的函數值 $f(x_0),f(x_1),f(x_2),...f(x_n)$ 。
$f(x)在x_0處的零階差商$ $f[x_0]=f(x_0)$
$f(x)在x_0,x_1兩點的一階差商$ $f[x_0,x_1]=\frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1}$
$f(x)在x_0,x_1,x_2三點的二階差商$ $f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_0-x_1]-f[x_1-x_2]}{x_0-x_2}$
...
$f(x)在x_0,x_1,...,x_n的n階差商$ $f[x_0,x_1,...,x_n]=\frac{f[x_0,x_1,...,x_n]-f[x_1,x_2,...,x_n]}{x_0-x_n}$

綜上，對于順序排列的 $x_0,x_1,...x_n,\quad c_i=f[x_0,x_1,...x_i]$ ,由 $\varphi_i(x)和c_i,可計算出插值多項式。$

2.3.3 差商的性質

線性性
對稱性
降次性

(1) $k階差商f[x_0,x_1,...,x_k]是函數值f(x_0),f(x_1),...,f(x_k)的線性組合。$
$f[x_0,x_1,...,x_k]=\sum\limits_{j=0}^{k} \frac{f(x_j)}{(x_j-x_0)(x_j-x_1)...(x_j-x_{j－1})(x_j-x_{j＋1})...(x_j- x_k)}$

證明使用數學歸納法
$當k=1時,f[x_0,x_1]=\frac{f(x_0)}{x_0- x_1}+\frac{f(x_1)}{x_1- x_0}成立$
$設當k=m-1時成立$
$當k=m時，f[x_0,x_1,x_k]=\frac{1}{x_0-x_k} (f[x_0,x_1,...,x_{k－1}]- f[x_1,x_2,...,x_k])$
$=\frac{1}{x_0－x_k} (\frac{f(x_0)}{(x0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_{k－1})} -\frac{f(x_k)}{(x_k-x_1)(x_k-x_2)...(x_k－x_{k－1})} + \sum\limits_{i=1}^{k-1}(f(x_i)* \frac{x_0 - x_k}{(x_j-x_0)(x_j-x_1)...(x_j－x_k)} )$
$=\sum\limits_{j=0}^{k} \frac{f(x_j)}{(x_j-x_0)(x_j-x_1)...(x_j-x_{j－1})(x_j-x_{j＋1})...(x_j- x_k)}$

(2) $差商f[x_0,x_1,...,x_k]的值與插值點的內部排序無關，也稱對稱性$
由性質一線性組合即可證明。

(3) $若差商f[x,x_0,x_1,...,x_k]是x的m次多項式，則f[x,x_0,x_1,...,x_k,x_{k＋1}]是x的m-1次多項式$

證明:
$f[x,x_0,x_1,...,x_k,x_{k＋1}]=\frac{f[x,x_0,x_1,...,x_k]-f[x_{k+1},x_0,x_1,...,x_k]}{x-x_{k+1}}$
$(x-x_{k+1})* f[x,x_0,x_1,...,x_k,x_{k＋1}]= f[x,x_0,x_1,...,x_k]-f[x_{k+1},x_0,x_1,...,x_k]$
$右端為m次多項式(多項式＋常數差商)，左端也為m次多項式$
$當x=x_{k+1}時，右式為0,故說明右式帶有系數(x-x_{k＋1}),兩邊同除(x-x_{k＋1})$
$可得f[x,x_0,x_1,...,x_k,x_{k＋1}]=\frac{f[x,x_0,x_1,...,x_k]-f[x_{k+1},x_0,x_1,...,x_k]}{x-x_{k+1}}為m-1次多項式$

推論：若 $f(x)為n次多項式,則f[x,x_0,x_1,...,x_n]恒等于0。$

2.3.4 Newton插值公式

由差商的定義
$f(x)=f(x_0)+f[x,x_0](x-x_0)$
$f[x,x_0]=f[x_0,x_1]+f[x,x_0,x_1](x-x_1)$
...
$f[x,x_0,x_1,...,x_n]=f[x_0,x_1,...,x_n]+f[x,x_0,...,x_n](x-x_n)$

逐個帶入，可知
$f(x)=f(x_0)+ f[x_0,x_1](x-x_0)+...+f[x_0,x_1,...,x_n](x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n－1})$
$+f[x,x_0,...,x_n](x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)$

故余項 $R_n(x)=f(x)-N_n(x)=f[x,x_0,...,x_n](x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)$
遺憾的是，這個公式中的差商 $f[x,x_0,...,x_n]$ 因帶有 $f(x)$ 而不能計算，只能得到解析表達式

解決方法:
利用 $Langrange插值余項公式 R_n(x)=f(x)-p_n(x)=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!} \prod\limits_{i=0} ^n (x-x_i)$
和余項 $R_n(x)=f(x)-N_n(x)=f[x,x_0,...,x_n](x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)$
知，當 $f(x)在插值區(qū)間[a,b]上有n+1階導數，且 \exists \xi \in[x_{i min},x_{i max}]$
使得 $\\f[x_0,x_1,...,x_n ]=\frac{f^{n}(\xi)}{n!}$
根據上述關系，可將Newton插值公式改寫為
$N_n(x)=f(x_0)+f^{'}(\xi_1)(x-x_0)+\frac{f^{''}(\xi_2)}{2!}(x-x_0)(x-x_1)+......+\frac{f^{n}(\xi_n)}{n!}(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)$

綜上

牛頓插值的同式為 $\sum_{i=0} ^{n} \varphi_i(x)c_i$
$\varphi_0(x)=1 \qquad \varphi_n(x)=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})$
可以利用差商的方法計算牛頓插值系數
$n階差商$ $f[x_0,x_1,...,x_n]=\frac{f[x_0,x_1,...,x_n]-f[x_1,x_2,...,x_n]}{x_0-x_n}$
余項為 $R_n(x)=f(x)-N_n(x)=f[x,x_0,...,x_n](x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)$
遺憾的是，這個公式中的差商 $f[x,x_0,...,x_n]$ 因帶有 $f(x)$ 而不能計算，只能得到解析表達式
知，當 $f(x)在插值區(qū)間[a,b]上有n+1階導數，且 \exists \xi \in[x_{i min},x_{i max}]$
使得 $\\f[x_0,x_1,...,x_n ]=\frac{f^{n}(\xi)}{n!}$
根據上述關系，可將Newton插值公式改寫為
$N_n(x)=f(x_0)+f^{'}(\xi_1)(x-x_0)+\frac{f^{''}(\xi_2)}{2!}(x-x_0)(x-x_1)+......+\frac{f^{n}(\xi_n)}{n!}(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)$

引用

1.《計算方法　第二版》崔國華　許如初著

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插值法和線性擬合　第二節(jié)

插值法和線性擬合　第二節(jié)

目錄

2.1 插值多項式存在唯一性

2.2 Lagrange(拉格朗日)插值

2.3 Newton(牛頓)插值

2.4 Hermite(赫米特)插值

2.5 分段插值