格林公式

（接上文曲面積分）

這部分記錄一下對(duì)格林公式的理解。

4. 格林公式

正如最早提到的， 格林公式描述了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的（第二類）曲線積分之間的關(guān)系。形式如下，
\iint \limits_D (\frac {\partial Q}{\partial x}-\frac {\partial P}{\partial y}) \mathrm dx\mathrm dy=\oint _LP\mathrm dx+Q\mathrm d y
除了書(shū)上的證明方法以外，在此記錄另一種理解思路（非嚴(yán)格證明）。
我們知道，右側(cè)的曲線積分是可以跟做功相關(guān)聯(lián)的。而左側(cè)的二重積分是可以跟面積相關(guān)聯(lián)的（\mathrm dx \mathrm dy）。但是做功和面積好像并不怎么相關(guān)聯(lián)，和做功相關(guān)聯(lián)的是長(zhǎng)度（位移）。
因此，我們想到用面積來(lái)表示長(zhǎng)度（位移），試試效果。

示意圖

如上圖，假設(shè)有力F=P(x,y)\mathbf i+Q(x,y)\mathbf j，我們想求力F繞閉區(qū)域D逆時(shí)針一圈所作的功，即\oint _LP\mathrm dx+Q\mathrm dy。
我們將這個(gè)大區(qū)域用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)分解為矩形小區(qū)域以及一些沿邊界的非矩形區(qū)域。容易知，力F沿這些所有小區(qū)域逆時(shí)針一周所做功的和便是所求的功（中間用于劃分區(qū)域的直線，都會(huì)求方向相反的兩次功，相互抵消，最后只有沿邊界的不為0）。我們?nèi)∑渲幸粔K矩形區(qū)域來(lái)研究。
先研究水平方向做功W_1和W_3。我們令小區(qū)域的長(zhǎng)寬{\Delta x \to 0}，{\Delta y \to 0}，用\Delta \sigma表示面積。
W_1+W_3=P(\xi _1,y_1) \frac {\Delta \sigma}{\Delta y}-P(\xi _2,y_2) \frac {\Delta \sigma}{\Delta y}
\xi_1，\xi_2在[x_1,x_2]之間（積分中值公式）。又因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%7B%5CDelta%20x%20%5Cto%200%7D" alt="{\Delta x \to 0}" mathimg="1">，我們讓\xi_1，\xi_2相等。又因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%7B%5CDelta%20y%20%5Cto%200%7D" alt="{\Delta y \to 0}" mathimg="1">，由偏導(dǎo)數(shù)的定義知
W_1+W_3=-\frac {\partial P}{\partial y}|_{x=\xi_1,y=y_1} \cdot \Delta \sigma
所以根據(jù)二重積分的定義，所有小區(qū)域x方向上做功的總和為
\lim \limits_{{\Delta x \to 0},{\Delta y \to 0}} \displaystyle\sum_{i=1}^n -\frac {\partial P}{\partial y}(\xi_i,\eta_i) \Delta \sigma_i = \iint \limits_D -\frac {\partial P}{\partial y}\mathrm u0z1t8os \sigma
類似的，我們也可以得到另一部分的關(guān)系，在此就不再說(shuō)明。（由于本人學(xué)識(shí)有限，數(shù)學(xué)推論很是不嚴(yán)謹(jǐn)，以上推理論證都僅供參考。僅為了簡(jiǎn)單說(shuō)明一下將做功，面積，偏導(dǎo)，二重積分聯(lián)系在一起的一種理解方式。）
最后，正是因?yàn)橐陨显?，在用二重積分（與面積關(guān)聯(lián)）求做功時(shí)會(huì)有偏導(dǎo)（使得面積變?yōu)殚L(zhǎng)度）出現(xiàn)。x方向做功會(huì)有y出現(xiàn)，y方向做功會(huì)有x出現(xiàn)。又因?yàn)榍髕方向做功時(shí)，下方軌跡的位移方向（曲線積分方向）為正向，但y值??；上方軌跡的位移方向（曲線積分方向）為逆向，但y值大。使得求x方向做功時(shí)，偏導(dǎo)數(shù)需要加負(fù)號(hào)。對(duì)應(yīng)的求y方向做功時(shí)，右側(cè)的位移方向（曲線積分方向）為正向，同時(shí)x的值大；左側(cè)軌跡的位移方向（曲線積分方向）為逆向，同時(shí)x的值小。使得求y方向做功時(shí)，偏導(dǎo)數(shù)不需要加負(fù)號(hào)。

（本來(lái)還想記錄一點(diǎn)關(guān)于斯托克斯公式，高斯公式，散度，旋度的內(nèi)容。但是發(fā)現(xiàn)自己一是好像沒(méi)有什么新的奇怪的理解方式，二是基礎(chǔ)太差了，這部分就暫告一段落。學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)有新想法或者自己基礎(chǔ)更扎實(shí)了再回來(lái)補(bǔ)一補(bǔ)。）

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