之前的幾篇番外，我們介紹了運籌學軟件Lingo的用法，之后對于規(guī)劃問題的處理，如無特殊說明，均視為采用Lingo求解。

例1 生產(chǎn)與銷售問題
某公司用兩種原油（ A 和 B ）混合加工成兩種汽油（甲和乙）。甲、乙兩種汽油含原油的最低比例分別為 50％和 60％，每噸售價分別為 4800 元和 5600 元。該公司現(xiàn)有原油 A 和 B 的庫存量分別為 500 噸和 1000 噸，還可以從市場上買到不超過 1500噸的原油 A 。原油 A 的市場價為：購買量不超過 500 噸時的單價為 10000 元/噸；購買量超過 500 噸單不超過 1000 噸時，超過 500 噸的部分 8000 元/噸；購買量超過 1000 噸時，超過 1000 噸的部分 6000 元/噸。該公司應如何安排原油的采購和加工。

1.問題分析

安排原油采購、加工的目標是利潤最大，題目中給出的是兩種汽油的售價和原油 A的采購價，利潤為銷售汽油的收入與購買原油 A 的支出之差。這里的難點在于原油 A 的采購價與購買量的關系比較復雜，是分段函數(shù)關系，能否及如何用線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃模型加以處理是關鍵所在。

2.模型建立

設原油的購買量為（單位：噸）。根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)，采購的支出可表示為如下的分段線性函數(shù)（以下價格以千元/噸為單位）

設原油用于生產(chǎn)甲，乙兩種汽油的數(shù)量分別為和，原油用來生產(chǎn)兩種汽油的數(shù)量分別是和，則總的輸入為（千元）。于是本例的目標函數(shù)（利潤）為：

（此處代表一個非線性分段函數(shù)）
約束條件包括兩種汽油用的原油，的庫存限制，原油購買量的限制，原油的比例限制。

現(xiàn)在問題在于，目標函數(shù)中的c(x)是一個非線性函數(shù)

3.模型求解

下面介紹三種解法：
(1)解法一：
一個自然的想法是將原油A采購量的x分為三個量，用，，分別表示10千元每噸，8千元每噸，6千元每噸采購的原油A的噸數(shù)，總支出為

且：

此時目標函數(shù)變?yōu)榫€性函數(shù)：

如何把分段的限制條件加入呢？
注意到，只有當以10千元每噸的價格購買噸時，才能以8千元/噸的價格購買，這個條件可以表示為：

同理，用同樣的條件來限制和：

此外，還有本身的取值范圍：

綜合以上所有條件，得到最終的程序：

model:
sets:
var1/1..4/:y; !這里y(1)=x11,y(2)=x21,y(3)=x12,y(4)=x22;
var2/1..3/:x,c;
endsets
max=4.8*(y(1)+y(2))+5.6*(y(3)+y(4))-@sum(var2:c*x);
y(1)+y(3)<@sum(var2:x)+500;
y(2)+y(4)<1000;
0.5*(y(1)-y(2))>0;
0.4*y(3)-0.6*y(4)>0;
(x(1)-500)*x(2)=0;
(x(2)-500)*x(3)=0;
@for(var2:@bnd(0,x,500));
data:
c=10 8 6;
enddata
end

運行得到全局最優(yōu)解：購買1000噸原油，與庫存的500噸原油A與1000噸原油B一起，共產(chǎn)生2500噸汽油乙，利潤為5000（千元）。

（2）解法二
引入0-1變量

model:
sets:
var1/1..4/:y; !這里y(1)=x11,y(2)=x21,y(3)=x12,y(4)=x22;
var2/1..3/:x,z,c;
endsets
max=4.8*(y(1)+y(2))+5.6*(y(3)+y(4))-@sum(var2:c*x);
y(1)+y(3)<@sum(var2:x)+500;
y(2)+y(4)<1000;
0.5*(y(1)-y(2))>0;
0.4*y(3)-0.6*y(4)>0;
@for(var1(i)|i #lt# 3:500*z(i+1)<x(i);x(i)<500*z(i));
x(3)<500*z(3);
@for(var2:@bin(z));
@for(var2:@bnd(0,x,500));
data:
c=10 8 6;
enddata
end

(3)解法三
直接處理分段線性函數(shù)。
記分斷點

當處于第一個小區(qū)間，記，因為在上是線性的。

分段函數(shù)

當處于第三個小區(qū)間時，

為了表示在哪個區(qū)間內(nèi)，引入0-1變量，當在第個小區(qū)間時，，否則，，這樣應滿足：

此時可將和x統(tǒng)一表示。


此時又是一個線性規(guī)劃模型。

endsets
data:
b=0,500,1000,1500;
c=0,5000,9000,12000;
z=,,,0; !增加的虛擬變量z(4)=0;
enddata
max=4.8*(y(1)+y(2))+5.6*(y(3)+y(4))-@sum(var:c*w);
y(1)+y(3)<@sum(var:b*w)+500;
y(2)+y(4)<1000;
0.5*(y(1)-y(2))>0;
0.4*y(3)-0.6*y(4)>0;
w(1)<z(1);
@for(var(i)|i #ne# 1:w(i)<z(i-1)+z(i));
@sum(var:z)=1;
@sum(var:w)=1;
@for(var:@bin(z));
End