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設(shè) $n$ 是正整數(shù), 在復(fù)數(shù)域 $\mathbb{C}$ 中, 所有 $n$ 次單位根(即多項(xiàng)式 $x^n - 1$ 的復(fù)根) 組成的集合對(duì)于復(fù)數(shù)的乘法成為一個(gè)群, 稱它為 $\mathbb{C}$ 中的 $n$ 次單位根群, 記做 $U_n$ 。

令 $\xi_n = e^{\frac{2\pi i}{n}}$ . 說明 $U_n$ 是循環(huán)群, $\xi_n$ 是它的一個(gè)生成元。

【解答】我們知道，滿足方程 $x^n = 1$ 的有且僅有 $n$ 個(gè)復(fù)數(shù)。
他們分別可以表示為 $\{1, \xi_n, \xi_n^2, \cdots, \xi_n^{n-1}\}$
這是一個(gè)循環(huán)群：不難看出 $\xi_n$ 是他的一個(gè)生成元。

【注記】除此之外，對(duì)于任何與 $n$ 互素的正整數(shù) $k(k \leq n)$ ， $\xi_n^k$ 也是這個(gè) $n$ 階循環(huán)群的一個(gè)生成元。

如果一個(gè)棱錐的底面是正 $n$ 邊形( $n \geq 3$ ), 并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心, 那么稱這個(gè)棱錐是正 $n$ 棱錐。
空間中繞某條直線的旋轉(zhuǎn) $\sigma$ , 如果把一個(gè)正 $n$ 棱錐變成與它自身重合的圖形, 那么稱 $\sigma$ 是這個(gè)正 $n$ 棱錐的一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(性)變換。寫出一個(gè)正 $n$ 棱錐的所有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(性)變換, 說明它們組成的集合 $G$ 對(duì)于映射的乘法成為一個(gè)群, 這個(gè)群是不是循環(huán)群?

【解答】我們把繞著該棱錐頂點(diǎn)和底面中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) $\frac{2\pi}{n}$ 這個(gè)變換記作 $\sigma_n$ 。那么由 $\sigma_n$ 生成的群 $<\sigma_n>$ 就是滿足題意的所有變變換，他是一個(gè) $n$ 階循環(huán)群。

分別求出 $\mathbb{Z}_7^*$ , $\mathbb{Z}_{12}^*$ 的所有生成元。
【解答】① $\mathbb{Z}_7$ 中共有 $\phi(7) = 6$ 個(gè)元素。因此 $\mathbb{Z}_7^* = \{ \overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6}\}$ 的生成元共有 $\phi(6)=2$ 個(gè)元素。
他們分別是 $\overline{3}$ 和 $\overline{3}^5 = \overline{5}$
【注記】：這里我們只需要確定一個(gè)生成元 $a$ ,那么對(duì)于其他與 $\mathbb{Z}_7^*$ 的階數(shù) $6$ 互素的的 $k$ ， $a^k$ 就也是生成元。

②類似地，我們可以說明 $\mathbb{Z}_{12}^* = \{ \overline{1},\overline{5},\overline{7},\overline{11}\}$ 中有 $4$ 個(gè)元素。他的生成元只有 $\phi(4) = 2$ 個(gè).

$\mathbb{Z}_{14}^*$ 是不是循環(huán)群? 如果是, 求出它的所有生成元。
【解答】 $\phi(14) = 6$ ，他是 $6$ 階循環(huán)群。 $\phi(6) = 2$ 。所以他有兩個(gè)生成元。

【注釋】 $\mathbb{Z}_n^*$ 是循環(huán)群當(dāng)且僅 $n$ 為 $2,4,p^k,2p^k$ 這四種情況，其中 $p$ 為大于2的奇素?cái)?shù)，這樣我們就可以很快的判斷第9題中的幾個(gè)例子是否為循環(huán)群。

證明: 若 $\mathbb{Z}_n^*$ 是循環(huán)群, 則 $\mathbb{Z}_n^*$ 的生成元的個(gè)數(shù)等于 $\varphi(\varphi(n))$ 。

【證明】：首先，我們知道循環(huán)群 $\mathbb{Z}_n^*$ 中有著 $\phi(n)$ 個(gè)元素。假設(shè) $\xi$ 為這個(gè)循環(huán)群的一個(gè)生成元。 $<\xi >$ 是一個(gè) $\phi(n)$ 階循環(huán)群，對(duì)于和 $\phi(n)$ 互素的 $k(k < n)$ ,可以驗(yàn)證 $\xi ^k$ 也是該循環(huán)群的一個(gè)生成元，反之，如果 $m$ 和 $\phi(n)$ 不互素，那么 $\xi ^m$ 就不是生成元，所以這個(gè)循環(huán)群生成元的個(gè)數(shù)為 $\phi(\phi(n))$ 。

設(shè) $m$ 是大于 $1$ 的整數(shù), 求 $m$ 階循環(huán)群 $G$ 的生成元的個(gè)數(shù)。
【解答】：同第五題，可知 $m$ 階循環(huán)群生成元的個(gè)數(shù)為 $\phi(m)$ .
$(\mathbb{Z}_8, +)$ 的生成元有多少個(gè)? 寫出它們。
【解答】： $\phi(8) = 4$ 因此它的生成元有四個(gè)。找和 $8$ 互素的即可。
它的生成元為 $\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{7}$ 。
復(fù)數(shù)域中的 $n$ 次單位根群 $U_n$ 的生成元稱為本原 $n$ 次單位根。對(duì)于給定的正整數(shù) $n$ , 有多少個(gè)本原 $n$ 次單位根? 寫出它們。
【解答】：有 $\phi(n)$ 個(gè)本原 $n$ 次單位根。假設(shè) $\xi_n$ 是一個(gè) $n$ 次本原單位根，對(duì)于任意的正整數(shù) $k$ 與 $n$ 互素。(滿足 $k\leq n$ ), $\xi_n^k$ 仍然是本原單位根。
$\mathbb{Z}_{19}^*, \mathbb{Z}_{20}^*, \mathbb{Z}_{21}^*, \mathbb{Z}_{22}^*, \mathbb{Z}_{24}^*, \mathbb{Z}_{25}^*, \mathbb{Z}_{50}^*, \mathbb{Z}_{81}^*, \mathbb{Z}_{98}^*$ 哪些是循環(huán)群? 哪些不是循環(huán)群?

【解答】根據(jù)第4題的注釋，我們知道① $19$ 是素?cái)?shù)，因此 $\mathbb{Z}_{19}^*$ 是循環(huán)群。② $20 = 2^2\times 5$ 因此 $\mathbb{Z}_{20}$ 不是循環(huán)群。③ $21 = 3 \times 7$ 因此 $\mathbb{Z}_{21}^*$ 是循環(huán)群。

$(\mathbb{Z}_2 \oplus (\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2), +)$ 與 $(\mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_2, +)$ 同構(gòu)嗎? 寫出理由。

【解答】：不同構(gòu)，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=(%5Cmathbb%7BZ%7D_4%20%5Coplus%20%5Cmathbb%7BZ%7D_2%2C%20%2B)" alt="(\mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_2, +)" mathimg="1"> 中可以找到四階元，但是 $(\mathbb{Z}_2 \oplus (\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2), +)$ 中所有元素的階數(shù)不超過二階。

【注記】：如果改成 $(\mathbb{Z}_2 \oplus (\mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}_2), +)$ 與 $(\mathbb{Z}_6 \oplus \mathbb{Z}_2, +)$ 此時(shí)這兩個(gè)群就是同構(gòu)的。并且我們有如下結(jié)論：
如果 $p$ 和 $q$ 互素，就有 $(\mathbb{Z}_p \oplus \mathbb{Z}_q, +) \cong (\mathbb{Z}_{pq}, +)$

下列個(gè) 階 Abel 群中, 哪些是彼此同構(gòu)的?
- $(\mathbb{Z}_{24}, +)$ ,
- $(\mathbb{Z}_{12} \oplus \mathbb{Z}_2, +)$ ,
- $(\mathbb{Z}_6 \oplus \mathbb{Z}_4, +)$ ,
- $(\mathbb{Z}_3 \oplus (\mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_2), +)$ 。

【解答】：后三者是同構(gòu)的，和第一個(gè)不同構(gòu)。

下列階 Abel 群中, 哪些是循環(huán)群?
- $(\mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_{25}, +)$ ,
- $(\mathbb{Z}_2 \oplus (\mathbb{Z}_5 \oplus \mathbb{Z}_5), +)$ ,
- $(\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_{50}, +)$ ,
- $(\mathbb{Z}_{10} \oplus \mathbb{Z}_{10}, +)$ 。

【解答】因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=4" alt="4" mathimg="1">和 $25$ 是互素的，因此只有第一個(gè)群是循環(huán)群，剩下的三個(gè)都不是循環(huán)群。

設(shè) $G$ 是一個(gè)群, 證明: 映射 $\sigma: x \mapsto x^{-1}$ 是 $G$ 到自身的同構(gòu)映射當(dāng)且僅當(dāng) $G$ 是 $Abel$ 群。
【解答】： $\sigma(xy) = (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}$
$\sigma(x)\sigma(y) = x^{-1}y^{-1}$ 再根據(jù) $\sigma$ 是自同構(gòu)，我們有
$y^{-1}x^{-1}= x^{-1}y^{-1}$ 這說明 $G$ 是一個(gè) $Abel$ 群。
證明: 如果群 $G$ 的每一個(gè)非單位元的階都為 $2$ , 那么 $G$ 必為 Abel 群。
【證明】這說明對(duì)于任意的 $x \in G$ 都滿足 $x^2 = e$ 也就是說 $x^{-1} = x$ ，那么我們構(gòu)造映射 $\sigma: x \mapsto x^{-1}$ 就是 $G$ 上的恒等變換，他顯然是一個(gè)自同構(gòu)，那么根據(jù)13題的結(jié)論， $G$ 是一個(gè) $Abel$ 群。
證明: 如果群 $G$ 的階為偶數(shù), 那么 $G$ 必有 $2$ 階元。
【證明】我們考慮 $x \in G$ ，滿足 $x^2 \neq e$ 的情況，這樣就說明 $x \neq x^{-1}$ ，那么一個(gè)元素 $x$ 和他的逆元 $x^{-1}$ 就可以兩兩配對(duì)。根據(jù)群 $G$ 的階數(shù)目為偶數(shù)，那么剩下的滿足 $x^2 = e$ 的元素必有偶數(shù)個(gè)。而這個(gè)方程顯然有一個(gè)解是單位元 $e$ ,除掉單位元后，一定有非單位元的解，也就是這個(gè)群中的二階元。