【教學(xué)內(nèi)容】

人教版五年級(jí)上冊(cè)和第六單元第91頁(yè)、92頁(yè)例2及練習(xí)

【教材與學(xué)情分析】

《三角形的面積》一課屬于“圖形與幾何”，是小學(xué)數(shù)學(xué)人教版五年級(jí)上冊(cè)的學(xué)習(xí)內(nèi)容。教材把內(nèi)容安排在學(xué)生學(xué)習(xí)了三下《長(zhǎng)方形的面積》、四下《三角形的認(rèn)識(shí)》以及五上《平行四邊形的面積》等知識(shí)之后。由于常見的多邊形（包括圓）都可以分成若干個(gè)三角形，因此不但求多邊形面積時(shí)可以先求出各個(gè)三角形面積再相加，包括面積公式都可以利用三角形面積公式進(jìn)行推導(dǎo)?？梢哉f本課內(nèi)容具有承上啟下的作用，其核心地位毋庸置疑。

人教版教材中僅提供了“倍拼”這個(gè)方法，引導(dǎo)學(xué)生將直角、銳角、鈍角三類三角形轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的平行四邊形，與此同時(shí)舍棄了格子圖。那么大部分學(xué)生會(huì)自覺想到將三角形倍拼轉(zhuǎn)化成平行四邊形呢？還是轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形呢？在沒有格子圖支撐下，學(xué)生能否順利推導(dǎo)出三角形的面積公式呢？教材為何這樣安排？

基于上述問題與書本理論闡述，我設(shè)計(jì)前測(cè)了解本班學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)。測(cè)查如下圖所示，在五（1）班上交前測(cè)單的學(xué)生中，能自主探究求出直角三角形面積并推導(dǎo)公式的有22人，占84.6%，并且都選擇了研究格子圖中的直角三角形。能探究求出銳角三角形面積的只有8人，占30.7%，能探究求出鈍角三角形面積的只有1人，占3.8%。分析后得出學(xué)生在學(xué)習(xí)能力以及方法的選擇上存在以下幾個(gè)問題：

圖1 圖2 圖3

問題一：操作能力較弱，推導(dǎo)生硬。

根據(jù)前測(cè)顯示探究銳角三角形面積時(shí)，哪轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的思路，操作中仍是相當(dāng)困難，鈍角三角形同上。以探究較成功的直角三角形面積為例，轉(zhuǎn)化成功的也只有84.6%。另外圖1顯示所轉(zhuǎn)化成的圖形與原直角三角形面積是否相等出現(xiàn)判斷失誤，圖3則沒有在算式中體現(xiàn)推導(dǎo)出的結(jié)果。結(jié)論正確，但在訪談中得知是通過提前預(yù)習(xí)知道了結(jié)論。

問題二：轉(zhuǎn)化對(duì)象單一，探究遇挫。

在探究直角三角形面積的過程中，學(xué)生通過割補(bǔ)法、倍拼法轉(zhuǎn)化，但轉(zhuǎn)化成的圖形都是長(zhǎng)方形。探究銳角三角形面積的8名學(xué)生中有7位轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。探究銳角三角形和鈍角三角形面積時(shí)大部分學(xué)生（圖2所示）無(wú)從下手。全班僅有1名學(xué)生將銳角三角形和鈍角三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形推導(dǎo)公式。究其原因，大部分學(xué)生圖形構(gòu)造能力尚未達(dá)到“合同構(gòu)圖者”的層次。

基于上述學(xué)情，筆者認(rèn)為要以轉(zhuǎn)化思想貫穿整節(jié)課，在直觀操作基礎(chǔ)上加以推理，積累并運(yùn)用基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解決問題，力求提升思維層次。

【教學(xué)目標(biāo)】

１．經(jīng)歷動(dòng)手操作，把三角形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)會(huì)求面積的圖形的過程，進(jìn)而推導(dǎo)出三角形的面積計(jì)算方法并優(yōu)化方法。

２．掌握三角形面積計(jì)算方法，初步感知等底等高三角形面積相等。

３．進(jìn)一步體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的思想，培養(yǎng)演繹推理能力。

【教學(xué)重點(diǎn)】

經(jīng)歷三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用面積計(jì)算公式進(jìn)行正確的計(jì)算。

【教學(xué)難點(diǎn)】

滲透“化歸轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)演繹推理能力。

【教學(xué)關(guān)鍵】

讓學(xué)生經(jīng)歷操作、合作交流、歸納發(fā)現(xiàn)和抽象公式的過程。

【教學(xué)準(zhǔn)備】

1.ppt、三角板。

2．前測(cè)單、3張方格紙。

【教學(xué)過程】

環(huán)節(jié)一：明確目標(biāo)，制定策略。（3分鐘）

1．開門見山，出示課題。

今天這節(jié)課我們學(xué)習(xí)有關(guān)三角形新的知識(shí)——三角形的面積（板書課題）

2．認(rèn)知探底，激發(fā)興趣。

關(guān)于三角形的面積，通過預(yù)習(xí)，你已經(jīng)知道了什么？

（預(yù)設(shè)：三角形的面積=底×高÷2）

3．回顧方法，進(jìn)入探究。

如何驗(yàn)證三角形的面積公式？

回顧探究平行四邊形的面積時(shí)的方法，三角形是否也可以轉(zhuǎn)化成我們熟悉的圖形呢？

（預(yù)設(shè)：轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。）

三角形那么多，怎么研究呢？

（預(yù)設(shè)：分成三類三角形研究）

課件出示三類帶方格背景的三角形:直角三角形、銳角三角形，鈍角三角形。

（過渡：我們先從直角三角形來研究。）

【設(shè)計(jì)意圖】開門見山，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，拋出需要研究的問題，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)。通過回顧舊知，肯定“轉(zhuǎn)化”思想在圖形研究中的重要地位，再通過提問引導(dǎo)學(xué)生分類研究三角形面積，滲透“分類驗(yàn)證”的思想。

環(huán)節(jié)二、借助直觀，分層探究

1．【活動(dòng)一】：自主探究直角三角形的面積

（1）展示探究，暴露問題。

出示前測(cè)單

預(yù)設(shè)：有操作過程，推導(dǎo)內(nèi)容錯(cuò)誤、不完整或者不會(huì)推導(dǎo)。

（2）合作交流，思維碰撞

組內(nèi)互相指一指，說一說自己的想法，還未完成推導(dǎo)直角三角形面積的聽完其他人的發(fā)言后進(jìn)行修改。

（3）共同體展示，全班交流。

以共同體形式有序呈現(xiàn)組內(nèi)學(xué)生的各種作品。

預(yù)設(shè)：

（共同體展示：1號(hào)：大家好，我們組的觀點(diǎn)有……，有請(qǐng)2號(hào)同學(xué)發(fā)言……

以上是我們組的操作過程、思考與結(jié)論，請(qǐng)問其他組有什么補(bǔ)充嗎？）

預(yù)設(shè)1：割補(bǔ)? ? 預(yù)設(shè)2：割補(bǔ)? ? 預(yù)設(shè)3：倍拼? ? 預(yù)設(shè)4：倍拼

圖4 圖5?

圖6 圖7

（3）追問啟思，拓寬視野。

提問：

①為什么不通過數(shù)格子的方法求面積呢？（預(yù)設(shè)：有些不是整格，拼更方便）

②有哪些不同的拼法？（預(yù)設(shè)：割補(bǔ)法、倍拼法）

③只能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形嗎？（預(yù)設(shè)：還可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形）

（4）基于操作，提升思維?

提供每人一個(gè)與圖中完全一樣的直角三角形，操作拼成平行四邊形。

展示圖7：倍拼成平行四邊形。

結(jié)論：直角三角形的面積=底×高÷2

（5）再次探究，歸納直角三角形面積

①提問：任意一個(gè)直角三角形都能這樣轉(zhuǎn)化嗎？請(qǐng)?jiān)谡n前準(zhǔn)備的方格紙上畫一個(gè)任意直角三角形探究。

②學(xué)生操作，匯報(bào)發(fā)現(xiàn)

③歸納：直角三角形的面積=底×高÷2

【設(shè)計(jì)意圖】

①低地板高天花板?；顒?dòng)一提供了兩種直角三角形(其中一個(gè)是帶方格背景的直角三角形)，供學(xué)生自主選擇，讓不同思維層次的學(xué)生進(jìn)行不同的思維訓(xùn)練。之所以先研究直角三角形是因?yàn)樗鼘?duì)于學(xué)生來說研究難度最低，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形最簡(jiǎn)單，提供了較低的學(xué)習(xí)起點(diǎn)。另外學(xué)生借助方格背景直觀操作，降低了研究的抽象性，實(shí)現(xiàn)人人參與。

②重過程又重表達(dá)。根據(jù)前測(cè)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生雖能通過“割補(bǔ)”、“倍拼”自主探究直角三角形的面積，但是推導(dǎo)過程常常出錯(cuò)。因此，在活動(dòng)一里，組織學(xué)生以共同體形式交流、展示，生生互學(xué)。注重在組內(nèi)和全班交流時(shí)通過指一指、說一說，清晰表達(dá)想法，以此培養(yǎng)推理能力。

2.【活動(dòng)二】：合作探究銳角三角形面積和鈍角三角形的面積

（1）明確操作任務(wù)。

銳角三角形和鈍角三角形是否也能解決呢？

出示學(xué)習(xí)單

銳角三角形

鈍角三角形

（2）組織交流發(fā)布。

（呈現(xiàn)典型方法）? ? ? ? ?

A、銳角三角形展示：

圖8? ? ? 圖9? ?

圖10 圖11

預(yù)設(shè)方法1. 割補(bǔ)成長(zhǎng)方形 圖8

預(yù)設(shè)方法2：倍拼成長(zhǎng)方形? 圖9

追問：只能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形嗎？（預(yù)設(shè)：還可以拼成平行四邊形）

預(yù)設(shè)方法3：倍拼成平行四邊形 圖10

再次追問：還能轉(zhuǎn)化成什么？（預(yù)設(shè)：轉(zhuǎn)化成兩個(gè)直角三角形相加）

預(yù)設(shè)方法4：割成兩個(gè)直角三角形 圖11

直角三角形+直角三角形：

5×4÷2-2×4÷2

=（5-2）× 4 ÷ 2

B、鈍角三角形展示：

圖11 圖12

提問：現(xiàn)在用割補(bǔ)法還能輕松拼成長(zhǎng)方形嗎？

預(yù)設(shè)方法1：將鈍角三角形旋轉(zhuǎn)，最長(zhǎng)邊水平放置，然后割補(bǔ)成長(zhǎng)方形。（底邊不是整格，不方便）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

提問：能否從前兩種三角形的研究里得到啟發(fā)呢？

預(yù)設(shè)方法2：倍拼成平行四邊形? ? 圖 11 展示

提問：還能轉(zhuǎn)化成什么？（兩個(gè)直角三角形相減）

預(yù)設(shè)方法3：大直角三角形-小直角三角形：圖 12 展示

5×4÷2-2×4÷2

=（5-2）× 4 ÷ 2

（3）小結(jié)歸納。

提問：哪一種轉(zhuǎn)化方法是探究三類三角形面積通用的？（預(yù)設(shè)：倍拼成平行四邊形）

歸納得出統(tǒng)一公式：

三角形的面積=底×高÷2

S=ah÷2

【設(shè)計(jì)意圖】

①用好方格?；顒?dòng)二依然采用了方格背景，不同于活動(dòng)一的是此時(shí)方格沒有標(biāo)注每格邊長(zhǎng)為1厘米，不同層次的學(xué)生對(duì)于方格有不同的理解，層次高的孩子可以理解為每格為一個(gè)單位。

②突破難點(diǎn)?；顒?dòng)二碰到問題：轉(zhuǎn)化對(duì)象單一。如何突破呢？探究銳角三角形時(shí)筆者通過不斷追問“只能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形嗎？”“還能轉(zhuǎn)化成什么？”一次次打破學(xué)生思維的局限性。引導(dǎo)學(xué)生想一想、畫一畫，倍拼成平行四邊形或者分割成直角三角形。探究鈍角三角形時(shí)方法同上。學(xué)生的每一次操作與思考都成為研究新三角形的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

環(huán)節(jié)三、活學(xué)巧練，拓展應(yīng)用? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

（一）基礎(chǔ)訓(xùn)練

圖13

1.看圖求面積。

a.算一算

預(yù)設(shè)1：3×4÷2

預(yù)設(shè)2：5×2.4÷2

b.想一想：3×4求的是什么圖形的面積？5×2.4呢？

Ppt展示：? ? ? ? ? ? ? ?

圖14 圖15 圖16 圖17

【設(shè)計(jì)意圖】①熟悉三角形面積計(jì)算公式 ；②會(huì)說三角形面積算式的幾何意義

2. 下圖中與陰影部分面積相待的三角形有幾個(gè)？它們?yōu)槭裁聪嗟?？你還能在圖中畫出一個(gè)與它們面積相等的三角形嗎？試試看。? ? ? ?

a.嘗試畫圖

b．展示典型作品。

（預(yù)設(shè)：有2個(gè)，因?yàn)樗鼈兺椎雀?。圖如下）

圖18 圖19

c．填表（預(yù)設(shè)）：

底/cm 3 4 6 12 1 5

高/cm 4 3 2 1 12 2.4

d.小結(jié)，說說自己的發(fā)現(xiàn)。

（預(yù)設(shè)：面積相等的三角形，底與高的積相等）

【設(shè)計(jì)意圖】此題設(shè)計(jì)由易到難，給學(xué)生圖形構(gòu)造足夠的空間，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的觀點(diǎn)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)公式的含義，體會(huì)底、高與面積之間的關(guān)系。

（二）拓展練習(xí)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

圖20

1.求出三角形的周長(zhǎng)，你能想出幾種方法？

a.算一算，

預(yù)設(shè)1： 3×4÷2=6(平方厘米)

? ? ? ? 6×2÷2.4=5（厘米）

? ? ? ? 5+4+3=12（厘米）

預(yù)設(shè)2： 3×4÷2.4=5（厘米）

5+4+3=12（厘米）

預(yù)設(shè)3： 2.4×X=3×4

? ? ? ? ? ? X=5

5+4+3=12（厘米）

【設(shè)計(jì)意圖】本題涉及三角形面積和周長(zhǎng)，綜合考察學(xué)生解決幾何圖形的能力。方法一體現(xiàn)逆向思維求角，方法二體現(xiàn)：面積相等的三角形底與高的積相同。方法三復(fù)習(xí)用方程求解三角形的面積。

2.求出圖中③的面積。?

提問：在沒有底與高的條件下如何求面積？

圖21 圖22

預(yù)設(shè)：（如上圖）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

【設(shè)計(jì)意圖】此題思維含金量比較高，結(jié)合輔助線理解。考查學(xué)生綜合應(yīng)用幾何知識(shí)的能力。

【作業(yè)設(shè)計(jì)】

1.長(zhǎng)方形面積為30平方厘米，求陰影部分面積。

圖22

2．閱讀三角形的面積的相關(guān)資料（之江匯作業(yè)）。

3．合作探究：梯形的面積怎么求？能否應(yīng)用三角形的

面積公式進(jìn)行推導(dǎo)？

板書設(shè)計(jì)：

【教學(xué)反思】

本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)基于學(xué)情，引領(lǐng)孩子實(shí)現(xiàn)了如下三個(gè)方面的提升：

一、突破思維局限，優(yōu)化方法。

基于“讓不同學(xué)生有不同發(fā)展”的教學(xué)理念，在驗(yàn)證直角三角形面積的環(huán)節(jié)里，借助簡(jiǎn)單的“學(xué)材”——方格，先小組合作交流，共同體展示探究直角三角形面積的過程，發(fā)散思維，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化方法的多樣化和轉(zhuǎn)化對(duì)象的多樣化。然后以此為經(jīng)驗(yàn)探究銳角三角形面積和鈍角三角形面積。最后歸納總結(jié)，優(yōu)化方法（倍拼成平行四邊形再除以2）。學(xué)生在有目的的操作中，思維能力得到了提升。

二、提升推理能力，基于直觀。

整節(jié)課“轉(zhuǎn)化思想”貫穿始終，注重結(jié)合直觀操作進(jìn)行推理，合作交流中注重清晰表達(dá)。嘗試應(yīng)用剛推導(dǎo)出的直角三角形面積公式推導(dǎo)另兩類三角形的面積公式，為以后的梯形面積推導(dǎo)打下基礎(chǔ)。

三、抓住內(nèi)容本質(zhì)，透過提問

本節(jié)課的關(guān)注教學(xué)問題的設(shè)計(jì)。高階問題：可是三角形那么多，怎么研究呢？追問：只能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形嗎？還有什么不同的方法嗎？你從直角三角形和銳角三角形的面積研究中得到什么啟發(fā)？算式的意義是什么？……以問題促進(jìn)思考，深入理解。

在這一節(jié)課的教學(xué)中，我以“操作---推理”相結(jié)合的想法為指導(dǎo)，從研究直角三角形入手，分類驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生步步深入探究，驗(yàn)證結(jié)論。每個(gè)孩子都感悟到學(xué)習(xí)的樂趣。