今天閱讀了課題17《 面積的定義應該突出數(shù)學本質(zhì)》。長度、面積、體積三者分別從一維二維三維角度來認識事物。三者有沒有共性的地方呢？除了都是用單位去度量，還有更深刻的，更體現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)的東西嗎？跟隨閱讀去發(fā)現(xiàn)。

一、面積的定義是什么?

描述性：物體表面或封閉圖形的大小就是它們的面積。（教科書）

……大小就是面積就生活化的一種描述。我們教學的時候，有的時候會去關注“表面”“封閉”，其實這些詞都是生活化的，顯而易見，并不能很好揭示其數(shù)學本質(zhì)。

下定義：幾何學的基本度量之一，用以度量平面或曲面上一塊區(qū)域大小的非負數(shù)通常以邊長為單位長的正方形的面積為度量單位。（辭海第6版，這里將正數(shù)改為非負數(shù)更為符合，圖形面積可以是0。）

書中還介紹了現(xiàn)代數(shù)學中的測度理論：說明面積的定義，既可以作為一種定義，也可以作為計算面積的方法。這樣的方法符合有限可加性、運動不變性和正則性。前兩個性質(zhì)顧名思義，最后的正則性簡單來說就是單位，度量標準。

二、長度、面積如何進行區(qū)分？

結合實際教學過程中，相當一部分孩子關于長度和面積，有的時候混淆不清。

出現(xiàn)這樣的混淆，一方面孩子還沒有建立起自己關于面積的認知結構，沒有深入內(nèi)化到看到面積就想到本質(zhì)是單位面積去覆蓋度量。

另一方面，生活經(jīng)驗的影響。長度我們可以用尺子去衡量，那么看到長方形面積學生也很容易想到用尺子去測量。但是面積測量的不是長方形的長和寬，而是看這個長方形被多少個小正方形覆蓋。

除了利用活動動手操作等各種方法，讓孩子在頭腦中建構好自己，關于長度，面積數(shù)學概念的認知結構。還要有意識的讓孩子進行辨析，區(qū)分兩者的不同。但其本質(zhì)還是概念的建構。

三、長度、面積、體積的教學結構上的一致性？

那么長度面積體積在教學結構上的一致性，我們還是可以回到書中提及的測度理論。當然不是用這樣的數(shù)學中的術語去直接告訴孩子。而是教師心中有數(shù)，有意識地將這種這些思想方法滲透到三者概念的教學過程中。

1.有限可加性。

長度就是單位長度的累加。例如測量一只鉛筆有多長，用直尺測量，一厘米一厘米的累加得到最后的長度。

面積就是單位面積的累加。例如一個長方形的面積有多大？用1平方厘米的小正方形去鋪，一平方厘米，一平方厘米的累加最后得到面積。

體積就是單位體積的累加。例如一個長方體的面積有多大？用1立方厘米的小正方體去堆，一立方厘米，一立方厘米的累加最后得到體積。

2.運動不變性。

舉個例子長度1厘米，面積1平方厘米，體積1立方厘米不管處在何處，什么位置他們都是1厘米，1平方厘米，1立方厘米。

3.正則性。

那就是單位和標準。以長度單位為例，當我們用一米的米尺去度量一支鉛筆的長度，那明顯是不合適的。用一分米一分米去度量這只鉛筆，結果不一定是整數(shù)。用一厘米一厘米去度量這支鉛筆?；蛘哂靡缓撩滓缓撩兹ザ攘窟@支鉛筆，得到的結果會越來越精確。也就是范單位太大，那么我們要尋找更小一點更合適的單位去度量。

最后關于長方形的長寬從自然數(shù)到小數(shù)到分數(shù)的銜接推導畫了簡單示意圖思考，也是很有意思的一個點。

拓展閱讀：

張奠宙《數(shù)學教育隨想記》

1253字2022.11.26