Viewing Transformation（觀測(cè)變換）

一.View/Camera Transformation(視圖變換)

視圖變換主要包含模型變換和視圖（攝像機(jī)）變換，統(tǒng)稱為視圖變換。

什么是視圖變換？

模型-視圖-投影變換，簡(jiǎn)稱“MVP變換”

• M:model transformation
  • 設(shè)置好場(chǎng)景
  • ex: 選好地方人擺好姿勢(shì)
• V:view tranforamtion
  • 設(shè)置好Camera的look at方向和up方向
  • ex：找到一個(gè)角度放置照相機(jī)
• P:projection tranformation
  • 將camera看向的3d內(nèi)容轉(zhuǎn)換為2d畫(huà)面
  • ex：拍照

model/view變換常常同時(shí)進(jìn)行，由下方視圖變換章節(jié)可知，做視圖變換時(shí)根據(jù)相對(duì)靜止，模型也同時(shí)應(yīng)用變換。

如何做視圖變換？

1.定義照相機(jī)

1. postion 定義相機(jī)的位置
2. look-at/gaze direction 定義相機(jī)看向的方向
3. up direction 設(shè)定相機(jī)的up-direction

一個(gè)位置，兩個(gè)向量，則可以確定一個(gè)相機(jī)，以上則是觀測(cè)矩陣所需要的初始的定義。

2.觀察

前提：當(dāng)物體與相機(jī)保持相對(duì)靜止時(shí)，相機(jī)與物體無(wú)論如何移動(dòng)，觀察的結(jié)果不變。

因此，進(jìn)行以下的處理：

• (1) 處理：變換相機(jī)到標(biāo)準(zhǔn)中心:

  放在原點(diǎn)、up方向?yàn)橄蛏系膟軸，看向-z方向

• (2) 模型隨相機(jī)一起運(yùn)動(dòng)

好處：簡(jiǎn)化很多操作

• 設(shè)相機(jī)在e點(diǎn)上，look at/gaze direction的方向?yàn)間，up方向?yàn)閠
• 現(xiàn)在需要把相機(jī)移動(dòng)到原點(diǎn)，向量g旋轉(zhuǎn)到-z上，t旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)正半軸上。

基本步驟：

1. 平移，將e點(diǎn)移動(dòng)到原點(diǎn)
2. 旋轉(zhuǎn)g到-z方向
3. 旋轉(zhuǎn)向上方向t到+y上
4. 前面步驟完成后，自然而然地gxt的方向就在+x方向了。

上述步驟使用矩陣表示

1. Tview 平移矩陣

   
   

2. Rview 旋轉(zhuǎn)矩陣

由g,t,gxt旋轉(zhuǎn)到-z,y,x上矩陣難寫，可以利用旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣（正交矩陣的逆等于轉(zhuǎn)置）的特性:

• 先求Rview的逆->Rview-1（即x，y,-z旋轉(zhuǎn)到gxt,t,g）,
• 再對(duì)Rview-1求轉(zhuǎn)置得到Rview。

二、Projection Transformatio(投影變換)

1. 正交投影：假設(shè)相機(jī)拿到無(wú)限遠(yuǎn)，近平面與遠(yuǎn)平面完全一樣大小。

2. 透視投影，frustum中內(nèi)容成像到近平面上

1、正交投影<br />Orthographic projection

無(wú)近大遠(yuǎn)小.

基本思想

1. 設(shè)置camera在原點(diǎn)，gaze /look at方向?yàn)?z，up方向?yàn)?y
2. 舍棄物體z值，使物體的z都等于0，至此所有物體都只在x軸跟y軸上，攝像機(jī)看到的就是x、y平面上的一張圖。
3. 將物體都擠壓到規(guī)范正方形[-1,1][-1,1],這一步是約定俗稱的操作，為了方便后面的計(jì)算。

圖形學(xué)中的實(shí)際操作：

• 1. 定義空間中的立方體，[lxr]x[b,t]x[f,n]。f<n,因?yàn)橛沂窒?，camera延著-z方向看
• 2. 中心位于((r+l)/2,(t+b)/2,(n+f)/2)的立方體延著(-(r+l)/2,-(t+b)/2,-(n+f)/2)平移到原點(diǎn)。
• 3. 將其給拉成一個(gè)[-1，1]的正則（canonical）立方體

數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)

2、透視投影：<br />Perspective projection

符合人眼成像，近大遠(yuǎn)小，平行線遠(yuǎn)處會(huì)相交

基本思想：

1. 將frustom擠壓成一個(gè)長(zhǎng)方體
2. 再做一次正交投影

如何擠？

定義：

1. 在擠壓的過(guò)程中，近平面任何一個(gè)點(diǎn)的x,y,z值永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)生變化。

2. 在擠壓過(guò)程中，遠(yuǎn)平面上的Z值不會(huì)發(fā)生變化。

3. 擠壓過(guò)程中，遠(yuǎn)平面的中心點(diǎn)也不會(huì)發(fā)生變化。

擠壓過(guò)程：

1. 從側(cè)面觀察，根據(jù)相似三角形可得y'=(n/z)*y

   
   

2. 同理可得x’

   
   

3. 結(jié)果的點(diǎn)可以寫成一個(gè)齊次坐標(biāo)矩陣，然后同乘z后，仍然表示同一個(gè)點(diǎn)

   
   

4. 寫出變換矩陣表達(dá)式，原來(lái)的點(diǎn)經(jīng)過(guò)變換矩陣后，得到第3步表示的點(diǎn)

   
   

5. 由第4步，可以反推變換矩陣的形式如下：

   
   

   • M的第3行一定與z'有關(guān)系。

     
     

6. 根據(jù)前述的定義：

• 近平面上的點(diǎn)x、y、z值不變。取點(diǎn)（x,y,n），得到結(jié)果后同乘n
  

  
  觀察結(jié)果第3行=n*n，與x、y無(wú)關(guān)，因此M前兩項(xiàng)必為0：M的第3行=(0,0,A,B)
  

• 遠(yuǎn)平面上的點(diǎn)的z值不變。取點(diǎn)(0,0,f),代入上述求到的(0,0,A,B）——變換矩陣第三行

綜上兩個(gè)等式，變換矩陣求解完畢

課后思考：

在將frustum擠壓為Cuboid的過(guò)程中，已知遠(yuǎn)平面和近平面的Z'不變，那么近平面與遠(yuǎn)平面之間的z，z’相對(duì)z如何變化，更近了還是更遠(yuǎn)了？

• 解答
  設(shè)任意點(diǎn)(x,y,z)經(jīng)M變換

  
  
  
  

  注意點(diǎn)：camera在原點(diǎn)看向-z方向，所以n+f<0

綜上，z’相對(duì)z減小，更接近遠(yuǎn)平面了

小結(jié)：

本節(jié)課主要講述觀測(cè)變換（Viewing Transformation）——三維的場(chǎng)景轉(zhuǎn)換為二維的畫(huà)面。觀測(cè)變換包括：

1. 視圖變換（M、V）

• 視圖變換包含模型變換（Model Transformation）與視圖變換Viewing Transformation，兩者通常同時(shí)進(jìn)行，統(tǒng)稱為視圖變換。
• 這一步的目的是將攝像機(jī)擺放到look at/gaze方向?yàn)?z方向，up為+y，位置為原點(diǎn)的方向，包含平移與旋轉(zhuǎn)過(guò)程，物體跟隨相機(jī)同步變換。
• 變換矩陣最終實(shí)際上是作用到物體上，因?yàn)閼?yīng)用到物體后，我們就知道這時(shí)攝像機(jī)就已經(jīng)擺放到指定位置。
• 求旋轉(zhuǎn)變換矩陣的過(guò)程中根據(jù)正交矩陣的性質(zhì)，可以通過(guò)求逆矩陣的方式計(jì)算，計(jì)算非常方便。

2. 投影
   投影分為：

• 正交投影

  
  
  • 求將立方體映射到[-1,1]x[-1,1]x[-1,1]的標(biāo)準(zhǔn)立方體（canonical cube）的變換矩陣。
  • 無(wú)近大遠(yuǎn)小，工程制圖應(yīng)用多。

• 透視投影

  
  
  • 先將四棱錐frustum“壓縮成”立方體
  • 再進(jìn)行正交投影。
  • 近大遠(yuǎn)小，更符合人眼

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