1.插值多項(xiàng)式的震蕩
用 Lagrange 插值多項(xiàng)式)
近似(a%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%20b))
，雖然隨著節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加，的次數(shù)
變大，多數(shù)情況下誤差%5Cright%7C)
會(huì)變小。但是增大時(shí)，的光滑性變壞，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)很大的振蕩。理論上，當(dāng)
，在![[a, b]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Ba%2C%20b%5D)
內(nèi)并不能保證處處收斂于)
。Runge給出了一個(gè)有名的例子：
![f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}, \quad x \in[-5,5]](https://math.jianshu.com/math?formula=f(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E%7B2%7D%7D%2C%20%5Cquad%20x%20%5Cin%5B-5%2C5%5D)
對(duì)于較大的
，隨著的增大，震蕩越來(lái)越大，事實(shí)上可以證明，僅當(dāng)
時(shí)，才有%3Df(x))
，而在此區(qū)間外，是發(fā)散的。
高次插值多項(xiàng)式的這些缺陷，促使人們轉(zhuǎn)而尋求簡(jiǎn)單的低次多項(xiàng)式插值。
2.分段線性插值
簡(jiǎn)單地說(shuō)，將每?jī)蓚€(gè)相鄰的節(jié)點(diǎn)用直線連起來(lái)，如此形成的一條折線就是分段線性插值函數(shù)，記做)
,它滿足%3Dy_%7Bi%7D)
，且在每個(gè)小區(qū)間![\left[x_{i}, x_{i+1}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cleft%5Bx_%7Bi%7D%2C%20x_%7Bi%2B1%7D%5Cright%5D)
是線性函數(shù))
。
可表示為
%3D%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn%7D%20y_%7Bi%7D%20l_%7Bi%7D(x))
![l_{i}(x)=\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-x_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}}，x \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right]（i=0時(shí)舍去） \\ {\frac{x-x_{i+1}}{x_{i}-x_{i+1}}} ，x \in\left[x_{i}, x_{i+1}\right]（i=n時(shí)舍去）\\ {0}，其他\end{array}\right.](https://math.jianshu.com/math?formula=l_%7Bi%7D(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%7B%5Cfrac%7Bx-x_%7Bi-1%7D%7D%7Bx_%7Bi%7D-x_%7Bi-1%7D%7D%7D%EF%BC%8Cx%20%5Cin%5Cleft%5Bx_%7Bi-1%7D%2C%20x_%7Bi%7D%5Cright%5D%EF%BC%88i%3D0%E6%97%B6%E8%88%8D%E5%8E%BB%EF%BC%89%20%5C%5C%20%7B%5Cfrac%7Bx-x_%7Bi%2B1%7D%7D%7Bx_%7Bi%7D-x_%7Bi%2B1%7D%7D%7D%20%EF%BC%8Cx%20%5Cin%5Cleft%5Bx_%7Bi%7D%2C%20x_%7Bi%2B1%7D%5Cright%5D%EF%BC%88i%3Dn%E6%97%B6%E8%88%8D%E5%8E%BB%EF%BC%89%5C%5C%20%7B0%7D%EF%BC%8C%E5%85%B6%E4%BB%96%5Cend%7Barray%7D%5Cright.)
I_{n}(x)有良好的收斂性，即對(duì)于x \in[a, b]有，
%3Df(x))
有計(jì)算
點(diǎn)的插值時(shí)，只用到左右的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，計(jì)算量與節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù) 無(wú)關(guān)。但越大，分段越多，插值誤差越小。實(shí)際上用函數(shù)表作插值計(jì)算時(shí)，分段線性插值就足夠了，如數(shù)學(xué)、物理中用的特殊函數(shù)表，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中用的概率分布表等。
3.用Matlab實(shí)現(xiàn)分段線性插值
用 Matlab 實(shí)現(xiàn)分段線性插值不需要編制函數(shù)程序，Matlab 中有現(xiàn)成的一維插值函數(shù) interp1。
y=interp1(x0,y0,x,'method')
method 指定插值的方法，默認(rèn)為線性插值。其值可為：
| method值 |
功能 |
| 'nearest' |
最近項(xiàng)插值 |
| 'linear' |
線性插值 |
| 'spline' |
逐段3次樣條插值 |
| 'cubic' |
保凹凸性3次插值 |
所有的插值方法要求 x0 是單調(diào)的。
當(dāng) x0 為等距時(shí)可以用快速插值法，使用快速插值法的格為'*nearest'、'*linear'、
'*spline'、'*cubic'。
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