題目如下圖1。

圖1

解法1

因比值與圓的大小無關(guān)，故不妨設(shè)AC=1,則AB=。

角ADC為直角，設(shè)DA=,DC=,則。

如圖2，過B點作BQ垂直DC延長線于Q。

圖2

由角ADC=角ACB=角CQB=90度，AC=BC，易證

CQ=DA=，QB=DC= ,? DQ=,

在.

DE+EB=DB? （1）

? （2）

由(1)、(2)可得：

所求最小值為，當(dāng)時取得。

解法1雖然不難想到，但還是講一下它的來歷，是怎么想到的，關(guān)鍵的思維之道有哪些？

? 1）模式識別。觀察圖形，見微知著(局部到整體，到系統(tǒng)，小中見大，要有升格意識)，見有思無。觀察圖形，發(fā)現(xiàn)角ACB附近的幾何結(jié)構(gòu)與K形圖(一線三等角、三垂直)模型存在部分類似。也就是看到“角ACB、角ADC為90度”，這是看到的"微、小、部分"或"局部"，從這些蛛絲馬跡見微知著聯(lián)想到K形圖模型，這個模型就是“著”(大、整體、系統(tǒng))。也可看出”見微知著”是”模型思想”的先導(dǎo)或藥引子，它可以把思考者的思緒導(dǎo)向?qū)?yīng)的數(shù)學(xué)模型，當(dāng)然它不僅僅只是”模型思想”的先導(dǎo)，它作為底層認(rèn)知邏輯，也可作其他思維方法、思想方法的先導(dǎo)，例如軌跡思想、集合思想、構(gòu)造思想等。

? 此題中的K形圖不完整，把它與K形圖模型比較一下就知道存在差異，還缺一個直角。自然而然想到完形補美：存在差異就消除差異，差啥就補啥，就配湊啥，就微調(diào)啥。故見微知著地完形構(gòu)造：作直角BQC，補齊三個直角，產(chǎn)生完整的K形圖實例。

? 我們知道”觀察、比較、分類、關(guān)聯(lián)(聯(lián)結(jié))”是我們常用的基礎(chǔ)的認(rèn)知方法，而“見微知著，小中見大，窺一斑而見全豹，見有思無，有中生無，無中生有，有無相生”是認(rèn)知的底層邏輯之一。這些底層認(rèn)知邏輯在數(shù)學(xué)思維活動中得到廣泛運用，在幾何、代數(shù)等解題中的運用隨處可見。

? 人類通常很難對事物、本質(zhì)都一覽無余，都是在獲得部分信息的基礎(chǔ)上，小(部分、局部)中見大(整體、系統(tǒng))，試圖推導(dǎo)出整體，從表象與膚淺走向本質(zhì)與深刻。例如在幾何解題中，看到相等的兩條線段交于一點(共一個端點)，我們會見微知著，相似聯(lián)想到幾何中的旋轉(zhuǎn)變換，因為”相等的兩條線段交于一點”這個微這個蛛絲馬跡與幾何旋轉(zhuǎn)變換的一部分性質(zhì)是相同的或類似的：繞某一點(旋轉(zhuǎn)中心)旋轉(zhuǎn)時，以該旋轉(zhuǎn)中心為端點的線段旋轉(zhuǎn)后保持不變(相等)，所以可以聯(lián)想到”著”(旋轉(zhuǎn)變換)。當(dāng)然只要是對應(yīng)線段都相等，與是否過旋轉(zhuǎn)中心無關(guān)，所以有時看到兩條線段相等或要證明它們相等，即便這兩條線段沒有公共端點，有時也可“見微知著”聯(lián)想到旋轉(zhuǎn)變換或證三角形全等。再比如，當(dāng)看到兩條線段相等，兩個角相等(這兩條相等線段分別是兩個角的一條邊)，我們往往見微知著想到全等三角形模型，之后再根據(jù)全等的三個條件，還缺少一個全等條件，這個缺少的條件是隱藏的，故作輔助線創(chuàng)造出缺少的這個條件，化隱為顯，完形補美。構(gòu)造三角形相似模型也是類似的。

再比如，軌跡思想啟發(fā)你的思維從單個動點想到動點的軌跡(動點集合形成的幾何結(jié)構(gòu))，而不要只盯著單個動點，軌跡思想和集合思想都有“見微知著”作為其底層邏輯。

? 見微知著作為底層認(rèn)知邏輯在代數(shù)問題中的應(yīng)用就不舉例了。

? ”見有思無，有中生無，無中生有，有無相生”。這些其實就是創(chuàng)新與探索發(fā)現(xiàn)的能力。可以從見微知著的角度來作下解釋?？吹礁鞣N現(xiàn)象觸發(fā)人們思考現(xiàn)象背后隱藏的本質(zhì)與規(guī)律，萬事萬物負(fù)陰抱陽，都有陰與陽/有與無的兩面?，F(xiàn)象是”有”，屬陽，一般是可見的，明顯的，而大道無形，本質(zhì)和規(guī)律是”無”，屬陰?！睙o”不是沒有，不是不存在，而是因為它們是隱藏的、被掩蓋的、善變的、無形的、幽暗的，不容易看到，不容易被發(fā)現(xiàn)，需要有思維智慧和慧眼來發(fā)現(xiàn)它們，如幾何題中的輔助線、問題中潛藏的數(shù)學(xué)模式，物理中的磁場和暗物質(zhì)，雖然肉眼看不見，但存在，需要有慧眼，需要思維智慧猜想想象出它們的存在或發(fā)現(xiàn)它們的存在，并通過實驗加以驗證。

? ? 在海上航行看到露出海面上的冰山，露出海上的冰山是”有”，見微知著想到&知道在海面下還隱藏著不可見的冰山。海面下的這些不容易看見的冰山是”無”，而通過海上的冰山想到海面下關(guān)聯(lián)的冰山，我思故我在，想到之后就是”有”了，這就是”見有思無，有中生無”。

? ? 從具體事物、具體方法和實踐中提煉出思想方法也是“有中生無”，相對而言思想方法是“無”，具體方法是“有”。相對而言，具有哲學(xué)性質(zhì)的數(shù)學(xué)思想方法是“無”，而形而下的、數(shù)學(xué)特有的思想方法是“有”。

? ? ”無中生有”的例子也有很多，例如心意識，大腦中的思維活動是無形的(相對而言)，但通過思維活動，發(fā)現(xiàn)發(fā)明很多科學(xué)理論和新事物，這就是無中生有，可見“無”的威力更大，它是“有”之母，有生于無。我們在數(shù)學(xué)解題中，從行動到行動，運用各種思維方法、思維策略和思想方法產(chǎn)生解題思路、解題突破口、解題操作以及解題方法，這也是無中生有。

? ? “有中生無”與“無中生有”合起來就是"有無相生，有無思想”。有與無相互聯(lián)系，相互轉(zhuǎn)化，辯證統(tǒng)一。

2）確定性分析與確定性思想。在一個確定的三角形中，邊上的高把該邊分成確定的兩段。在圖2中，高AE把DB分成DE、EB兩端，這兩段的長度可以通過計算推導(dǎo)，用三條邊的長度來表示，也就是確定了DE、BE與邊長DB、的函數(shù)關(guān)系。從而得出DE/BE比值函數(shù)，再求出該函數(shù)的最小值。

? 確定性思想和函數(shù)思想有關(guān)聯(lián)，確定性思想的層次高于函數(shù)思想。

解法2

? 思緒從解法1中退出來，切換變化思維視角，運用新思維新思想經(jīng)過探索產(chǎn)生解法2。

? 思維思想先行，多思多想，也就是要有靠譜的心動，念頭變化生滅：感覺&直覺審美+辯證法矛盾分析+簡化意識+合情設(shè)想：求的最小值，但這兩條線段長度是變化的，這是不美的地方&痛點&妨礙解題的矛盾，也就是兩條變長線段導(dǎo)致難以求出最小值。

? 從矛盾消除與轉(zhuǎn)化的目的出發(fā)，結(jié)合簡化/化繁為簡的意識，我們進行合情設(shè)想，可產(chǎn)生如下美好的想法：如果能讓一條線段長度固定，也就是把其中一條線段變成定長，心理上覺得可簡化問題，就容易求出最小值。 美好的想法要有，雖然不能保證它一定正確或可行，但萬一實現(xiàn)了呢！

? 合情設(shè)想還有合情推理等屬于非邏輯思維，解題思路和解法的探索與發(fā)現(xiàn)以及解題突破口的發(fā)現(xiàn)，一般是非邏輯思維與邏輯思維的結(jié)合，即合情、辯證、靈活、發(fā)散與適當(dāng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)合，通常更倚重各種非邏輯思維，例如觀察、聯(lián)想、類比、猜想、直覺、試驗、試探等，它們不那么嚴(yán)謹(jǐn)，但在解法探索發(fā)現(xiàn)中極其重要，只有在解法的論證求解階段，才需要嚴(yán)格追求邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。而且鍛煉好邏輯思維本身并不難，例如通過學(xué)習(xí)初高中數(shù)學(xué)和解題來培養(yǎng)學(xué)生們的邏輯思維能力就很容易，如果再把它和非邏輯思維相比，那就更覺得它容易。數(shù)學(xué)思維高手的思維智慧和思維功底體現(xiàn)在對各種非邏輯思維的實踐體驗和領(lǐng)悟提煉上，體現(xiàn)在對各種數(shù)學(xué)思想方法和思維策略的領(lǐng)悟與實踐運用上。

? 由"比值、BE、DE共端點E，且在同一直線上"，這是“微“或局部。我們再次見微知著，相似聯(lián)想到平行線分線段相似模型。

? ? 心動到行動的變現(xiàn)，由上面的一系列心動(包括聯(lián)想到平行線模型)驅(qū)動行動，自然得到如下的解題行動操作：如下圖3所示，過D作AE的平行線DF交BA延長線于F點。，BA是定長(可認(rèn)為BA是定長) ，故轉(zhuǎn)化為求AF的最大值。

圖3

? FA的端點A為定點，F(xiàn)為動點，F(xiàn)A是變化的，似乎不難求出FA的最大值，但實際上直接求FA的最大值有些棘手，DF與FB的夾角是變化的，難以得出D點在圓P的哪個位置時FA取最大值。如果按解法1求出BE、DE的函數(shù)之后求出AF的函數(shù)，倒不如直接用解法1這種偏代數(shù)計算的方法。

? 靈活變通一下，思維方向變一下。角FDB為直角，D點也在以FB為直徑的動圓上，D點是該動圓與圓P(定圓)的公共點(兩圓的交點或切點)。

? AB為定長，故可轉(zhuǎn)化為求出FB的最大值，即可求出FA的最大值。

? 一滴水只有回到大海才不會枯竭，同時也可以看出我們也不是孤立的孤零零的求FB的最大值，而是見微知著，用聯(lián)系的觀點升格問題，擴大思維視野，否定之否定，回歸到包含它的系統(tǒng)&整體，返回到包含它的數(shù)學(xué)模式&數(shù)學(xué)模型中，把FB置于動圓中，置于動圓與圓P圓O的關(guān)系(例如位置關(guān)系)中進行思考，也就是回歸到大場景大系統(tǒng)中求其最大值。

? 但如何求FB的最大值，似乎難以有思路。

? 還是要借助數(shù)學(xué)思想的作用，靠數(shù)學(xué)思想方法給力。各種思想方法都是某一種類型的思維內(nèi)容的生產(chǎn)者或思維方向思維視角的指引者，它們讓你產(chǎn)生靠譜的心動(起心動念、產(chǎn)生念頭)：啟發(fā)你產(chǎn)生某種思維內(nèi)容，切換思維方向或視角。而且日久或?qū)λ鼈凅w驗深刻會產(chǎn)生與這種思想對應(yīng)的自覺的(思想)意識，所以借助它們你就容易有各種想法，就容易發(fā)現(xiàn)解題突破口，提高了解決難題的可能性和效率。例如臨界思想啟發(fā)你的思維要考慮邊界情況，方程思想方程意識啟發(fā)你要注意考慮列方程，也就是在你的思維內(nèi)容中產(chǎn)生列方程的念頭(想法)，有這種念頭之后，自然就激活了你去尋找等量關(guān)系，自然就激活你的方程知識，否則即便你精通各種解方程的數(shù)學(xué)知識，很可能不會想到要列方程來解決問題，那這些數(shù)學(xué)知識也就只能在你大腦中沉睡而不能利用它們來發(fā)揮解題作用。

? 對此題的第二種解法探索，這里采用運動變化思想和臨界思想來進行解法探索，它們可以切換和指導(dǎo)我們思維視角、思維方向和思維內(nèi)容，從而發(fā)現(xiàn)隱藏的本質(zhì)和解題突破口。

? 運動變化思想它是辯證法運動變化觀的變現(xiàn)，是辯證法認(rèn)識論與方法論的統(tǒng)一。?

? 運動變化思想屬于高層的思想，屬于具有哲學(xué)性質(zhì)的形而上的思想，所以它的層次高于很多其它的數(shù)學(xué)思想，比如數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、變換、分類討論等這些形而下的思想方法&數(shù)學(xué)等少數(shù)學(xué)科特有的思想方法，而這些形而下的&特有的思想體現(xiàn)了運動變化思想。當(dāng)然運動變化思想也不是只能高來高去，不接地氣，只能啟發(fā)變化意識，它也是可以如這些形而下的思想方法一樣，可以直接指導(dǎo)我們的數(shù)學(xué)思維活動，指導(dǎo)我們具體如何變(變化的手段)、變什么、變化的方向是什么。

? 數(shù)學(xué)家波利亞：“對一個數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個重要原則”。

? 心動驅(qū)動&決定行動，解題中大腦的思維在運動變化，從而驅(qū)動解題的每一步(紙上、黑板上的行動操作)變化(解題的每一步都是變化)。

? 運動變化思想啟發(fā)我們告訴我們要主動化靜為動，通過考察動態(tài)變化過程，在運動變化過程中窺見問題的本質(zhì)，動中求機(玄機、本質(zhì)模式、規(guī)律)，凸現(xiàn)&發(fā)現(xiàn)隱藏的解題突破口和本質(zhì)。

? ? 與代數(shù)變形類似，在幾何中也有各種幾何變換和多種變化模式，教材中的幾何變換例如旋轉(zhuǎn)、平移、對稱、位似等是典型的幾何變換，也是狹義的。其實從變換的功能視角來看，諸如構(gòu)造全等，構(gòu)造相似，作平行四邊形，作等腰，作平行線等也是幾何變換，都是在變化，它們可以轉(zhuǎn)移可以改變幾何對象的幾何位置和幾何結(jié)構(gòu)，可以轉(zhuǎn)移傳遞數(shù)量關(guān)系，所以要把它們看成廣義的幾何變換。學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識時，在自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中也要有類似這樣的一些認(rèn)知，不要僵化，不要過于嚴(yán)格地理解數(shù)學(xué)教材上的部分內(nèi)容而局限自己的認(rèn)知，從而陷入思維認(rèn)知的定勢陷阱。要自己擴充或泛化教材上的一些認(rèn)知，要有自己的主觀的獨特的看法，要注意在解題中自己提煉領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，提升思維智慧，不能只學(xué)數(shù)學(xué)知識，特別是不能只學(xué)都是陳述型數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)參考書。

? 對這道幾何題，用運動變化的思想結(jié)合臨界思想(邊界、極端思想)求動圓直徑的最大值。運動變化思想指導(dǎo)我們變什么？變直徑FB，變化以FB為直徑的圓。就是讓直徑FB從小到大逐漸變化(遞增),考察在增大直徑的動態(tài)變化過程中，動圓的變化情況，特別是臨界情況，以及動圓與其他幾何對象之間的各種態(tài)勢&趨勢變化，例如位置關(guān)系的變化。

? 如圖4，在FB增大的過程中，必須滿足的一些約束：

? 1）F點始終在A點左側(cè)或與A點重合。動圓圓心在AB直線上，且始終在O點左側(cè)或與O點重合。FB的最小值為AB，此時F點與A點重合，動圓圓心與O點重合。

? ? 2）無論FB為多少，以FB為直徑的動圓始終與圓O相切于定點B，也就是動圓始終在過B點的切線的左側(cè)。

? 3） 動圓始終與圓P有公共點(相交或相切)，公共點為D點。

圖4

? FB增大過程中，變化態(tài)勢如圖4。由于動圓始終在過B點的切線左側(cè)，相當(dāng)于在B點那里放了一塊垂直于FB的擋板(切線)。當(dāng)FB從最小值(等于AB)開始逐漸增大時，動圓如氣球一樣只能向左、向上、向下膨脹，但始終不能超越擋板右側(cè)。所以隨著FB的逐漸增大，很容易得出用文字描述的變化態(tài)勢，即得到如下認(rèn)知：

? 1.動圓變大，動圓圓心在AB直線上逐步向左移動，離O點越來越遠(yuǎn)；

? 2.動圓與圓P(半圓)有兩個交點，這兩個交點都是D點。例如當(dāng)FB為F1B時，動圓與圓P存在兩個交點(公共點)。

? 3.結(jié)合圖4，幾何直觀可以得出：隨著FB的逐漸增大，這兩個交點在圓P(半圓)上構(gòu)成的劣弧會越來越短，也就是兩個交點越來越靠近，動圓與圓P的位置關(guān)系有逐漸分離的趨勢。

? 大腦中進行思維實驗或借助圖4進行直觀想象，可以得到如下認(rèn)知：當(dāng)FB繼續(xù)增大到某個臨界值F2B時，這兩個交點會重合，變成一個點，也就是此時動圓與圓P相切，這就是圖形的臨界(邊界、極端)情況。之后FB如果繼續(xù)增大，動圓與圓P會相離，沒有公共點，故不能繼續(xù)增大，這也是存在性與必要性的必然要求。

? 到這一步應(yīng)該可得到這樣的頓悟：哦，相切是FB取最大值時本質(zhì)的幾何模式。發(fā)現(xiàn)FB取最大值時動圓與圓P必相切，這個發(fā)現(xiàn)就是波利亞所說的“發(fā)現(xiàn)對解題有價值的東西”，也是玄機。

? 可見通過從幾何角度考察FB的變化過程，從幾何對象的運動變化中動中求機(玄機)，借助幾何直觀慧眼識機，凸現(xiàn)了問題中原本隱藏的對解題極為關(guān)鍵的本質(zhì)模式和玄機。

? ? 發(fā)現(xiàn)相切這個玄機之后，下面根據(jù)這個幾何模式(相切)求出兩線段比值的最小值不存在難度了。

? 兩圓相切時，動圓圓心、點P、切點D三點共線。

? 如下圖5，不妨設(shè)AC為2，則AP=PD=1，AB=，AO=。設(shè)兩圓相切時動圓圓心為Q(易知其在線段AO上)，F(xiàn)B為a。則FQ=QB=QD=，QP=QD-PD=，F(xiàn)A=FB-AB=，AQ=FQ-FA=。BE/DE最小值=AB/FA=

圖5

? 角PAQ=45度，在三角形APQ中，過P作AQ垂線，勾股定理列方程求出a之后，即可求出所求的最小值。

總結(jié)

? 對有難度的數(shù)學(xué)題，一般至少存在一個隱藏的認(rèn)知山峰(本質(zhì)、玄機)。在掌握相關(guān)知識的情況下，通常需要借助各種數(shù)學(xué)思維方法、思想方法和思維策略來進行各種探索與分析判斷，化隱為顯，挖掘發(fā)現(xiàn)隱藏的認(rèn)知山峰，激活、組織、編排、選擇數(shù)學(xué)知識來翻越或繞開認(rèn)知山峰。

王國波 2023.3.25

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