接前一篇:數(shù)學(xué)思想方法揭秘-3-3(原創(chuàng))?；?a href="http://www.itdecent.cn/p/2aeb7084113d" target="_blank">前言。
作者：王國(guó)波
初中題
? ? 第9題
? 解方程，求未知數(shù)x。
思維過(guò)程
道隱無(wú)名，要有反隱身能力，善于發(fā)現(xiàn)隱藏的事物、隱藏的關(guān)系、隱藏的規(guī)律、隱藏的條件：敏銳的觀察能力加上聯(lián)結(jié)組合意識(shí)，5-根號(hào)24與5+根號(hào)24對(duì)偶，由對(duì)偶特征聯(lián)想到有理化和平方差，顯然(5-根號(hào)24)*(5+根號(hào)24)=1，也就是這題隱藏著倒數(shù)關(guān)系。化隱為顯，把隱藏的關(guān)系表達(dá)出來(lái)，此處我們把這種關(guān)系用倒數(shù)關(guān)系來(lái)表達(dá)。且5-根號(hào)24 開(kāi)方可化簡(jiǎn)為根號(hào)3-根號(hào)2；5+根號(hào)24開(kāi)方= 根3+根2。這些是我們的觀察成果，要利用好這些成果來(lái)解題，不能輕易丟棄它們，在日常生活中，我們一般是因勢(shì)利導(dǎo)，順?biāo)浦郏鶕?jù)人和事物的特點(diǎn)特性性質(zhì)來(lái)合理使用來(lái)?yè)P(yáng)長(zhǎng)避短，在解題中也是這樣，對(duì)已知條件和發(fā)現(xiàn)的特點(diǎn)，特征、關(guān)系、規(guī)律要善于加以合理利用。
這些都是觀察發(fā)現(xiàn)的題目中隱藏的數(shù)學(xué)對(duì)象之間的橫向聯(lián)系和特點(diǎn)、特征、規(guī)律，另外還要注意找出數(shù)學(xué)題中對(duì)象之間的縱向聯(lián)系，也就是前后或上下之間的聯(lián)系。舉個(gè)非常簡(jiǎn)單的例子，例如對(duì)如下的二元一次方程組:
? ? ? ? 7a + 4b = 13
? ? ? ? 5a -? 4b =? 11
? ? 我們觀察發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)方程(數(shù)學(xué)對(duì)象)之間的縱向聯(lián)系、特點(diǎn)：這個(gè)縱向特點(diǎn)就是b的系數(shù)是相反數(shù)，如何利用這個(gè)特點(diǎn)來(lái)解題？很顯然我們將這兩個(gè)方程相加來(lái)消除b，很快可求出a。
? ? 觀察是有目的、有計(jì)劃的知覺(jué)活動(dòng)。觀察，不只是觀，不只是從事物表面上看看聽(tīng)聽(tīng)而已，不只是被動(dòng)的感覺(jué)，如果只是觀，那就是有眼無(wú)珠、熟視無(wú)睹，浮光掠影，還要察，要積極主動(dòng)地深入分析思考，例如分析推理、分類(lèi)、識(shí)別、聯(lián)想、類(lèi)比等思維活動(dòng)。例如在這題中，我們通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)了題目中的倒數(shù)關(guān)系。
? 除了題目中的橫向、縱向聯(lián)系，其實(shí)聯(lián)系是立體的多維度多層次的，還存在問(wèn)題和知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，問(wèn)題和其他問(wèn)題之間的聯(lián)系。在數(shù)學(xué)解題中要能體會(huì)到辯證法的巨大指導(dǎo)作用：普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)，矛盾觀點(diǎn)等。
? ? 但難題中通常都是存在矛盾的（辯證法中的矛盾，不是邏輯矛盾），這些矛盾會(huì)阻礙我們輕易利用已知條件、特點(diǎn)、特征、熟悉的知識(shí)點(diǎn)。難題中的矛盾描述一般類(lèi)似如下：
? ? 我想運(yùn)用一些熟悉的知識(shí)點(diǎn)和解題方法、經(jīng)驗(yàn)、已知條件、題目特點(diǎn)、特征來(lái)解題，但題目中卻存在一些障礙因素和約束條件來(lái)阻礙我們，導(dǎo)致我們不能直接運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)、已知條件、題目特點(diǎn)、特征。
? ? 對(duì)題目中的關(guān)系、特征、特點(diǎn)、規(guī)律、性質(zhì)、線索，不管是已知條件中的，還是通過(guò)后續(xù)的觀察發(fā)現(xiàn)的，或推理發(fā)現(xiàn)的，都要想辦法利用好它們。如何才能想出辦法來(lái)利用好它們？通常要結(jié)合題目的目標(biāo)(需要證明什么、需要求什么)，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)以及一些低層次的解題方法、數(shù)學(xué)方法來(lái)利用好它們。為何要結(jié)合題目的目標(biāo)，要有的放矢，思維不能天馬行空過(guò)于發(fā)散，因?yàn)榭赡苡卸喾N方法來(lái)利用這些關(guān)系、特征、規(guī)律、性質(zhì)，如果我們結(jié)合題目的目標(biāo)，就可進(jìn)行比較權(quán)衡，可能會(huì)排除掉一些不合適的或非最優(yōu)的方法，得到合適的方法。
? 例如求下圖中函數(shù)的最小和最大值。
觀察這個(gè)函數(shù)，能發(fā)現(xiàn)什么關(guān)系、特征、規(guī)律？
顯然可發(fā)現(xiàn)右邊兩個(gè)根號(hào)式中的4-2x和2x+5這兩項(xiàng)相加為9，是一個(gè)常數(shù)。這個(gè)就是我們觀察發(fā)現(xiàn)的題目中隱藏的特征、關(guān)系、規(guī)律。這個(gè)特征、關(guān)系看起來(lái)微不足道，和警察通過(guò)發(fā)現(xiàn)的蛛絲馬跡斷案一樣，要見(jiàn)微知著，要利用好這些關(guān)系來(lái)解題。
此時(shí)要反問(wèn)自己如何才能利用好這個(gè)關(guān)系、特征。
題目中是兩個(gè)根號(hào)項(xiàng)相加，不好直接利用發(fā)現(xiàn)的關(guān)系，要利用好，須想法去掉根號(hào)，所以接下來(lái)要思考怎樣才能去掉根號(hào)？
聯(lián)想到根號(hào)知識(shí)點(diǎn)和平方，就想到要運(yùn)用平方去掉根號(hào)。平方法是學(xué)過(guò)的低層次的解題方法和數(shù)學(xué)方法。
其實(shí)求這個(gè)函數(shù)最小最大值的題，我們?cè)谏厦娴姆治鲋惺褂玫氖寝q證法中的矛盾分析法：識(shí)別出(找出)問(wèn)題中的矛盾，特別是主要關(guān)鍵矛盾和矛盾的主要方面，題目中的有利因素/條件以及不利因素/條件(利與弊、便利與麻煩)，主要矛盾和不利因素在解題中就是難點(diǎn)的制造者和根源，就是問(wèn)題的死結(jié)，就是它阻礙我們順利解題。這些矛盾、難點(diǎn)、死結(jié)很可能就是我們要想法邁過(guò)去的坎，是我們要關(guān)注的解題突破口和行動(dòng)策略行動(dòng)方向的著力點(diǎn)。分析這些矛盾、難點(diǎn)、死結(jié)，再想法來(lái)解決矛盾，來(lái)轉(zhuǎn)化矛盾，來(lái)打開(kāi)死結(jié)，來(lái)最終確定解題突破口和解題策略從而解決難點(diǎn)。注意辯證法中的矛盾是指對(duì)立不統(tǒng)一，不是邏輯矛盾。數(shù)學(xué)題中的已知條件(題設(shè))和結(jié)論就是一對(duì)矛盾，它們存在內(nèi)在聯(lián)系，但它們從表面上看不統(tǒng)一，存在差異，差異就是矛盾。另外多個(gè)已知條件(解題過(guò)程中得出的一些中間結(jié)論和中間結(jié)果也可認(rèn)為是已知條件)之間也可能存在矛盾。對(duì)這道函數(shù)最值題，我們進(jìn)行觀察、分析、比較，找差異，差異就是矛盾。矛盾1：已知條件就是問(wèn)題現(xiàn)狀，這題就是兩個(gè)根號(hào)相加，這個(gè)是矛盾的一個(gè)方面;要求最值，這是矛盾的第二個(gè)方面，它們存在對(duì)立存在差異存在沖突，根號(hào)阻礙了求最值，根號(hào)就是弊，不利的因素，麻煩制造者，增加了題目的難度，也就是這些根號(hào)的存在導(dǎo)致不便于求最值，這就是辨證法中的矛盾，由于矛盾的對(duì)立，導(dǎo)致出現(xiàn)解題困難，產(chǎn)生了所謂的難題；矛盾二：根號(hào)中的兩項(xiàng)相加為常數(shù)9(矛盾的一個(gè)方面，相加為常數(shù)9也是在題目中隱藏的特征和關(guān)系，我們觀察發(fā)現(xiàn)的成果)，顯然，如果能運(yùn)用這個(gè)特征來(lái)解題那就完美了，這個(gè)特征就是題目中的利好，有利的因素。但所謂的難題就是出題人人為制造沖突，制造不統(tǒng)一，存在矛盾從而使問(wèn)題復(fù)雜化：這兩項(xiàng)卻在根號(hào)中(矛盾的另一方面)，導(dǎo)致不好直接運(yùn)用這個(gè)特征來(lái)解題，也就是矛盾雙方存在對(duì)立沖突，無(wú)法統(tǒng)一。此時(shí)就看我們解決矛盾轉(zhuǎn)化矛盾的能力和藝術(shù)：分析矛盾的兩個(gè)方面，進(jìn)行比較，找差距，找出制造矛盾的不利因素，再想法利用熟悉的知識(shí)點(diǎn)并結(jié)合已知條件、規(guī)律、關(guān)系、特點(diǎn)、特征等來(lái)轉(zhuǎn)化矛盾，來(lái)消除障礙和不利因素，來(lái)轉(zhuǎn)化問(wèn)題，來(lái)想法縮小差距，縮小鴻溝，跨過(guò)鴻溝。
此題我們想到了用平方法這個(gè)知識(shí)點(diǎn)來(lái)去掉根號(hào)，消除這個(gè)解題障礙，利用好觀察發(fā)現(xiàn)的成果和題目特征，來(lái)解決矛盾，來(lái)轉(zhuǎn)化矛盾，來(lái)縮小差距。運(yùn)用平方法，兩邊平方，如下圖。
平方之后，問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)(4-2x)(2x+5)的最小最大值(自變量范圍為:-2.5<= x <=2)。這個(gè)二次函數(shù)的最值問(wèn)題是熟悉的。如上圖，顯然該二次函數(shù)的最小值為0，最大值在x= -1/4時(shí)取得。在此基礎(chǔ)上，顯然可得出y的最值。
反問(wèn)自己如何才能利用好題目中的關(guān)系、規(guī)律、特征、性質(zhì)、解題線索，此時(shí)一般要結(jié)合矛盾分析法分析問(wèn)題中的矛盾和差距，想法利用好這些關(guān)系、規(guī)律、特征來(lái)轉(zhuǎn)化矛盾，來(lái)縮小差距，是一個(gè)很重要的題解技巧和解題經(jīng)驗(yàn)。在后面的解題中也有體現(xiàn)，例如第13題、14、17題。特別是在解題碰壁和嘗試失敗之后，要這樣反問(wèn)反省，要反問(wèn)是否還有關(guān)系、規(guī)律、特征沒(méi)有被發(fā)現(xiàn)、沒(méi)有被利用(沒(méi)有被用足，遺漏了一些關(guān)系、規(guī)律、特征)、沒(méi)有被利用好，有時(shí)要反省失敗的解題方法有啥問(wèn)題，后面的新方法才能避免重蹈覆轍。
回到本題，在第一篇文章中提到過(guò)要把觀察發(fā)現(xiàn)的東西用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)寫(xiě)在紙上，如下圖第一行，我們就把發(fā)現(xiàn)的兩項(xiàng)相乘等于1表達(dá)出來(lái)了，這樣就變成了已知條件和已知信息。接下來(lái)要考慮如何利用好倒數(shù)關(guān)系？那就用整體思想進(jìn)行代換，利用好發(fā)現(xiàn)的倒數(shù)關(guān)系，如下圖。?
另一種解法：這題觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)相乘等于1之后，結(jié)合題目已知條件:兩數(shù)相加等于4,聯(lián)想到一元二次方程韋達(dá)定理，構(gòu)造出一元二次方程，其根為1和1/3,最后也能解出x。
總結(jié)：通過(guò)敏銳的觀察能力發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律、特征、性質(zhì)、關(guān)系，再想法利用好這些規(guī)律特征，一般要結(jié)合矛盾分析法來(lái)激發(fā)自己的思維。
? 一定要培養(yǎng)觀察能力。 學(xué)數(shù)學(xué)要在做題中解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中悟道，體驗(yàn)思維之美和思想之美。在數(shù)學(xué)這個(gè)學(xué)科真悟道而不只是數(shù)學(xué)考試成績(jī)好的人一般具有敏銳的觀察、豐富的聯(lián)想類(lèi)比、靈活的構(gòu)思、創(chuàng)造性思維的能力。
第10題
? 函數(shù)的最大最小值分別為6和2，系數(shù)a、b為實(shí)數(shù)，求系數(shù)a、b。
思維過(guò)程
? 這道題開(kāi)始還真沒(méi)啥多想的，很自然地進(jìn)行等式變形。題目等式右邊的分子分母都有變量x，不好處理，難以求出y的最大最小值，也不能變成只有分母或分子中有變量x的形式，既然不好處理，那就要變，要靈活，思維要轉(zhuǎn)彎，不能死守著這個(gè)不好處理的等式坐在那里傻眼。具體如何變？對(duì)這道題，就是等式變形，換一種形式說(shuō)不定就好處理了。
? 很自然地進(jìn)行如下圖所示的變形。
上圖中的不等式 -8y平方+(24+8a)y+b平方-24a >=0,你畫(huà)出左邊對(duì)應(yīng)的拋物線結(jié)合題目已知條件(y的最大值6，最小值2)，觀察這個(gè)拋物線圖就馬上知道2和6是這個(gè)拋物線方程的兩個(gè)根，這個(gè)也是數(shù)形結(jié)合形象思維的妙用。
? 轉(zhuǎn)化變形成一元二次方程，馬上聯(lián)想到初中的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的條件，也就是判別式delta要大于等于0。再聯(lián)想初中的韋達(dá)定理。
? 第11題
? 如下圖，一個(gè)二維長(zhǎng)方形紙片，在紙片的任意位置任意方向挖一個(gè)任意大小的長(zhǎng)方形洞，用一只筆、一把直尺、一把剪刀把剩余的紙片一刀一條直線分成面積相等的兩半。
這是一道智力題，也是蠻好的考數(shù)學(xué)思想方法的題。是我在杭州某公司面試時(shí)碰到的幾道智力題之一，當(dāng)時(shí)智力題都做對(duì)了，也講出了自己的思考過(guò)程。我后來(lái)拿來(lái)面試過(guò)10多個(gè)人，居然沒(méi)人能做出來(lái)，思考過(guò)程沒(méi)譜不著邊際，有211大學(xué)的，有在美國(guó)知名大學(xué)念數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的。
思維過(guò)程
看到這題，馬上聯(lián)想到初中物理中的重心概念和找重心的方法。一條直線聯(lián)想到幾何中的兩點(diǎn)確定一條直線。結(jié)合重心概念和兩點(diǎn)確定一條直線，就要找出兩個(gè)點(diǎn)，特殊點(diǎn)？重心？看圖觀察，立即猜想到分別是兩個(gè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)確定一條直線。再用邏輯推理驗(yàn)證或證明確認(rèn)下，矩形對(duì)角線交點(diǎn)是重心也是對(duì)稱(chēng)中心。
踏破鐵鞋無(wú)覓處，得來(lái)全不費(fèi)工夫，思路對(duì)真的很快。數(shù)學(xué)思想方法就是一層窗戶紙，明眼人輕輕點(diǎn)破，沒(méi)啥神秘的。
面試中，很多人說(shuō)要用尺把兩個(gè)矩形的邊長(zhǎng)量出來(lái)，假設(shè)面積分別是a、b。然后想法把矩形剩余部分切出(a-b)/2,這個(gè)想法一看就不是通用的，在洞很小時(shí)或靠大矩形的一側(cè)時(shí)，才可能切出面積為(a-b)/2的矩形。這種思維沒(méi)有質(zhì)疑驗(yàn)證的習(xí)慣，挖個(gè)非常大的洞，并且還是傾斜的，就知道不可行，題目中尺子沒(méi)說(shuō)有刻度，怎么量。
還有的說(shuō)多次切分，調(diào)整逼近。
數(shù)學(xué)思維是塑造人的思維品質(zhì)：思維嚴(yán)謹(jǐn)縝密、思維靈活性、系統(tǒng)性思維、考慮問(wèn)題全面、批判（質(zhì)疑）精神。我們的教育在這方面是失敗的。
總結(jié)：聯(lián)想、類(lèi)比、猜想&驗(yàn)證確認(rèn)&證明猜想
第12題
這題x為自變量，k為系數(shù)。
思維過(guò)程
? 首先按x的區(qū)間進(jìn)行分類(lèi)討論。
? 第一種情況，當(dāng)x <= 1/2時(shí)
? 第二種情況，當(dāng)1/2 < x < 1時(shí)
第三種情況，當(dāng)1 <= x < 3時(shí)
第四種情況，當(dāng)x >= 3時(shí)
如下圖。
總結(jié)：分類(lèi)、因果關(guān)系思想/深入挖掘和推敲隱含的必要條件、形象思維(通過(guò)數(shù)軸合并值域時(shí)運(yùn)用到)。
第13題
如下圖。ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E、F分別為中點(diǎn)，求四邊形DEGH面積。
初中數(shù)學(xué)少不了幾何題，如何求解幾何題，如何加輔助線，在哪加輔助線，也應(yīng)該有思想方法來(lái)指導(dǎo)。這題不難，不加輔助線就可解出來(lái)，不過(guò)也可添加輔助線來(lái)解，這里就用加輔助線的解法來(lái)說(shuō)明如何加輔助線和它背后的數(shù)學(xué)思想方法。
關(guān)于幾何部分，在講述上重復(fù)的地方較多，需要耐心多讀幾遍，有空重新整理下文字描述。
思維過(guò)程
解幾何題，特別是覺(jué)的沒(méi)頭緒的難題，仍然要綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想方法，例如：
觀察&形象思維&數(shù)形結(jié)合：必不可少的肯定是要敏銳地觀察。結(jié)合題目文本形式的已知條件，提取文本中的關(guān)鍵信息，例如幾何對(duì)象類(lèi)型(例如三角形、矩形)，線段長(zhǎng)度、位置關(guān)系和各種數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、各種特征：中點(diǎn)、直角、相切等，觀察圖形特點(diǎn)特征，例如圖形結(jié)構(gòu)、幾何圖形元素的位置關(guān)系、各幾何元素的方向朝向、數(shù)量的的各種關(guān)系、把幾何題中的已知條件和發(fā)現(xiàn)的特征、關(guān)系轉(zhuǎn)化成公式、方程、等式、坐標(biāo)等進(jìn)行數(shù)量上的計(jì)算。除了數(shù)值計(jì)算，另一點(diǎn)當(dāng)然就是關(guān)注形，廣義上就是形象思維，觀察幾何圖形，發(fā)現(xiàn)圖形中的特征，運(yùn)用直觀想象能力，有些題就很快知道如何作輔助線了，或試著作輔助線后繼續(xù)觀察，思路和想法就逐步清晰完整了。這些方法是有機(jī)結(jié)合的，通常沒(méi)有嚴(yán)格的界限，例如在觀察時(shí)就已經(jīng)在根據(jù)已知條件、結(jié)論和觀察出的信息，結(jié)合其他方法在進(jìn)行思考，例如結(jié)合聯(lián)想、分析與綜合進(jìn)行思考，例如找各種數(shù)量上的相等關(guān)系、相似關(guān)系、全等關(guān)系。對(duì)幾何題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，一般涉及到計(jì)算和解方程，所以方程思想甚至是函數(shù)思想在幾何題中通常都會(huì)運(yùn)用到。
分析與綜合：熟知的常用方法。但我們通常所學(xué)的分析法卻不知道要結(jié)合辯證法中的矛盾分析法，對(duì)辯證法的的矛盾觀視而不見(jiàn)，本系列引入了矛盾分析法來(lái)通過(guò)分析來(lái)識(shí)別和凸顯數(shù)學(xué)題中的矛盾。
聯(lián)想：特別是基于特征的聯(lián)想，觀察圖形結(jié)構(gòu)，基于幾何題中圖形的整體和局部的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)量關(guān)系特征、數(shù)值特征、結(jié)論上的特征等進(jìn)行聯(lián)想。回憶聯(lián)想起對(duì)應(yīng)的幾何定理等知識(shí)點(diǎn)、幾何構(gòu)造形(幾何模型)等。
關(guān)系思想：找關(guān)系，找出題目中的明顯的或隱藏的關(guān)系(例如相等關(guān)系、全等關(guān)系、相似關(guān)系、成比例關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系等等，還有很多，例如根據(jù)勾股定理來(lái)列等式或方程也是直角三角形的三條邊之間存在平方和等于斜邊平方的關(guān)系)、創(chuàng)造關(guān)系(如構(gòu)造全等關(guān)系、構(gòu)造相等關(guān)系、構(gòu)造相似關(guān)系等)、改善關(guān)系、轉(zhuǎn)化關(guān)系，利用題中的關(guān)系來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化和運(yùn)算，例如三角形相似關(guān)系，把關(guān)系用等式、方程、函數(shù)等形式表示出來(lái)。作輔助線和幾何變換來(lái)改善關(guān)系、溝通關(guān)系、凸顯關(guān)系、創(chuàng)造新關(guān)系。在分析和推理過(guò)程中隨時(shí)都要利用關(guān)系來(lái)不斷地轉(zhuǎn)化問(wèn)題，不斷地延伸和推進(jìn)從起點(diǎn)(已知條件)到終點(diǎn)(結(jié)論)解題通路(也可能是終點(diǎn)到起點(diǎn))，例如運(yùn)用相等關(guān)系，比例關(guān)系或其他關(guān)系。
分析法綜合法：這個(gè)一般都有運(yùn)用，此處強(qiáng)調(diào)要運(yùn)用矛盾分析法。
合理大膽地設(shè)想&猜想&想象：基于題設(shè)(已知條件)、結(jié)論具有的特征，在運(yùn)用矛盾分析法基礎(chǔ)上，順應(yīng)題目已知條件和結(jié)論(證明題中的結(jié)論也相當(dāng)于已知條件)，設(shè)想可能的理想的合理的解題途徑和中途點(diǎn)狀態(tài)。 這個(gè)在幫助我們探索如何做輔助線和幾何變換很有作用。
反思：結(jié)合其他思想方法，例如矛盾分析法、合理設(shè)想等，反問(wèn)自己是否利用好了已知條件和結(jié)論；是否能直接利用它們；如果不能直接利用，需要?jiǎng)?chuàng)造什么條件來(lái)便于利用它們，通常是作輔助線和幾何變換來(lái)改造幾何圖形的結(jié)構(gòu)來(lái)創(chuàng)造條件。如果當(dāng)前方法解題受阻時(shí)，反思當(dāng)前的方法特點(diǎn)是什么，如何調(diào)整它來(lái)做出改變來(lái)找出新方法。
構(gòu)造法：根據(jù)需要構(gòu)造的圖形，作輔助線和幾何變換(旋轉(zhuǎn)、平移、反射等)對(duì)幾何圖形進(jìn)行改造或構(gòu)造出新的幾何結(jié)構(gòu)或幾何構(gòu)造形。
整體思想：要有大局觀和整體觀念，從殘缺不全的幾何圖形結(jié)構(gòu)見(jiàn)微知著(從部分到整體，從小見(jiàn)大)地聯(lián)想想象出完整的幾何圖形，作輔助線或幾何變換來(lái)把圖形補(bǔ)全補(bǔ)完整。
轉(zhuǎn)化：這個(gè)絕對(duì)不可缺少，對(duì)條件和結(jié)論的轉(zhuǎn)化變換，對(duì)幾何對(duì)象的結(jié)構(gòu)、位置、方向朝向、關(guān)系的轉(zhuǎn)化變換。對(duì)圖形進(jìn)行切割作輔助線就體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想。
局部調(diào)整：例如對(duì)幾何中的多動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題，我們可以固定其余的動(dòng)點(diǎn)，只讓一個(gè)動(dòng)點(diǎn)變化，分析得出取最值的必要條件。
不限于這些思想方法，很多情況下也應(yīng)用到比較、方程思想、函數(shù)思想、遞歸遞推等。
幾何對(duì)象就是幾何中的點(diǎn)、線、面、三角形、長(zhǎng)方形、多邊形、圓、角等幾何元素，它們可構(gòu)成更復(fù)雜的幾何對(duì)象，每個(gè)幾何對(duì)象都有數(shù)和形，例如線段有長(zhǎng)度有形狀，幾何對(duì)象之間存在位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。
首先要介紹下有難度的幾何題，它之所以難的根源。我們知道生物學(xué)上有個(gè)說(shuō)法是結(jié)構(gòu)決定功能，要具有怎樣的功能，就要具有相應(yīng)的結(jié)構(gòu)，兩者要對(duì)應(yīng)要匹配。每道幾何題通常都包括數(shù)與形兩方面，有難度的幾何題，其難度都來(lái)自于這兩個(gè)方面以及這兩方面的綜合。幾何題的數(shù)就是幾何對(duì)象的屬性值和屬性之間的數(shù)量關(guān)系，例如線段長(zhǎng)度數(shù)值。幾何題的形就是幾何結(jié)構(gòu)（幾何圖形的組成對(duì)象和對(duì)象之間的位置關(guān)系）應(yīng)該是包含幾何圖形中的各種幾何元素的位置、方向朝向、幾何元素相互之間的各種位置關(guān)系。幾何題的結(jié)論要成立或便于解題，可能就要求幾何圖形的結(jié)構(gòu)要是怎樣怎樣的，也就是對(duì)結(jié)構(gòu)長(zhǎng)啥樣有要求，但出題人要提高題目難度，就故意扭曲這種結(jié)構(gòu)，故意制造幾何結(jié)構(gòu)和結(jié)論之間的矛盾，也就是不一致不對(duì)應(yīng)，此時(shí)解題者就要識(shí)別出不一致，想辦法對(duì)這些不一致的地方進(jìn)行改造。這種不對(duì)應(yīng)，一般是幾何題的圖形格局不好，例如圖形殘缺不完整，或幾何對(duì)象之間位置上相距較遠(yuǎn)或朝向不協(xié)調(diào)導(dǎo)致幾何對(duì)象在位置關(guān)系上不密切不和諧，不便于溝通合作，或方向朝向上不協(xié)調(diào)，例如一條線段朝東，一個(gè)朝北，是背向的，或結(jié)構(gòu)上不適應(yīng)結(jié)論。幾何題結(jié)論（含有數(shù)與關(guān)系)與幾何圖形在形上的關(guān)系就類(lèi)似于生物學(xué)中功能和結(jié)構(gòu)的關(guān)系?？傊畮缀晤}的難度一般來(lái)自于幾何結(jié)構(gòu)、幾何位置、方向朝向、數(shù)與形、關(guān)系與形、關(guān)系之間、已知條件與結(jié)論之間的各種矛盾和不協(xié)調(diào)，不合理，各種背向。
我們解幾何難題就要識(shí)別出這些矛盾，來(lái)想法化解這些矛盾，想法改善和轉(zhuǎn)化矛盾，想法牽線搭橋，想法移形變位：移位置、調(diào)方向、改結(jié)構(gòu)、調(diào)關(guān)系改善關(guān)系轉(zhuǎn)化關(guān)系。
解幾何題，要化解如上的矛盾，通常離不開(kāi)加輔助線和幾何變換(平移、對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)、位似等等)，如何加輔助線和如何進(jìn)行幾何變換，是個(gè)學(xué)問(wèn)。 也就是輔助線和幾何變換不是憑空就產(chǎn)生的，是因?yàn)橛幸莆恢?、調(diào)關(guān)系、調(diào)方向、改結(jié)構(gòu)的需求才產(chǎn)生的。
如何作輔助線和幾何變換，離不開(kāi)上面的需求，離不開(kāi)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，下面會(huì)講解作輔助線和幾何變換的方法論。
首先說(shuō)明為何要加輔助線和幾何變換，是因?yàn)閹缀误w中的已知條件之間的關(guān)系或和已知條件與結(jié)論之間的關(guān)系不直接或不順暢。具體表現(xiàn)就是原幾何題的幾何結(jié)構(gòu)，圖形的格局(形式局勢(shì)、位置關(guān)系)不好，隱去了一些東西(圖形結(jié)構(gòu)殘缺不全，類(lèi)似缺胳膊少腿，或處于混沌原始未開(kāi)墾狀態(tài)，或未發(fā)育成熟狀態(tài)，該有的沒(méi)有)或結(jié)構(gòu)上或位置關(guān)系上比較分散(例如兩條線段相距較遠(yuǎn)不在一起或關(guān)系松散)或結(jié)構(gòu)關(guān)系扭曲變形，方向朝向上不協(xié)調(diào)，感覺(jué)比較別扭，不和諧不合理，這些都會(huì)造成已知條件到結(jié)論之間存在較大鴻溝和差異(鴻溝和差異就是辯證法中的矛盾)，導(dǎo)致我們學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)或經(jīng)驗(yàn)不容易和題目匹配對(duì)應(yīng)上，不便于我們利用先前學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)和經(jīng)驗(yàn)，心理上感覺(jué)自己被鉗制住了，已有的知識(shí)點(diǎn)使不上勁，有點(diǎn)梗阻，解題思路受阻。圖形局勢(shì)不好就是條件不好，條件不成熟，環(huán)境不好。沒(méi)有條件或條件不成熟就要?jiǎng)?chuàng)造條件：加輔助線和幾何變換來(lái)創(chuàng)造條件，改造幾何格局，對(duì)鴻溝牽線搭橋，輔助線和幾何變換就是溝通題設(shè)(已知條件)和結(jié)論的橋梁紐帶，化解矛盾轉(zhuǎn)化矛盾改造局勢(shì)的太極推手。
? 橋梁用來(lái)有效溝通兩地交通，類(lèi)似地，輔助線也是起到橋梁和媒介的作用，用來(lái)溝通已知條件之間的關(guān)系以及已知條件與結(jié)論之間的關(guān)系。具體而言，輔助線和幾何變換作為橋梁，有兩個(gè)作用，第一個(gè)是通過(guò)加輔助線和變換，改造出構(gòu)造出熟悉的(學(xué)過(guò)的或好處理的)幾何構(gòu)造形(幾何模型)，借此改變?cè)}的圖形格局/結(jié)構(gòu)，消除思維梗阻點(diǎn)。第二個(gè)是重組整合、轉(zhuǎn)化調(diào)整。原題中的各種已知條件、結(jié)論、各種幾何結(jié)構(gòu)關(guān)系、位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系不好處理，或感覺(jué)幾何題中數(shù)學(xué)對(duì)象(例如線段)之間雖然存在關(guān)系，但比較疏遠(yuǎn)不融洽，缺少相互呼應(yīng)相互唱和或比較生硬別扭(物理上或邏輯上，例如幾個(gè)幾何對(duì)象在物理距離上相距較遠(yuǎn)，存在鴻溝)或零散，不好利用或不好溝通，或感覺(jué)幾何體中的數(shù)學(xué)對(duì)象之間是相對(duì)孤立零散的，不協(xié)調(diào)，一盤(pán)散沙合不起來(lái)，相互之間沒(méi)有親和力，沒(méi)有形成解題合力。這些都是導(dǎo)致已有的知識(shí)點(diǎn)和經(jīng)驗(yàn)使不上勁，解題舉步維艱，不好推進(jìn)。通過(guò)觀察和分析識(shí)別出這些通過(guò)加輔助線和幾何變換進(jìn)行牽線搭橋之后，產(chǎn)生新的幾何圖形結(jié)構(gòu)，新的幾何構(gòu)造形。在新的幾何構(gòu)造形中對(duì)這些已知條件、結(jié)構(gòu)、位置、方向朝向、關(guān)系進(jìn)行了重構(gòu)重組和新的整合調(diào)整，產(chǎn)生了新的關(guān)系和結(jié)構(gòu)或拉近了先前疏遠(yuǎn)生硬的關(guān)系(例如把先前相距較遠(yuǎn)的對(duì)象或其替身拉近，聚攏集中在一起)使它變密切變順暢或在它基礎(chǔ)上衍生出新的便于溝通便于利用的親密關(guān)系。這樣整合之后，變得好處理了，容易下手了，知識(shí)點(diǎn)能利用上去了。另外通過(guò)這樣的改造，對(duì)要證明的結(jié)論或要求的答案結(jié)果也可能進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，例如原來(lái)是求A線段的值，現(xiàn)在可以轉(zhuǎn)化成求B線段(這個(gè)相對(duì)容易)，因?yàn)檎现螅珹線段和B線段有數(shù)量關(guān)系(相等或有其他數(shù)量關(guān)系）。
幾何構(gòu)造形就是幾何定理對(duì)應(yīng)的幾何圖形和熟悉的好處理的幾何圖形，例如下圖中的平行線分線段成比例定理對(duì)應(yīng)的幾何構(gòu)造形(幾何模型)，我們可借助這些幾何構(gòu)造形蘊(yùn)含的知識(shí)點(diǎn)(幾何定理和關(guān)系)來(lái)解題。?
這個(gè)加輔助線和幾何變換，要分析&研判題目的局勢(shì)，找出癥結(jié)和梗阻點(diǎn)。有點(diǎn)像看風(fēng)水，要有全局觀，要能畫(huà)龍點(diǎn)睛，找穴點(diǎn)穴。加了輔助線，格局立馬變活了變暢通了?；蛘哒f(shuō)在一塊貧瘠的土地上，進(jìn)行土壤改造，土壤條件變好了才能長(zhǎng)出好的莊稼。
解幾何題卡殼時(shí)，要試著加輔助線。如何作輔助線，有的書(shū)總結(jié)了一些方法低層次的低級(jí)的具體套路、模式、口訣、經(jīng)驗(yàn)，各種割補(bǔ)法，例如倍延中線(將三角形中線延長(zhǎng)一倍，再和一個(gè)或兩個(gè)三角形頂點(diǎn)相連)，直角三角形要連斜邊中線，要關(guān)注斜邊中線。這些口訣和討論都很不錯(cuò)，前面的博文提到過(guò)，但這些不是高層次的思想方法論。學(xué)生看了這些書(shū)，只是死記硬背地記住了如何作輔助線，但為何這樣作，這樣作是如何推導(dǎo)出來(lái)的，大多不清楚，也就是不知其所以然，碰到新題可能就傻眼了，套路口訣越低級(jí)，適用面就越小越機(jī)械呆板，我們要悟大道，要有方法論和解題智慧和思考問(wèn)題的智慧。這些口訣和套路其實(shí)大多是基于幾何對(duì)象和幾何圖形的特征來(lái)作的，例如中點(diǎn)就是一個(gè)特征點(diǎn)，相切也是一個(gè)特征，對(duì)應(yīng)這樣的特征作出相應(yīng)的輔助線之后，就能用上一些幾何性質(zhì)和幾何定理，就能較好地溝通已知條件和結(jié)論的關(guān)系進(jìn)而達(dá)到轉(zhuǎn)化問(wèn)題的目的。
? 下面講解總結(jié)出來(lái)的作輔助線和幾何變換的經(jīng)驗(yàn)。
首先，對(duì)一道覺(jué)得棘手的幾何題，可能并不需要加輔助線就可較快做出來(lái)也就是別一上來(lái)就想作輔助線或幾何變換，除了仔細(xì)審題，要先觀察評(píng)估圖形結(jié)構(gòu)格局。如何從思想方法和實(shí)作層面把輔助線和幾何變換推理出來(lái)或高效試探出，首先觀察圖形，先識(shí)別判斷圖形中哪個(gè)部位的構(gòu)造格局不好，導(dǎo)致已知條件不好利用、導(dǎo)致關(guān)系不好利用，或?qū)е陆Y(jié)論不好求解。要對(duì)題目中幾何圖形構(gòu)造格局的好和不好有感覺(jué)，要對(duì)局勢(shì)敏感，鉗制住我們思維的地方和我們的知識(shí)點(diǎn)掌控不了的地方就是不好的，要改造的。幾何圖形格局不好的部位就類(lèi)似人身體中的病灶部位，要識(shí)別出病灶在哪之后動(dòng)手術(shù)動(dòng)刀，我們發(fā)現(xiàn)幾何圖形格局不好的地方后，再想法改造這個(gè)格局，如何改造一般是加輔助線或幾何變換。
我覺(jué)得如何作輔助線和幾何變換還是離不開(kāi)先前說(shuō)的數(shù)學(xué)思想方法論和解題策略，把先前的思想方法論分成兩套指導(dǎo)思想來(lái)指導(dǎo)如何添加輔助線和幾何變換。
第一套是基于特征聯(lián)想、矛盾分析法、合理設(shè)想&直觀想象為主干的方法：觀察題目的幾何圖形結(jié)構(gòu)，對(duì)題目中的結(jié)構(gòu)特征、位置特征、關(guān)系特征、數(shù)字特征、結(jié)論特征做矛盾分析找出題目中已知條件之間的矛盾以及已知條件和結(jié)論的矛盾，理想和題目現(xiàn)實(shí)的矛盾，結(jié)合已有的知識(shí)點(diǎn)和經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用聯(lián)想、類(lèi)比、逆向思維、轉(zhuǎn)化、合理設(shè)想、邏輯推理(分析法和綜合法)、關(guān)系、比較等數(shù)學(xué)思想方法。借助這些方法來(lái)推理出如何作輔助線或幾何變換或找出熟悉的幾何構(gòu)造形或幾何變換。這里強(qiáng)調(diào)下要注重基于聯(lián)想(特別是基于特征的聯(lián)想、見(jiàn)微知著的聯(lián)想，用來(lái)對(duì)付殘缺的幾何圖形)和合理設(shè)想&直觀想象，馬上就會(huì)看到它們具體運(yùn)用。矛盾就是差異，把這些熟悉的幾何構(gòu)造形、幾何變換和題目的幾何圖形進(jìn)行對(duì)比，就知道題目圖形還缺少啥線段(不一定是直線)，就知道如何加輔助線或幾何變換了：缺啥補(bǔ)啥，在題目圖形中補(bǔ)上缺少的線段，把差異補(bǔ)齊，這就是輔助線，其實(shí)這也表現(xiàn)為構(gòu)造法思想。
通過(guò)聯(lián)想、類(lèi)比、矛盾分析、關(guān)系思想(找關(guān)系、創(chuàng)造關(guān)系、改善關(guān)系、轉(zhuǎn)化關(guān)系)、合理設(shè)想來(lái)作輔助線和幾何變換，例如題目中說(shuō)兩個(gè)圓相切這個(gè)特征，我們就聯(lián)想到兩圓相切，有切線和半徑垂直于切線的圖形，這就是熟悉的幾何構(gòu)造形。題目中的三角形出現(xiàn)中線，我們一般延長(zhǎng)會(huì)將中線延長(zhǎng)一倍，有時(shí)也會(huì)取另一條邊的中點(diǎn)，形成中位線。出現(xiàn)直角三角形，我們一般會(huì)考慮斜邊上的中線。這些都是基于圖形性質(zhì)特征的聯(lián)想，很多幾何參考書(shū)上都總結(jié)出了如何基于性質(zhì)特征作輔助線的口訣和套路，作輔助線時(shí)可以優(yōu)先按這些口訣來(lái)對(duì)癥下藥。但這樣生搬硬套有時(shí)不一定管用，所以我們要結(jié)合類(lèi)比、矛盾分析、轉(zhuǎn)化、關(guān)系思想、合理設(shè)想等來(lái)具體問(wèn)題具體分析，從而作出合適的輔助線。
幾何中的很多知識(shí)點(diǎn)，例如幾何定理都有對(duì)應(yīng)的/關(guān)聯(lián)的幾何構(gòu)造形，就是幾何知識(shí)點(diǎn)(幾何定理)對(duì)應(yīng)的幾何圖形，這些幾何構(gòu)造形(圖形結(jié)構(gòu))是我們所熟悉的。我們用聯(lián)想類(lèi)比出來(lái)的熟悉的/學(xué)過(guò)的幾何構(gòu)造形去改造題目中格局不好的地方/部位，用這個(gè)熟悉的構(gòu)造型和題目原圖中格局不好的部位比較，有比較就知道差異和不足，然后想辦法彌補(bǔ)縮小差異，缺哪條線就加上哪條線，缺啥補(bǔ)啥。這樣通過(guò)聯(lián)想類(lèi)比和比較之后，添加輔助線，就將不熟悉/不好處理的部位轉(zhuǎn)化成熟悉/好處理的幾何構(gòu)造形。比較是一種很重要的思想方法，日常生活中我們經(jīng)常用到比較，貨比三家，有比較就知道差異在哪，也就知道下一步的目標(biāo)和方向。有些數(shù)學(xué)題，把結(jié)論或要求的答案和已知條件進(jìn)行比較，也就是把目標(biāo)和現(xiàn)狀(題目的已知條件和已知狀態(tài))進(jìn)行比較對(duì)比找差異之后，很容易就知道下一步的行動(dòng)方向，知道如何做了，就知道如何采取行動(dòng)來(lái)縮小差距了。有時(shí)結(jié)合因果關(guān)系/充要條件結(jié)合逆向思維進(jìn)行分析和綜合，進(jìn)行推理?；谔卣鞯穆?lián)想來(lái)作輔助線，一般有兩個(gè)看上去有些相反的方式，一個(gè)是順應(yīng)題目中的特征(位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系、幾何結(jié)構(gòu)、已知條件、結(jié)論)，順勢(shì)而為來(lái)作輔助線，另一個(gè)是為了改造重組題目中的特征(不理想的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系、幾何結(jié)構(gòu)、已知條件、結(jié)論)來(lái)作輔助線和幾何變換。第一種方式是針對(duì)順手的特征，一般可以直接利用，對(duì)不理想的特征，一般不能直接利用，需要改造和轉(zhuǎn)化之后再利用。
第二套是實(shí)驗(yàn)法探索加逆向思維，反思反省。這種思想的具體運(yùn)用舉例：a)從題目要證明的結(jié)論或要求的結(jié)果入手運(yùn)用分析法(分析法一定程度上是逆向思維，通過(guò)因果關(guān)系、充要條件、等價(jià)變形等來(lái)從結(jié)論反推)，結(jié)合題目特點(diǎn)，通過(guò)直觀設(shè)想和經(jīng)驗(yàn)&口訣來(lái)探索添加輔助線，例如要證明A線段長(zhǎng)度等于B線段和C線段之和，那我們就設(shè)想延長(zhǎng)B線段，產(chǎn)生一條新的長(zhǎng)度等于C的線段，再設(shè)法證明由這兩條線段拼接而成的線段等于A線段，或在A線段上截取B線段的長(zhǎng)度，再證明剩余線段長(zhǎng)度等于C線段；b）對(duì)自己提問(wèn)，反問(wèn)自己，質(zhì)疑自己：是否利用好了已知條件等解題線索、是否聯(lián)想到了和題目有關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)并加以利用、如何才能利用好題目中的已知條件、現(xiàn)在的方法有啥不足和特點(diǎn)，在分析現(xiàn)有方法的不足和特點(diǎn)的基礎(chǔ)上如何調(diào)整或徹底否定現(xiàn)有的方法打破思維定式。通過(guò)這樣反思反問(wèn)，就能激發(fā)自己思考，就可能想出合適的輔助線。
例如有如下的一道簡(jiǎn)單的幾何證明題：
我們就用這道題來(lái)講述如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法(聯(lián)想、矛盾分析法、合理設(shè)想想象、數(shù)形結(jié)合&計(jì)算、關(guān)系、構(gòu)造)來(lái)證明這道幾何題，來(lái)演示怎么高效推導(dǎo)出作輔助線和幾何變換，而不是靠那些低級(jí)的輔助線口訣和套路。
方法1：
觀察幾何圖形特征，例如90度等腰，結(jié)論中的特征：幾個(gè)邊長(zhǎng)的平方，以及有邊長(zhǎng)的平方和。結(jié)合這些特征，很容易想到用勾股定理，但AD不是斜邊也不是直角邊，也就是它不是圖中某個(gè)直角三角形的邊，這就是運(yùn)用矛盾分析法找出的良好的理想與現(xiàn)實(shí)的矛盾，題設(shè)和結(jié)論的矛盾。BD、CD是同一條直線，它們的平方法和不能夠直接對(duì)應(yīng)某個(gè)直角三角形兩條直角邊的平方和。這些都是矛盾，就是不盡人意的地方，格局不好的地方，妨礙我們解題的地方。
我們通過(guò)觀察和矛盾分析法找出矛盾后，接下來(lái)就要想法化解題目中的矛盾或轉(zhuǎn)化矛盾。
基于這道題的特征，我們可以合理設(shè)想AD是某個(gè)直角三角形的斜邊就好了，眼睛要觀察圖形特征，角BAC為直角，對(duì)照幾何圖形，我們自然就能想到要作輔助線DE垂直AB于E，構(gòu)造出直角三角形ADE。這樣作了輔助線之后，繼續(xù)觀察改造之后的圖形局勢(shì)，在腦子中感覺(jué)評(píng)估，推理走幾步，BD的平方也有了著落和對(duì)應(yīng)，它是直角三角形BDE的斜邊。類(lèi)似，我們?nèi)菀紫氲阶鬏o助線DF垂直AC于F。如下圖，這樣作輔助線，構(gòu)造出熟悉的幾何構(gòu)造形就化解了矛盾。
根據(jù)已知條件中的等腰直角，我們很容易得出如下相等關(guān)系：
BE=DE；AE=DF=FC，這樣作輔助線DF之后，通過(guò)AE=DF的相等關(guān)系傳遞，拉近了AE和CD的關(guān)系，溝通了它們的關(guān)系，也凸顯出它們之間先前隱蔽的關(guān)系：AE和CD離的遠(yuǎn)，但AE的替身或等價(jià)物DF和CD靠的近，關(guān)系密切就便于溝通便于解題，這不就是用輔助線來(lái)'拉關(guān)系'嗎，這不就類(lèi)似日常生活中拉關(guān)系走關(guān)系，這不正說(shuō)明道在日用！此外添加輔助線之后，可發(fā)現(xiàn)圖形中出現(xiàn)了平行線特征和平行線分線段成比例的關(guān)系或相似關(guān)系，不過(guò)這些比例關(guān)系解題用不著。
顯然基于這道題的幾何結(jié)構(gòu)特征和數(shù)量關(guān)系特征，這題中的各個(gè)線段的邊長(zhǎng)都能用AB和BE的長(zhǎng)度來(lái)表示(最小維度思想，此題中計(jì)算線段長(zhǎng)度需且只需知道AB、BE兩條線段的長(zhǎng)度即可，類(lèi)似充要條件)。為了表達(dá)的簡(jiǎn)潔，我們?cè)O(shè)AB長(zhǎng)度為a，BE長(zhǎng)度為b，則AE= a-b。
根據(jù)勾股定理：斜邊AD平方=AE平方+DE平方 = b平方+(a-b) 平方；
BD平方=BE平方+DE平方=2*b平方
CD平方=DF平方+FC平方=2*(a-b)平方
基于上面的3個(gè)等式，很容易推出：BD平方+CD平方= 2*b平方+ 2*(a-b)平方 = 2*AD平方。
方法1運(yùn)用到的數(shù)學(xué)思想方法：基于特征的聯(lián)想、矛盾分析法、合理設(shè)想、關(guān)系思想、構(gòu)造、數(shù)形結(jié)合進(jìn)行計(jì)算。
方法2
基于題目幾何特征，和結(jié)論中的特征：2*AD的平方，BD平方+CD平方?？吹紹D平方+CD平方，我們聯(lián)想和設(shè)想它們是某個(gè)直角三角形兩條直角邊平方和就好了(這是理想和如意算盤(pán))，但現(xiàn)實(shí)是BD和CD是同一條直線，它們不是兩條直角邊的關(guān)系?？吹?*AD平方，聯(lián)想和設(shè)想有個(gè)直角三角形斜邊為根號(hào)2*AD就好了，但這個(gè)也不是現(xiàn)實(shí)，另外看到2這個(gè)數(shù)字特征，也能聯(lián)想和設(shè)想如果有個(gè)邊長(zhǎng)為AD的等腰直角三角形就好了(這樣勾股定理兩條直角邊平方和就是2倍AD平方)，現(xiàn)實(shí)也不是這樣，圖中沒(méi)有這些。這就是理想和現(xiàn)實(shí)的矛盾，題設(shè)(已知條件、現(xiàn)狀)和結(jié)論的矛盾。存在矛盾也就意味著這個(gè)題的幾何格局不好，矛盾越多越大一般也意味著題目越難，這是出題人故意制造的矛盾，就考我們化解矛盾的能力你。我們要通過(guò)加輔助線和幾何變換來(lái)對(duì)這些不好的格局進(jìn)行改造和轉(zhuǎn)化，來(lái)消除矛盾來(lái)轉(zhuǎn)化矛盾，在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下無(wú)中生有，來(lái)牽線搭橋轉(zhuǎn)化矛盾，調(diào)和關(guān)系和矛盾。
既然BD平方+CD平方不能直接對(duì)應(yīng)某個(gè)直角三角形的兩條直角邊平方和，那我們就間接地側(cè)面地來(lái)對(duì)應(yīng)，間接進(jìn)行數(shù)量上的等值轉(zhuǎn)化。對(duì)2*AD平方，構(gòu)造出根號(hào)2*AD的直角邊感覺(jué)比較麻煩，我們?cè)O(shè)想為轉(zhuǎn)化構(gòu)造一個(gè)等腰直角三角形(直角邊長(zhǎng)度為AD)，題目中已經(jīng)有條邊為AD，很自然就想到要以這條邊為基礎(chǔ)，作出另一條直角邊，這條邊和AD垂直于A點(diǎn)?；贏B=AC，我們用幾何變換中的旋轉(zhuǎn)變換來(lái)表達(dá)對(duì)圖形格局的改造：將三角形ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，AB邊旋轉(zhuǎn)到AC，D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到E點(diǎn)，如下圖。旋轉(zhuǎn)之后可得出：AD=AE，AD垂直于AE，三角形ADE為等腰直角三角形；BD=CE，角ABD=角ACE，這樣很容易得出角DCE為直角，也就是三角形DCE為直角三角形。
可見(jiàn)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換后，DE的平方=AD平方+AE平方=2*AD平方；BD平方+CD平方也轉(zhuǎn)化為CE平方+CD平方=DE的平方，原題得證：2*AD平方=BD平方+CD平方?？梢?jiàn)原題中BD平方+CD平方這種不好表達(dá)的平方和關(guān)系和BD、CD這種直線關(guān)系，我們通過(guò)旋轉(zhuǎn)，對(duì)關(guān)系進(jìn)行重組整合，改造調(diào)整為三角形DCE中的關(guān)系，改造為CE平方+DC平方；對(duì)2*AD平方，我們改造為三角形ADE中的關(guān)系，改造為AD平方+AE平方。也可以看出通過(guò)幾何變換，我們可以在空間上對(duì)結(jié)構(gòu)格局、關(guān)系結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造調(diào)整和重組整合，在空間上進(jìn)行騰挪。
方法3
不用輔助線，聯(lián)想到正弦定理，角B和角C均為45度；角BAD和角DAC為互余關(guān)系，所以這兩個(gè)角的正弦平方和為1。對(duì)兩個(gè)三角形ABD、ACD運(yùn)用正弦定理很容易證明結(jié)論。
方法4
不用輔助線，坐標(biāo)法。以A點(diǎn)為原點(diǎn)，兩條直角邊為X軸和Y軸，設(shè)直角邊長(zhǎng)度為a。斜邊bc直線方程斜率為-1，截距為a，方程為y=-x+a。則D點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,-x0+a)，B點(diǎn)坐標(biāo)(a,0)，C點(diǎn)(0,a)。根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算出這三條線段的平方，其余省略。
從這個(gè)一題多解應(yīng)該可以得出：對(duì)大多數(shù)幾何題運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，例如運(yùn)用聯(lián)想特別是特征聯(lián)想(基于已知條件和結(jié)論中的數(shù)字特征例如這題中的2AD平方中的2、結(jié)構(gòu)特征，例如這題中的等腰直角、BD和CD是同一條直線、題設(shè)和結(jié)論中的關(guān)系結(jié)構(gòu)特征，例如結(jié)論中的BD平方+CD平方這種平方和關(guān)系結(jié)構(gòu))，矛盾分析(找出理想和現(xiàn)實(shí)的矛盾、題設(shè)與結(jié)論的矛盾，再次強(qiáng)調(diào)此處的矛盾是辯證法中的矛盾，是可以調(diào)和，可以間接化解，可以轉(zhuǎn)化的矛盾，不是邏輯矛盾，不是非此即彼的矛盾，不是反證法中的矛盾)、合理設(shè)想&猜想&想象、關(guān)系思想、數(shù)形結(jié)合(4個(gè)方法中均有計(jì)算，方法3和4純計(jì)算)等思想方法，是可以推導(dǎo)出如何作輔助線和幾何變換的，輔助線和幾何變換不是神來(lái)之筆。同時(shí)從上面的方法1和2的解題過(guò)程也可以看出，如何作輔助線和幾何變換并不是完全用嚴(yán)格的邏輯推導(dǎo)出來(lái)的，還是有些設(shè)想想象猜想和非邏輯的非理性的直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)因素在里面，另外受限于個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)、能力、身體狀況等因素，有時(shí)我們并不能很順利地作出正確的輔助線和幾何變換，所以我們還要用實(shí)驗(yàn)法試探和反思，在草稿紙上多畫(huà)一畫(huà)，邊畫(huà)邊觀察(形象思維)和推理，不斷變換思路嘗試，不斷進(jìn)行反省調(diào)整。
基于特征的聯(lián)想和設(shè)想猜想，這里再提及下，幾何和代數(shù)題中都廣泛運(yùn)用基于題設(shè)和結(jié)論中的結(jié)構(gòu)特征、關(guān)系特征、數(shù)字特征的聯(lián)想和合理設(shè)想猜想。例如基于數(shù)值特征的聯(lián)想，看到30度角和45度這些特殊角度會(huì)想到什么，或會(huì)設(shè)想作出什么樣的輔助線。看到15度角會(huì)作出什么輔助線？這里沒(méi)有對(duì)所有題都合適的標(biāo)準(zhǔn)答案，只是為了提醒要對(duì)基于特征聯(lián)想的內(nèi)涵外延和實(shí)踐多關(guān)注多體會(huì)總結(jié)。
回到這道題上，觀察題目的圖形格局，結(jié)合這兩套思維方法，指導(dǎo)我們我們添加輔助線和幾何變換。如下圖，加輔助線或幾何變換之后，能用上熟悉的幾何定理等知識(shí)點(diǎn)了，也盤(pán)活了已知條件，感覺(jué)幾何題圖形的形勢(shì)格局變活了，矛盾化解了，變順暢了，思路走通了，梗阻點(diǎn)消失了，已知條件和知識(shí)點(diǎn)能用上去了能發(fā)揮作用了。這里的已知條件利用好能發(fā)揮作用的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)通常是指通過(guò)這些已知條件能推導(dǎo)出過(guò)更多的新東西或結(jié)論或關(guān)系，再通過(guò)這些東西推導(dǎo)出后續(xù)的更多新東西，好像雪球越滾越大，繁殖出越來(lái)越多的信息，越來(lái)越逼近/接近解題目標(biāo)，而在沒(méi)加輔助線之前，這些已知條件幾乎發(fā)揮不了多少作用，也就是通過(guò)這些已知條件推導(dǎo)不出多少新的東西。
如上圖，觀察->審查分析題目中幾何圖形的結(jié)構(gòu)格局，眼睛要亮，找出格局不好的地方，聯(lián)想類(lèi)比出學(xué)過(guò)的熟悉的幾何構(gòu)造形或熟悉知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的幾何構(gòu)造形，例如在大腦中回想起上圖中部左側(cè)的平行線構(gòu)造型,這個(gè)平行線構(gòu)造是學(xué)過(guò)的。熟練了,憑感覺(jué)直覺(jué)就能很快知道在哪里加什么樣的輔助線，快到感覺(jué)不到這個(gè)思維過(guò)程。
如上圖加輔助線改造格局，就是把不好的部位改造成我們熟悉的幾何構(gòu)造形，這樣就能用上這些熟悉構(gòu)造型對(duì)應(yīng)的幾何定理知識(shí)點(diǎn)了。F是CD中點(diǎn)，AD平行于BC(BI)這些條件現(xiàn)在變活了，能使上勁了，也就是能充分發(fā)揮它們的作用，通過(guò)這些已知條件，又能聯(lián)想派生出更多熟悉的知識(shí)點(diǎn)，推導(dǎo)出更多的信息，思路順暢了，這樣才算把這些已知條件用好。
DEGH四邊形不規(guī)則，不好直接求面積，那就變?yōu)橛瞄g接方式，轉(zhuǎn)化成容易的，好處理的，用三角形ADH面積減去三角形AEG的面積，這兩個(gè)三角形面積比較容易求出來(lái)；也可把DEGH分割成兩個(gè)三角形，分別求出這兩個(gè)三角形的面積，評(píng)估判斷這種方法，似乎麻煩一些，放棄這種方法，這是權(quán)衡比較之后做出的取舍選擇。直接不行就間接，這個(gè)解題策略先前在辯證法矛盾觀中提到過(guò)。后面的已經(jīng)很簡(jiǎn)單，解題方法已經(jīng)很明朗了，躍然紙上，現(xiàn)在問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求三角形ADH和AEG的面積，觀察現(xiàn)在的圖形格局，結(jié)合已知條件和知識(shí)點(diǎn)/經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析綜合可知：求三角形AEG的面積，ABE的面積很容易求出來(lái)，它的兩直角邊長(zhǎng)度是已知的。三角形AEG面積和三角形ABE的面積之比為EG:BE,這兩三角形等高，面積之比為EG:BE就屬于我們通常說(shuō)的關(guān)系，也體現(xiàn)了前面說(shuō)過(guò)的數(shù)形結(jié)合思想中的把形轉(zhuǎn)化成數(shù)，提取形中的數(shù)量關(guān)系。辯證法中講萬(wàn)物之間的普遍聯(lián)系或存在關(guān)系，關(guān)系思想，數(shù)學(xué)題說(shuō)白了，很大程度上是對(duì)關(guān)系的處理，有關(guān)系就能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把關(guān)系刻畫(huà)表達(dá)出來(lái)，例如表示成圖形、不等式、方程、等式等等。這題中，我們把關(guān)系表示成等式，接下來(lái)就可以根據(jù)需要，對(duì)等式進(jìn)行計(jì)算、變形變換、解方程等等；求EG:BE,可轉(zhuǎn)化為求EG:BG,而EG:BG根據(jù)平行線間的相似比是AE:BI,AE是已知的，BC也是已知，所以求BI就轉(zhuǎn)化成求CI，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，根據(jù)平行線間的相似比，很容易得出CI等于AD，為2，就這樣一步步分析綜合進(jìn)行推導(dǎo)，串起來(lái)形成解題過(guò)程，所以AEG面積可求出來(lái)，同理ADH類(lèi)似。
第二種方法，還是分析綜合法，要求AEG的面積，AE是已知，所以如果能求出AE邊上的高，問(wèn)題就解決。這個(gè)高如何求？關(guān)系思想，高也不是孤立的，它和其他事物也存在聯(lián)系存在關(guān)系：這個(gè)高和三角形BGI的BI邊上的高之和為AB，也就是和為2，這是一個(gè)等式關(guān)系；這兩個(gè)高之比也是平行線之間的相似比，為AE:BI，這個(gè)AE:BI很容易得出，這是第二個(gè)等式關(guān)系。根據(jù)這兩個(gè)關(guān)系可列出二元一次方程，兩個(gè)高為未知數(shù)，兩個(gè)等式，很顯然可求出高。當(dāng)然對(duì)這兩個(gè)簡(jiǎn)單的關(guān)系，我們通常不用顯式的列方程解方程，而是用另一種形式，基于關(guān)系使用邏輯推理來(lái)進(jìn)行算術(shù)計(jì)算即可求出高。
清楚了加輔助線的思想方法論，如果討論范圍擴(kuò)大到如何解幾何難題，仍然是借助數(shù)學(xué)思想方法，聯(lián)想、類(lèi)比、轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等等。這里強(qiáng)調(diào)幾何題中的數(shù)形結(jié)合和關(guān)系思想，幾何題中除了形，還有數(shù)，很多幾何題可能不需要加輔助線，直接通過(guò)計(jì)算就能完成，有的是結(jié)合輔助線和數(shù)(計(jì)算)來(lái)解決。數(shù)形結(jié)合中的形：觀察圖形中的特征和規(guī)律，挖掘題目中的數(shù)學(xué)對(duì)象（長(zhǎng)度、角度、面積、頂點(diǎn)數(shù)）之間的各種關(guān)系。數(shù)：把這些已知條件、數(shù)量、特征、規(guī)律、約束、關(guān)系用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)表達(dá)出來(lái)之后，例如用公式（方程、等式)把關(guān)系表示出來(lái)后，剩下的一般就是計(jì)算和推理。反過(guò)來(lái)，代數(shù)題有時(shí)可結(jié)合幾何圖形來(lái)幫助解決，這個(gè)在后面有介紹。
另外運(yùn)用幾何圖形的幾何變換，例如平移變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、拉伸、位似變換等，這也是運(yùn)動(dòng)思想的體現(xiàn)，通過(guò)變換，對(duì)已知的條件和關(guān)系、幾何圖形格局進(jìn)行新的組合，產(chǎn)生新的幾何構(gòu)造形。
前面說(shuō)過(guò)這題可以不加輔助線，這里就講第三種方法，不加輔助線，結(jié)合已知條件聯(lián)想學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)：平行線分成比例定理、三角形相似，進(jìn)行純分析綜合推理和計(jì)算，這個(gè)也體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合中的提取形中的數(shù)量關(guān)系，并利用這些數(shù)量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算和推理。
DF平行于AB,可得出DF:AB=DH:BH=1/2，這個(gè)就是數(shù)量關(guān)系。得出DH:BD=1/3,三角形ADH面積是ABD的1/3。ABD面積為2，所以ADH面積為2/3。接下來(lái)求AGE的面積。ADF和ABE全等，所以1）角DAF=角ABE。角DFA=角AEB，又角DFA=角FAB，所以 2) 角AEB=角FAB。從1）和2）可得出三角形AEG和ABG相似，相似比為AE:AB=1/2,相似三角形面積之比為相似比的平方，所以AEG面積:ABG面積=1/4。進(jìn)而AEG面積為ABE面積的1/5，ABE面積為1，所以AEG面積為1/5。四邊形DEGH面積 = 三角形ADH面積 - 三角形AEG = 2/3-1/5=7/15。
總結(jié)：觀察、聯(lián)想類(lèi)比、矛盾分析、合理設(shè)想、比較思想、分析綜合法進(jìn)行推理、轉(zhuǎn)化、關(guān)系思想、方程思想。從這題中可看出，幾何題大多涉及到計(jì)算。另外幾何題通過(guò)加輔助線或幾何變換，構(gòu)造產(chǎn)生出或拼湊出幾何構(gòu)造形，也體現(xiàn)了構(gòu)造法思想，構(gòu)造法的進(jìn)一步說(shuō)明見(jiàn)第16題中的總結(jié)部分。
幾何變換和輔助線對(duì)結(jié)構(gòu)關(guān)系的改造和轉(zhuǎn)化可以看三角形費(fèi)馬點(diǎn)(體會(huì)下求費(fèi)馬點(diǎn)使用的旋轉(zhuǎn)變換對(duì)三條線段結(jié)構(gòu)上的改變，從交于一點(diǎn)的星形結(jié)構(gòu)變成了首尾相連的線段)和第一題中的將軍飲馬問(wèn)題(運(yùn)用反射變換)。
有些幾何題之所以難主要是結(jié)構(gòu)上、位置上、方向朝向上存在問(wèn)題導(dǎo)致，例如AB線段和CD線段在物理位置上相距較遠(yuǎn)，有的對(duì)象之間相對(duì)的方向朝向不協(xié)調(diào)不合理，就像有些建筑群，A棟建筑和B棟建筑位置和方向朝向不協(xié)調(diào)，不相互呼應(yīng)，整體效果上就會(huì)出問(wèn)題打折扣，1+1就會(huì)小于2，在幾何題中如果存在類(lèi)似問(wèn)題，就會(huì)增加解題難度。對(duì)幾何題圖形格局在結(jié)構(gòu)上、位置上、方向朝向上、關(guān)系上存在的矛盾，我們要相伴法進(jìn)行調(diào)節(jié)改善糾正，而幾何變換例如平移、反射、旋轉(zhuǎn)等就可以通過(guò)移形變位來(lái)移位置、調(diào)方向、改結(jié)構(gòu)、變關(guān)系，平移是移位置，反射是調(diào)方向，旋轉(zhuǎn)是調(diào)方向和改位置，它們最終都改變了幾何結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)化了題目中的關(guān)系。
幾何變換背后隱含運(yùn)用了幾何對(duì)象在數(shù)量關(guān)系上的等價(jià)傳遞性，例如平移線段或三角形時(shí)，平移前后的對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度是相等，平移后的線段是平移前線段的替身，題目中和原線段相關(guān)的都可以傳遞到替身上，后面的解題轉(zhuǎn)化為用替身，和真身相關(guān)的關(guān)系都轉(zhuǎn)到提升上，例如已知條件和結(jié)論中和真身相關(guān)的都傳遞到替身上。再比如旋轉(zhuǎn)，除了使用旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度和角度相等(不變)這個(gè)等價(jià)傳遞性之外，一般還運(yùn)用等邊三角形來(lái)改方向，可以看下費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題中旋轉(zhuǎn)60度之后產(chǎn)生的等邊三角形。等邊三角形和等腰三角形，平行四邊形都有這樣的長(zhǎng)度和角度上等值傳遞的效果，例如一個(gè)等邊三角形ABC，三條邊在長(zhǎng)度上可相互替換(在涉及到長(zhǎng)度的地方可以相互做替身)，但三邊具有不同的方向朝向，也就是等邊三角形具有保長(zhǎng)度變方向的特性,如下圖。如果有道幾何題要調(diào)整線段方向，那等邊三角形的這種特性(保證長(zhǎng)度不變情況下改方向的特性)可能就可排上用場(chǎng)，例如我們?cè)}中涉及到AB線段的地方用BC作為它的替身(例如結(jié)論中涉及到AB的地方用BC來(lái)代替)，因?yàn)锽C的方向朝向、位置和其他對(duì)象整體上比較協(xié)調(diào)。和角度相關(guān)的也類(lèi)似。這些其實(shí)都是通過(guò)等價(jià)關(guān)系的傳遞性來(lái)做替身，用替身來(lái)轉(zhuǎn)化問(wèn)題。另外我們有時(shí)找全等的三角形，證明它們?nèi)?，有時(shí)也是利用這種等價(jià)傳遞性。如果題目中幾何元素的替身不存在，那我們就主動(dòng)作輔助線和幾何變換構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的替身，利用替身的等價(jià)傳遞性來(lái)改善幾何結(jié)構(gòu)中的矛盾，如通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造一個(gè)等邊三角線和全等三角形(具體例子參見(jiàn)費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題的旋轉(zhuǎn))或通過(guò)非旋轉(zhuǎn)的方式構(gòu)造全等三角形或平行四邊形。除了這種等價(jià)傳遞，其實(shí)只要能構(gòu)造出關(guān)系能改善關(guān)系的輔助線和幾何變換都是我們?cè)诮鈳缀晤}時(shí)要考慮采用的。
調(diào)節(jié)幾何結(jié)構(gòu)，化解幾何題中的矛盾(不一致)
另外關(guān)于旋轉(zhuǎn)，如果題目中同一頂點(diǎn)有兩條邊相等，可能提示我們可嘗試?yán)@這個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度一般是這兩條邊的夾角。
