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作者：王國波

高中題

? ? 第14題

2018上海高考數(shù)學(xué)填空題第12題。這題我覺得不錯(cuò)。

思維過程

? 首先觀察題目，根據(jù)題目條件和問題，想到什么？ 平方和為1，聯(lián)想類比到圓方程（圓是兩實(shí)數(shù)平方和為正數(shù)常量的幾何解釋）、坐標(biāo)、三角函數(shù)正弦與余弦平方之和為1，x1x2+y1y2=1/2,也能聯(lián)想到余弦cos(a-b)的公式這些知識(shí)點(diǎn)?？吹阶畲笾档氖阶酉氲绞裁?？好像和自己學(xué)過的什么東西有似曾相識(shí)的感覺，在大腦中比對(duì)匹配和哪些知識(shí)點(diǎn)比較相似，其實(shí)看到這個(gè)式子要能聯(lián)想類比到‘點(diǎn)到直線的距離公式’這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這個(gè)最大值的式子和點(diǎn)到直線的距離公式長得很像很接近，按數(shù)形結(jié)合中提到的數(shù)轉(zhuǎn)化成形，這個(gè)代數(shù)式子的兩個(gè)組成部分的幾何解釋就是直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到直線的距離。所以這個(gè)題目是求圓上兩點(diǎn)到直線x+y-1=0距離之和的最大值，也就是把問題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)點(diǎn)到直線距離和的最大值。轉(zhuǎn)化/化歸是非常重要的數(shù)學(xué)思想方法。

通過觀察、聯(lián)想類比、轉(zhuǎn)化、對(duì)應(yīng)，思路已經(jīng)清晰。設(shè)x1=cosa, y1=sina,x2=cosb，y2=sinb.

x1x2+y1y2=1/2,就是cosa*cosb+sina*sinb=1/2, cos(a-b)=1/2,也就是a-b=60度，別考慮-60和其他度數(shù)，用60度已經(jīng)夠了。兩個(gè)角之差為60度，也是個(gè)不變的約束。求圓上兩點(diǎn)到直線的距離之和，很自然想到數(shù)形結(jié)合，畫圖如下，也就是構(gòu)造(創(chuàng)造)產(chǎn)生如下圖形。兩個(gè)點(diǎn)(x1,y1)、（x2、y2）到原點(diǎn)的直線，其夾角為60度。

觀察上圖，可以直觀的看出如果兩個(gè)點(diǎn)都在第1象限(AB小圓弧)，它們到直線AB（其方程為x+y-1=0）的距離肯定不是最大，繼續(xù)觀察如果有個(gè)點(diǎn)在第1象限，另一個(gè)點(diǎn)在第2或第4象限，距離和也不是最大。也就是只能在2、3、4象限才有可能最大。

此時(shí)這些直角坐標(biāo)已經(jīng)意義不大，我們重新畫圖，把直線AB畫成水平線，如下圖，便于觀察思考。先前觀察已經(jīng)得知兩個(gè)點(diǎn)在小圓弧AB上距離和不可能最大，只有在AB大圓弧上才有可能。此時(shí)分3種情況，第1種情況是兩個(gè)點(diǎn)都在AM圓弧上，第2種是一點(diǎn)在AM圓弧上，另一點(diǎn)在MB圓弧上，第3種是兩個(gè)點(diǎn)都在BM弧上，這和第一種類似，是對(duì)稱的，結(jié)果是一樣的，不用再重復(fù)考慮。

對(duì)第1種情況運(yùn)用運(yùn)動(dòng)(動(dòng)態(tài))思維，運(yùn)動(dòng)，讓事物動(dòng)起來，從靜止到運(yùn)動(dòng)或速度從慢到快等都是運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)思想就是辯證法中運(yùn)動(dòng)發(fā)展變化的思想，讓事物發(fā)展變化，把題目條件變一變，或讓一些變量值或參數(shù)值或影響因素從小到大逐漸變大或相反從大變小，和函數(shù)思想也有聯(lián)系。在事物的運(yùn)動(dòng)過程中或變化發(fā)展過程中觀察/發(fā)現(xiàn)其中隱藏的規(guī)律和特點(diǎn)或相互聯(lián)系。具體在這個(gè)題目中，運(yùn)動(dòng)思想就是讓點(diǎn)動(dòng)起來，想象點(diǎn)C、D如上圖順時(shí)針沿圓弧運(yùn)動(dòng)。觀察它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)中的規(guī)律和變化趨勢(shì)。C1點(diǎn)和D1點(diǎn)到圓心O的夾角為60度，保持夾角不變，想像C1運(yùn)動(dòng)到C2點(diǎn)，D1運(yùn)動(dòng)到D2點(diǎn)，通過觀察和比較，顯然C2、D2點(diǎn)到直線AB的距離和比C1D1的大，也就是隨著向上順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，距離和是增加的，這種情況最大值時(shí)的點(diǎn)為C3、D3（D3和M點(diǎn)為同一點(diǎn)）。當(dāng)然不用這種方法，也可用余弦函數(shù)的增減性得出其增大趨勢(shì)，但用這種運(yùn)動(dòng)加形象思維的方法更直觀高效。在運(yùn)動(dòng)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和解題突破口，有些圖形會(huì)隨著參數(shù)的變化而變化，那我們就讓參數(shù)變化，分析對(duì)應(yīng)的曲線如何運(yùn)動(dòng)變化，例如拋物線開口隨著二次系數(shù)的變化其開口會(huì)擴(kuò)張和收縮，隨著常系數(shù)c的變化拋物線隨著Y軸平移，直線隨著斜率變化而出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)。我們就在這些運(yùn)動(dòng)過程中捕捉它們的變化規(guī)律和趨勢(shì)。如果涉及到幾何圖形，一般可結(jié)合形象思維的直觀性來獲得洞見，例如這題。另外運(yùn)動(dòng)思想/變化思想在物理題中有時(shí)也很管用，靜態(tài)解決不了問題就動(dòng)態(tài)，想象下事物的運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，從中得到洞見。

繼續(xù)分析，第1種情況取最大值的兩個(gè)點(diǎn)其實(shí)是第2種情況下的特殊case，所以我們只考慮第2種情況。如上圖下部分圖形，設(shè)角COM為a，則角MOD為60-a。

園半徑為1，GE=HF=ON=根號(hào)2/2，CG=CO*cosa=cosa，DH=cos(60-a）.

距離和CE+DF=CG+GE+DH+HF=cosa+cos(60-a)+根號(hào)2=2*cos30度*cos(30度-a)+根號(hào)2=根號(hào)3*cos(30度-a)+根號(hào)2，最大值為根號(hào)3+根號(hào)2。

這題是填空題，不需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，對(duì)填空題，也可借助直觀的幾何圖形，直覺得出CD平行于AB時(shí)取最大值。

簡(jiǎn)友留言提示，補(bǔ)充另一種方法，幾何法。

如下圖，作垂線，EF就是梯形中位線。

總結(jié)：這道題所用的數(shù)學(xué)思想方法：聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合/形象思維、運(yùn)動(dòng)思想、分類、對(duì)稱、比較。

數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)大師華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”。數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透。借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明揭示數(shù)之間的某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：第一種情形是以數(shù)解形，而第二種情形是以形助數(shù)。

數(shù)形結(jié)合思想也好理解，既然數(shù)中有形，形中有數(shù)，這就是數(shù)和形的關(guān)系，它們可相互轉(zhuǎn)化，在第9題中說過要想辦法利用好關(guān)系來解題，那我們就應(yīng)該嘗試?yán)脭?shù)與形的關(guān)系來解題。

這題中的數(shù)形結(jié)合也隱含使用了構(gòu)造法這種數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造出如上的幾何圖形。關(guān)于構(gòu)造法的進(jìn)一步說明見第16題。

? 第15題

證明102的103次方大于103的102次方。

思維過程

這題就是具體中的復(fù)雜，其它數(shù)學(xué)思想方法例如聯(lián)想、類比等似乎對(duì)此題都不管用，直接計(jì)算似乎也不行，除非用計(jì)算機(jī)，常用計(jì)算器會(huì)溢出。怎么處理？常用處理手法前面已經(jīng)說過。碰到這種數(shù)字大，變量多，一種是向下簡(jiǎn)化，把數(shù)字變小，用簡(jiǎn)單的數(shù)字來研究下其中的規(guī)律。

這題用向下簡(jiǎn)化的手法解決不了問題，只能發(fā)現(xiàn)從3開始，3的4次方大于4的3次方。聯(lián)想到數(shù)學(xué)歸納法，遞推法，試一下也不行?？磥磉€是只有回到先前提到過的，向上抽象。

把這題推廣泛化，向上抽象，建模，建立的抽象模型如下圖，把題目中的數(shù)量之間的關(guān)系用抽象的模型表達(dá)出來，證明方法也在圖中。

? 求函數(shù)導(dǎo)數(shù)很容易證明函數(shù)f(x)在x >= 3（更嚴(yán)格是x>e）時(shí)是遞減的。

? 抽象問題解決，把m=102代入抽象定理中就完成證明。

? 上圖中從m的（m+1）次方 > （m+1）的m次方到（m+1）lnm > mln(m+1)的變形體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化，把不好處理的變成比較好處理的，另一方面窮則思變，不變沒思路沒出路，必須要變，必須要尋找變化的手段，怎么變，這里我們聯(lián)想到取對(duì)數(shù)。從（m+1）lnm > mln(m+1)到lnm/m > ln(m+1)/m+1的變形體現(xiàn)了分類分組思想，將m和m+1歸類到兩個(gè)組，就變成了lnm/m > ln(m+1)/m+1。接下來要能敏銳發(fā)現(xiàn)lnm/m > ln(m+1)/m+1中大于號(hào)左右兩邊具有同構(gòu)特征，它們具有相同的(統(tǒng)一的)結(jié)構(gòu)模式，根據(jù)這個(gè)同構(gòu)特征，可以抽象出模式:函數(shù)lnx/x，證明該函數(shù)的遞減性即可。

總結(jié)：抽象、轉(zhuǎn)化/變換、分析法（因果關(guān)系/充分條件/必要條件/充要條件）推理、函數(shù)思想、聯(lián)想。這題中也隱含使用了構(gòu)造法，構(gòu)造出函數(shù)f(x) = lnx/x.關(guān)于構(gòu)造法的說明見第16題。這題中函數(shù)求導(dǎo)，微積分中的求導(dǎo)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)就是處理這個(gè)抽象對(duì)象f(x)的工具，不要怕抽象，再次證明我們?cè)诔橄竺媲安皇鞘譄o寸鐵，此題中，我們?cè)诰唧w復(fù)雜性面前才是手無寸鐵，對(duì)具體無可奈何，這題用抽象反而簡(jiǎn)單反而能解決問題，再次利用抽象中的簡(jiǎn)單性來解題。

不變(恒定固定)和變，是一對(duì)矛盾。講辯證，矛盾通常并不是貶義詞，矛盾通常并不是不可調(diào)和的你死我活的沖突，就是兩種相互制約、相互聯(lián)系相互依存相互轉(zhuǎn)化的兩種性質(zhì)的因素而已，就是陰陽，就是男女，就是正電和負(fù)電，它們很多時(shí)候還要相互依存才能和諧平衡，孤陰不生，孤陽不長，失去一方，另一方也長久不了。天行健，宇宙也是運(yùn)動(dòng)的，發(fā)展變化的，不變是不可能的，隨著時(shí)間，事物每天都不一樣，人也每天在成長和衰老 ，但變中有不變，變化中有不變的規(guī)律，不變的聯(lián)系和相對(duì)不變的本體、道。宇宙都是變化的，我們既然講辯證，變化就并不可怕，我們要接受變化并利用好變化，我們?nèi)祟愂怯兄腔鄣?，發(fā)明了很多辦法和工具來掌控處理好變化，利用好變化，有時(shí)還要主動(dòng)變化，從變化中尋找規(guī)律。學(xué)數(shù)學(xué)，不應(yīng)該偏愛具體、常量、有限有界，不喜歡&害怕抽象、變量、無限、無窮，要統(tǒng)一的平等的辯證的(我們一直被教育要辯證看問題，為何還是不能辯證的平等的看待矛盾的雙方)來看待這兩組概念和這兩組對(duì)象。如果偏愛前者，裹足不前，那就是不講辯證，用非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的觀點(diǎn)或幼兒時(shí)期形成的膚淺的感性認(rèn)識(shí)來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)來學(xué)數(shù)學(xué)，還徘徊在數(shù)學(xué)的大門之外來看數(shù)學(xué)問題，認(rèn)為前者簡(jiǎn)單可控，后者不好掌控。其實(shí)是沒吃過前者的虧，沒體驗(yàn)到后者的好，沒體驗(yàn)到符號(hào)字母、變量和抽象的一以概之和普適性、簡(jiǎn)潔性、彈性表達(dá)性，沒體驗(yàn)到方程的好處，特別是沒體驗(yàn)到處理變化描述變化的非常有用的數(shù)學(xué)工具：函數(shù)、微積分等知識(shí)的好，沒深刻體驗(yàn)到抽象思維的好，還在用小學(xué)低年級(jí)的算術(shù)思維來學(xué)初高中乃至大學(xué)數(shù)學(xué)；對(duì)通過抽象產(chǎn)生的抽象數(shù)學(xué)模型，我們也能運(yùn)用很多數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)和手段來進(jìn)行處理，所以從初高中開始不應(yīng)該還有這樣的偏見和習(xí)慣。數(shù)學(xué)思想方法的最高宗旨也是變，數(shù)學(xué)思想方法中的‘’轉(zhuǎn)化‘’也是為了變，很多情況下，變比不變好，抽象比具體好；很多時(shí)候?qū)ふ沂挛镏g的聯(lián)系/關(guān)系，建立關(guān)系，挖掘出關(guān)系也是為了能利用關(guān)系來進(jìn)行變化，從而把事情從不好辦變成好辦，把問題從不好處理變成好處理。

不要自己限制自己的思維，不要自我設(shè)限。心包萬物、心包萬理，心生萬法，心物一元，心游萬仞，整個(gè)宇宙包括各種規(guī)律都是可以被人類所認(rèn)識(shí)，無邊無際的宇宙都可以在你腦中在你思維中，天人合一天人相應(yīng)，就看你是否悟道和層次高低。

在數(shù)學(xué)中也是這樣，數(shù)學(xué)中的復(fù)雜性可變性抽象性也是可以被刻畫被描述被掌握的，現(xiàn)在無法掌握，心生萬法，以后肯定會(huì)有。對(duì)未知變量，無論是有界和無界，還是無限無窮，是連續(xù)還是離散，我們可以用變量(任它未知、可變、無限大、無限小、無限遠(yuǎn)、無邊無際，似乎感覺很難辦，但在數(shù)學(xué)中用幾個(gè)x、y、z這樣的符號(hào)就輕松囊括了它，收服了它，代表了它，化解了它，舉重若輕，都可裝在我們的思維乾坤袋中)、方程、函數(shù)、函數(shù)論、泛函分析來描述刻畫它們，來指代它們，來研究它們；對(duì)各種變化，可以用微積分等數(shù)學(xué)工具來研究它，來掌控它們，它們逃不出我們的思維手心。所以在數(shù)學(xué)中，不要害怕抽象、不要害怕未知、不要害怕變化、不要害怕無限。

這題可加深對(duì)抽象和具體、變與不變的辯證關(guān)系的理解。

第16題

思維過程

? 觀察， 發(fā)現(xiàn)是個(gè)3元二次方程組，不好直接解出來，并且題目目標(biāo)也不是要求x、y、z的值，是求兩兩乘積之和。調(diào)整思路，發(fā)現(xiàn)了啥，1+2=3、聯(lián)想到a的3次方 - b的三次方=（a-b）(a的平方+ab+b的平方)，有些似曾相識(shí)的地方，但用這些發(fā)現(xiàn)的線索和知識(shí)點(diǎn)也不好解題。

? 在腦中繼續(xù)搜索知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行比對(duì)/比較：聯(lián)想到余弦定理和這個(gè)很相似，再進(jìn)一步確認(rèn)是120度角的三角形。數(shù)形結(jié)合中提到的數(shù)轉(zhuǎn)化成形，這三個(gè)代數(shù)方程式的圖形化的解釋、幾何解釋就是三角形余弦定理，夾角都是120度，我們構(gòu)造如下幾何圖形，形象思維/數(shù)形結(jié)合，x、y、z是三角形的邊長，把方程轉(zhuǎn)化成幾何圖形。ABC是直角三角形。

在三角形中，xy是啥，它是三角形兩條邊的乘積，聯(lián)系聯(lián)想到三角形面積知識(shí)點(diǎn)中有根據(jù)兩條邊的乘積計(jì)算面積的公式：1/2xysin120這個(gè)式子對(duì)應(yīng)的幾何解釋/幾何意義就是三角形的面積(三角形面積等于1/2*兩個(gè)邊長的乘積*夾角的正弦，此處根據(jù)兩邊長乘積xy聯(lián)想到這個(gè)面積公式是見微知著的聯(lián)想，從局部聯(lián)想到整體，小中見大，窺一斑而見全豹)，此處的三個(gè)夾角相同，都是120度，聯(lián)想到可以提取公因數(shù)。3個(gè)小三角形的面積之和等于直角三角形ABC的面積。

總結(jié)：觀察、聯(lián)想、類比，碰壁再調(diào)整思路，數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化。這個(gè)代數(shù)題通過數(shù)形結(jié)合，綜合運(yùn)用代數(shù)和幾何圖形。

這題中的數(shù)形結(jié)合也體現(xiàn)了或者說綜合運(yùn)用了構(gòu)造法思想，根據(jù)題目的題設(shè)(已知條件)特點(diǎn)，返本歸元返本溯源，對(duì)應(yīng)地構(gòu)造出幾個(gè)三角形結(jié)構(gòu)，根據(jù)此題的結(jié)論和解題目標(biāo)，構(gòu)造出對(duì)應(yīng)出三角形面積。先前說過轉(zhuǎn)化是一種基本的很高層次的數(shù)學(xué)思想方法，其他數(shù)學(xué)思想方法其實(shí)是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的一種手段。數(shù)形結(jié)合思想、構(gòu)造法思想也是最終體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化變化的數(shù)學(xué)思想，這題通過數(shù)形結(jié)合和構(gòu)造法，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形和幾何問題，將問題從一個(gè)領(lǐng)域(范疇)或一種形式轉(zhuǎn)到另一個(gè)領(lǐng)域或形式，或?qū)⒁粋€(gè)領(lǐng)域或形式的問題，延伸出、變化出額外的領(lǐng)域或形式，綜合交叉多個(gè)領(lǐng)域或形式來一起解決問題。

這題和前面的第14題都是用了數(shù)形結(jié)合思想，都是數(shù)轉(zhuǎn)化成形，結(jié)合形來解題。反過來，形結(jié)合數(shù)的情況就更多了，幾何題幾乎大多都涉及到各種代數(shù)運(yùn)算和變形。

構(gòu)造法：根據(jù)題目的題設(shè)(已知條件)和結(jié)論的特點(diǎn)、聯(lián)系、特征、性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法(例如聯(lián)想、類比、抽象、數(shù)形結(jié)合等等)，轉(zhuǎn)化問題(不熟悉變熟悉、局勢(shì)從不好變好、未知變已知、復(fù)雜變簡(jiǎn)單、晦澀隱含變明確清晰、抽象一般變具體特殊或相反)，在使用常規(guī)方法的定向思維受阻時(shí)，從新的角度用新的觀點(diǎn)觀察、分析、理解審視數(shù)學(xué)問題中的條件和結(jié)論，使用題目中的已知條件為原材料，運(yùn)用已有知識(shí)點(diǎn)和理論作為工具，主動(dòng)果斷地重起爐灶，另辟蹊徑重新溯源而上，靈活巧妙構(gòu)造出、創(chuàng)造出恰當(dāng)?shù)臐M足條件或結(jié)論的新的數(shù)學(xué)模型(此題是構(gòu)造出幾何圖形，在第14和15題中也隱含運(yùn)用了構(gòu)造法，14題是構(gòu)造出幾何圖形，15題是構(gòu)造出函數(shù)f(x) )。

這些數(shù)學(xué)模型可能是圖形、圖表、集合、方程、函數(shù)、數(shù)列、等式、不等式、向量等等，不限形式，沒有固定的形式，是非常發(fā)散的，這也體現(xiàn)了構(gòu)造法的創(chuàng)造性、跳躍性?；谶@個(gè)新的構(gòu)造物來進(jìn)行思考，把思考重心從原題挪開，跳到這個(gè)模型上，圍繞這個(gè)模型來解決問題。通過構(gòu)造，轉(zhuǎn)化了原問題，原問題的結(jié)論是這個(gè)模型結(jié)的一個(gè)果實(shí)、開的一朵花。很多解題思維過程中和數(shù)學(xué)思想方法中都隱含有或顯式就具有或綜合運(yùn)用了構(gòu)造法思想或轉(zhuǎn)化(化歸)變化思想，所以在第一篇漫談中提到轉(zhuǎn)化和構(gòu)造法是兩種基本的高層的數(shù)學(xué)思想方法。

第17題

? ? 三角形ABC，BD垂直于AC，BE是角ABC的角平分線，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，四個(gè)角相等（角ABD、DBE、EBF、FBC），求角ABC的度數(shù)。

思維過程

? 數(shù)形結(jié)合思想中，形中有數(shù)有關(guān)系，那就計(jì)算，列方程等等，代數(shù)中的東西都可用。

? 幾何題，表面看起是形，但形中有數(shù)，形也對(duì)應(yīng)數(shù)，通常離不開數(shù)，任何事物包括虛擬的事物，都有形，都有數(shù)，就看你是否能發(fā)現(xiàn)并加以利用。幾何題中各種數(shù)學(xué)對(duì)象（角度、長度、面積等等）之間都存在各種數(shù)量關(guān)系，對(duì)幾何題應(yīng)該要重視數(shù)形結(jié)合思想?！靡馔巍?，加輔助線和幾何變換改造了幾何圖形的格局之后，觀察提取了幾何圖形中的關(guān)系、特征之后，把這些關(guān)系、特征、已知條件翻譯轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言之后，才可以忘形，后面就是計(jì)算和推理。

? 觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)有個(gè)統(tǒng)一的模式，那就是AD、DE（等于AD）、DF、DC和高BD都有三角函數(shù)正切(tan)的關(guān)系，并且結(jié)合題目目標(biāo)，所求的答案也是和角度相關(guān)，感覺方向思路是對(duì)的。另外也可反問自己如何利用好發(fā)現(xiàn)的形方面的這些關(guān)系，就激發(fā)自己想到數(shù)形結(jié)合，把形中蘊(yùn)含的數(shù)方面的特征表達(dá)出來，也就是用三角函數(shù)正切表達(dá)出來。解題方法如下圖。?

這個(gè)角ABD的角度符號(hào)不好打字，這里用a來代替。在這道題的解題過程中間，要能觀察發(fā)現(xiàn)題目中的2a=3a-a，并利用這個(gè)發(fā)現(xiàn)的特征線索。這個(gè)特征看上去微不足道，但別輕視忽略它，要見微知著，有些觀察發(fā)現(xiàn)的微不足道或不起眼的關(guān)系、特征、規(guī)律或蛛絲馬跡，不要輕視忽略它們，這些都可能是解題的線索和已知條件，要把它們用數(shù)學(xué)語言翻譯出來表達(dá)出來，抽象出來，這個(gè)2a=3a-a就是關(guān)系的表達(dá)形式，把發(fā)現(xiàn)的關(guān)系翻譯成轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)中的等式，還要寫在草稿紙上,可視化。這樣就從視覺上提醒你，不要藏在腦中，藏在腦中就容易被忽視，它們有時(shí)會(huì)起到重要的作用，這個(gè)也是經(jīng)驗(yàn)之談。

? 其實(shí)我當(dāng)時(shí)解題時(shí)看到上圖中的2tan2a= tan3a-tana這個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)式子中的2a=3a-a，在腦子中立馬聯(lián)想到了三角函數(shù)正切公式tan(x-y)= tanx-tany / 1+tanxtany，腦子迅速意識(shí)到下一步等式兩邊會(huì)出現(xiàn)tan3a-tana相約的情況，不需要草稿紙，這樣一下子就把解題路徑打通了，形成了通路，快速越過了難走的泥濘道路，推進(jìn)問題解決。這個(gè)類似下棋，高明的棋手能在腦子中推演后面的棋局，或從直覺上感覺到、洞見到、預(yù)見到后續(xù)幾步的局勢(shì)發(fā)展情況，當(dāng)然首先要有這樣的思考習(xí)慣：在大腦中"走幾步"。要培養(yǎng)鍛煉這樣的數(shù)感、思維習(xí)慣、思維能力包括直覺思維能力。

? 另外我們用綜合法進(jìn)行邏輯推理，也是"走幾步"，一步步逼近問題答案和目標(biāo)，有時(shí)綜合法結(jié)合分析法乃至排除法，讓它們?cè)谥型军c(diǎn)相遇。有時(shí)要運(yùn)用合理推理、合理猜想、合理假設(shè)來從多種可能性中選取問題下一步最可能的情況進(jìn)行試探，用最可能的情況來猜來試探。注意此處的合理，合理是在符合一定的邏輯和約束之下做出的一些合情合理的選擇、判斷或一些猜測(cè)。合理假設(shè)，舉個(gè)例子，我們用待定系數(shù)法來進(jìn)行因式分解，就體現(xiàn)了合理猜想和合理假設(shè)，實(shí)際上是先合理猜想合理設(shè)想出這個(gè)因式分解大體上的結(jié)構(gòu)模式(結(jié)構(gòu)上的總體框架模式)，但在具體的細(xì)節(jié)層面還不確定，也就是系數(shù)未知還不確定，后面再運(yùn)用對(duì)應(yīng)和方程思想來確定系數(shù)。在待定系數(shù)法中的未知系數(shù)過多，并且方程次數(shù)超過2次，例如3次或4次的復(fù)雜情況下用蠻力解出這些系數(shù)是比較難的，此時(shí)要繼續(xù)用合理假設(shè)和實(shí)驗(yàn)法來把部分系數(shù)(也是方程中的未知數(shù))設(shè)置成幾種最可能的具體數(shù)值來進(jìn)行試探，因?yàn)橐蚴椒纸獬鲱}人通常就是按最可能的情況來出題的。實(shí)驗(yàn)法在因式分解中也有另外的運(yùn)用，有些因式分解，特別是超過2次的或多元的，有時(shí)也可以用求根法，也就是把式子當(dāng)做方程，用幾個(gè)特殊的具體數(shù)值(例如x=0、1、2、3、-1、-2等)或x=y代進(jìn)去，實(shí)驗(yàn)一下看式子是否為0，如為零，則必有因式:x-根，例如x-2。有時(shí)因式分解，我們?cè)诓莞寮埳鲜褂么ㄏ禂?shù)法和求根法得出答案，但在寫到試卷上和作業(yè)本上時(shí)，可以寫成用拆項(xiàng)法，這就體現(xiàn)了里與表的辯證。

? ? 有時(shí)在解題第一步或中間步驟可能出現(xiàn)多種方案，特別是等式變形，可能有幾種變形方式，我們也可在大腦中很快對(duì)每種變形方式預(yù)先走一兩步，比較評(píng)估下每種方式，再做出選擇，有些題通常是看到題目，一兩秒就直接知道可行的方案了，做出正確的決策。

? 前面的一些題，我們?cè)跀?shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下找到解題突破口和關(guān)鍵的解題操作之后，很快就感覺豁然開朗，解題局勢(shì)大變樣，其實(shí)這也是我們的思維在解題突破口和解題操作基礎(chǔ)上，走了一兩步的結(jié)果。例如第7題，我們通過聯(lián)想將多面體拆開之后，立即就覺得此法可行；第13題，加輔助線之后，立即覺得形勢(shì)好轉(zhuǎn)。

? 解題和警察破案有些類似，通過各種手段收集提取各種線索和證據(jù)，包括到案件現(xiàn)場(chǎng)勘驗(yàn)、查看視頻監(jiān)控，調(diào)查被害人和犯罪嫌疑人的情況特征和社會(huì)關(guān)系(例如家庭關(guān)系、朋友關(guān)系和關(guān)系人之間的通訊記錄)，展開推理和推測(cè)，用證據(jù)驗(yàn)證自己的推理，進(jìn)行揚(yáng)棄。

再次強(qiáng)調(diào)：關(guān)系關(guān)系關(guān)系、關(guān)系思想。從一定角度上看，除了對(duì)象和屬性的數(shù)值信息，一切皆關(guān)系,對(duì)象之間，對(duì)象內(nèi)部都存在各種關(guān)系。我們學(xué)過的知識(shí)點(diǎn)中幾乎都存在關(guān)系或者說是對(duì)關(guān)系的刻畫和表達(dá)，例如長方形面積等于長乘以寬，各種定理、等式、函數(shù)、方程、公式、結(jié)構(gòu)、模型、問題已知條件和特征特點(diǎn)、規(guī)律、圖形中都存在關(guān)系都表達(dá)了關(guān)系。問題和知識(shí)點(diǎn)之間、知識(shí)點(diǎn)和知識(shí)點(diǎn)之間、概念之間，概念和知識(shí)點(diǎn)之間、問題和問題之間也是如此，關(guān)系無處不在。從上面的這些解題過程中可知，發(fā)現(xiàn)和挖掘出題目中隱藏的關(guān)系，研究好關(guān)系，利用好關(guān)系，處理好關(guān)系極其重要，可以說關(guān)系決定成敗。

結(jié)尾

? ? 學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵是為了鍛煉數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)性、全面系統(tǒng)性、批判性等思維品質(zhì)，從初等到高等數(shù)學(xué)，工作之后我們大多數(shù)人能用到多少數(shù)學(xué)知識(shí)？還記得多少數(shù)學(xué)知識(shí)？知識(shí)是容易忘記的，但通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錘煉出來的對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟掌握和思維嚴(yán)謹(jǐn)性、靈活性、全面系統(tǒng)性、批判性這些思維品質(zhì)，即使不從事數(shù)學(xué)教育和當(dāng)數(shù)學(xué)家，這些思維品質(zhì)在各行各業(yè)中都是不可或缺的，例如在軟件行業(yè)，看到很多思維混亂，邏輯性差，思維不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娜?，他們就是?shù)學(xué)教育失敗的受害者。

? ? 具體的解題過程就講完了，再總結(jié)下，做到4個(gè)善于：

? ? 第一善于觀察：善于發(fā)現(xiàn)和挖掘題目中隱藏的解題線索和蛛絲馬跡：特征特點(diǎn)、規(guī)律、關(guān)系、充要條件。找關(guān)系找聯(lián)系很重要，關(guān)系、聯(lián)系很重要。如果沒有關(guān)系，沒有聯(lián)系，就要找出對(duì)應(yīng)的關(guān)系，找出對(duì)應(yīng)的聯(lián)系，甚至主動(dòng)創(chuàng)造關(guān)系，主動(dòng)創(chuàng)造聯(lián)系。關(guān)系/聯(lián)系通常是存在于多個(gè)對(duì)象(兩個(gè)或兩個(gè)以上)之間的，有時(shí)題目中缺少關(guān)系，甚至缺少聯(lián)系對(duì)應(yīng)的對(duì)象，例如題目中只有甲對(duì)象(元素)，沒有甲對(duì)象關(guān)聯(lián)的乙對(duì)象，此時(shí)我們就要通過聯(lián)想、類比、對(duì)偶等數(shù)學(xué)思想方法積極主動(dòng)找出關(guān)聯(lián)的乙對(duì)象，再讓甲乙發(fā)生關(guān)系建立關(guān)系；

? ? 第二善于變化：善于運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想方法和解題策略指導(dǎo)我們進(jìn)行變化(轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)換)，通過變化處理好利用好題目中的已知條件、特征特點(diǎn)、規(guī)律、關(guān)系、結(jié)論和答案，在變化中找到解題突破口和解題思路。

? ? 第三善于反思總結(jié)。

? ? 第四善于自學(xué)。

通過3篇博客，基本上對(duì)大多數(shù)數(shù)學(xué)思想方法以及解題策略都有所涉獵，對(duì)邏輯推理中的因果關(guān)系思想在上面的解題思維過程中也有運(yùn)用，體現(xiàn)因果關(guān)系思想的綜合法(由條件到結(jié)論)和分析法(由結(jié)論/答案反推必要充要條件)在學(xué)校的教學(xué)和解題實(shí)踐中用的很多，在幾何、代數(shù)中都有廣泛的使用。對(duì)構(gòu)造法思想也有初步講述。關(guān)于估值思想、主要-次要抓關(guān)鍵等策略的運(yùn)用示例，合理推理和合理猜想、解題過程中的反思的實(shí)際運(yùn)用(就是在解題過程中碰壁時(shí)，對(duì)當(dāng)前方法進(jìn)行反思否定，包括反思是否把題目中的已知條件用好用足，從而調(diào)整和改變解題方法，最終解決問題)，有空在數(shù)學(xué)思想方法揭秘-4中講述，代數(shù)中的待定系數(shù)法其實(shí)體現(xiàn)的就是合理推理、合理猜想和對(duì)結(jié)構(gòu)模式的假設(shè)，普通的因式分解題，常人一眼就能看出是否要使用待定系數(shù)法，但有些競(jìng)賽題要靠對(duì)待定系數(shù)法有本質(zhì)的理解和洞見才能有意識(shí)地想到用它，才能用對(duì)它，因?yàn)檫@些題出的很巧妙，從題目表面上看，從形上看，它不是因式分解題，難以看穿它要用待定系數(shù)法。原因就在沒有提煉出待定系數(shù)法背后的本質(zhì)和沒有自覺聯(lián)想到使用它。除此外，不限于待定系數(shù)法，其他類型的題目有時(shí)也要運(yùn)用合情合理的推理、猜想假設(shè)/估算估值、實(shí)驗(yàn)、從模糊逐步到精確等方法相結(jié)合才能找到解題突破口。

? 需要注意的是，沒有哪種數(shù)學(xué)思想方法是萬能的，法無定法，運(yùn)用之妙，存乎一心，對(duì)具體的數(shù)學(xué)題，我們一般是綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法和解題策略來引導(dǎo)我們的思維過程。

? 真掌握了這些思想和解題策略，我們幾乎就是出題人肚子中的蟲蟲，和他們一個(gè)鼻孔出氣，能較快識(shí)破看穿他們當(dāng)時(shí)出題的伎倆，雖然沒見面，也能有會(huì)心一笑的感覺和共鳴。最關(guān)鍵的是通過用正確的數(shù)學(xué)思想方法來鍛煉思維能力，培養(yǎng)自學(xué)能力，思維靈活，養(yǎng)成良好的理工科思維品質(zhì)，以后在大學(xué)階段理工科學(xué)習(xí)就如虎添翼。

? ? 道不遠(yuǎn)人，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)就是一個(gè)聞道，然后悟道的過程。開始聞道，感覺道在天邊，對(duì)這些不熟悉，但只要你在實(shí)踐中用心體會(huì)它，有意識(shí)的去訓(xùn)練它運(yùn)用它，格物致知，日久成自然，可能有一天就頓悟了，就真正消化領(lǐng)悟了，這些思維模式就成為潛意識(shí)中的習(xí)慣了，此時(shí)道和你合二為一。有人說觀察力和聯(lián)想能力或其他能力不行，缺啥補(bǔ)啥，那你就有意識(shí)的去訓(xùn)練這方面的能力，去通過上面的解題思維過程體會(huì)如何聯(lián)想等等這些。

? 上士聞道，勤而行之，下士聞道，大笑之。信手寫來，加上寫作水平一般，造成有些章節(jié)位置排版不合理的地方，又想力圖講清楚，造成有較多重復(fù)的地方，但如果感興趣，可以把數(shù)學(xué)思想方法的三篇文章完整多讀幾遍，特別是第一篇和第三篇，前后聯(lián)系起來讀，應(yīng)該會(huì)有所收獲，有所領(lǐng)悟后再去解題實(shí)戰(zhàn)中運(yùn)用，在實(shí)踐中進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)學(xué)思維之道的領(lǐng)悟和體會(huì)。有些觀點(diǎn)雖然有些偏頗偏激片面，其實(shí)是想針砭時(shí)弊，不妥的地方多包涵。

? 小初高的題再擴(kuò)充下數(shù)量，每種數(shù)學(xué)思想方法為主一個(gè)章節(jié)，把內(nèi)容重新整理下，可以出三本分別適合小學(xué)、初中、高中的數(shù)學(xué)思想方法的思維訓(xùn)練書籍，它們涉及到的思想方法基本上是一樣的，只是考察的知識(shí)點(diǎn)有所不同。

? 思想方法是思維之道，教育的目的是要傳道悟道，至少要悟?qū)W科思維之道，有的甚至進(jìn)一步悟人生之道，悟宇宙之道，要有悟性，要提高悟性。

? 看過一些數(shù)學(xué)思想方面的書籍和文章，說實(shí)話，不滿意，感覺深度和廣度都不夠，幾乎難以看到有醍醐灌頂讓人思想通透，讓人有與君一席談勝讀十年書的感覺的書。會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小，這篇文章融匯哲學(xué)思想，較全面深刻地對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和解題策略做了較深入淺出的闡述，幫助我們從高屋建瓴的層面用高觀點(diǎn)來進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)思想方法和解題策略。并用親身的解題思維過程來講解如何靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和解題策略，都是用自己的語言來講，是我如何學(xué)數(shù)學(xué)的肺腑之言經(jīng)驗(yàn)之談，徹底揭開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)解題的真諦，這也是我很久之前就想做的。

下篇：數(shù)學(xué)思想方法揭秘-4(原創(chuàng))。

王國波2018.7.14于廣州